第三講 線面面面垂直的判定與性質(zhì)

1、第三講 線面面面垂直的判定與性質(zhì)第1頁，共17頁。1.直線與平面垂直的定義：直線與平面垂直的定義： 如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么就稱這條直線和這個平面垂直那么就稱這條直線和這個平面垂直. 2.直線與平面垂直的判定直線與平面垂直的判定:定義定義(反證法反證法);判定定理判定定理:b, ab a; （線面垂直性質(zhì)定理）（線面垂直性質(zhì)定理）,a a（面面平行性質(zhì)定理）（面面平行性質(zhì)定理）;，=l，al，a a （面面垂直性質(zhì)定理）（面面垂直性質(zhì)定理） ,ababP,la lbl線線垂直線面垂直線線垂直線面垂直基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識第2頁，

2、共17頁。3.直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì):直線和平面垂直，那么直線就垂直于這個平面直線和平面垂直，那么直線就垂直于這個平面內(nèi)的任何直線內(nèi)的任何直線 ,lala線面垂直線面垂直 線線垂直線線垂直性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行這兩條直線平行 a，b ab 4.點到平面的距離點到平面的距離: 從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足從平面外一點引這個平面的垂線，這個點和垂足間的線段的長度叫做這個點到平面的距離間的線段的長度叫做這個點到平面的距離.注意注意:點到面的距離可直接向面作垂線，但要考慮垂足的點到面的距離可

3、直接向面作垂線，但要考慮垂足的位置，如果垂足的位置不可確定，往往采取由點向面上位置，如果垂足的位置不可確定，往往采取由點向面上某一條線作垂線，再證明此垂足即為面的垂足某一條線作垂線，再證明此垂足即為面的垂足.第3頁，共17頁。5.斜線在平面上的射影斜線在平面上的射影,直線和平面所成角直線和平面所成角平面的斜線平面的斜線; 斜線在平面上的射影斜線在平面上的射影;斜線段斜線段,垂線段定理垂線段定理: 從平面外一點所引的垂線段和斜從平面外一點所引的垂線段和斜線段中線段中射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長；長；相等的兩條斜線段的射影相等，較長

4、的斜線段的相等的兩條斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長；射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短垂線段比任何一條斜線段都短直線和平面所成角直線和平面所成角:平面的一條斜線和它在平面上的射平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角叫做這條直線和這個平面所成的角第4頁，共17頁。注意注意:范圍范圍: 如果這條直線平行于這個平面如果這條直線平行于這個平面,那么直線那么直線與平面所成的角是與平面所成的角是 最小性定理最小性定理:斜線與平面所成的角，是這條直斜線與平面所成的角，是這條直線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成一切角中最小角線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成

5、一切角中最小角.00906.三垂線定理：三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；影垂直，那么它也和這條斜線垂直；三垂線逆定理三垂線逆定理: 如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直斜線的射影垂直 第5頁，共17頁。7.二面角二面角 1)定義：定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做兩面角.2)二面角的平面角：二面角的平面角：以兩面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.3)二

6、面角的大?。憾娼堑拇笮。嚎梢杂盟钠矫娼莵矶攘?范圍是：4)直二面角：直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.5)求二面角的大小方法：求二面角的大小方法：定義法定義法 (2)三垂線定理法三垂線定理法 (3)垂面法等垂面法等0, 第6頁，共17頁。8平面垂直的定義及判定定理：平面垂直的定義及判定定理： 定義定義：兩個平面相交，如果它們所成的角是直二面：兩個平面相交，如果它們所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直角，就說這兩個平面互相垂直.記作：平面記作：平面平面平面 兩個平面垂直的判定兩個平面垂直的判定,證明方法證明方法:定義定義判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的判定定理：如果一個

7、平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.（線面垂直，面面垂直）（線面垂直，面面垂直）/, 第7頁，共17頁。兩個平面垂直的性質(zhì)兩個平面垂直的性質(zhì)性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面. （線線垂直（線線垂直 線面垂直）線面垂直） ,AAa aa ,a 第8頁，共17頁?！纠纠?】 設(shè)設(shè)a，b是兩條異面直線，在下列命題中正是兩條異面直線，在下列命題中正確的是（確的是（ ）A.有且僅有一條直線與有且僅有一條直線與a，b都垂直；都垂

8、直； B.有一個平面有一個平面與與a，b都垂直；都垂直；C.過直線過直線a有且僅有一個平面與有且僅有一個平面與b平行；平行；D.過空間中過空間中任一點必可作一條直線與任一點必可作一條直線與a，b都相交都相交.已知已知m,l是直線是直線,是平面，給出下列命題是平面，給出下列命題:A.若若l垂直于垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則內(nèi)的兩條相交直線，則l； B.若若l平行平行于于，則，則l平行于平行于內(nèi)的所有直線；內(nèi)的所有直線；C.四面體中最多可以有四個面是直角三角形四面體中最多可以有四個面是直角三角形; D.若若m且且l， 且且則則ml其中正確命題的是其中正確命題的是 。 CA C D例題例題第9頁，共1

9、7頁。,是兩個不同的平面，是兩個不同的平面，m m ，n n是平面是平面及及之外兩條之外兩條不同的直線，給出四個論斷：不同的直線，給出四個論斷：（A A）mn mn （B B）m m （C C） （D D）nn；以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題寫出你認(rèn)為正確的一個命題_ABDCACDB或第10頁，共17頁?！纠纠? 2】如圖，如圖，P 是是ABC所在平面外一點，且所在平面外一點，且PA平面平面ABC，若，若O和和Q分別是分別是ABC和和PBC的垂的垂心，試證：心，試證：OQ平面平面PBC。 第11頁，共17頁

10、?！纠纠? 3】如圖，四邊形如圖，四邊形ABCDABCD為正方形，為正方形，SASA平面平面ABCDABCD，過過A A且垂直且垂直SCSC的平面分別交的平面分別交SBSB、SCSC、SDSD于于E E、F F、G G，求，求證：證：AESBAESB，AGSD. AGSD. 第12頁，共17頁?！纠纠? 4】如圖，在棱長為如圖，在棱長為a a 的正方體的正方體ABCDAABCDA1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，E E、F F分別為分別為D D1 1C C1 1與與ABAB的中點。的中點。求求A A1 1B B1 1與截面與截面A A1 1ECFECF所成的角；所成的角；求

11、點求點B B到截面到截面A A1 1ECFECF的距離的距離. . 第13頁，共17頁?！纠纠?】如圖如圖平面，四邊形是矩平面，四邊形是矩 形，形，、分別是、，、分別是、的中點的中點. .) )求平面與平面所成二面角的大?。磺笃矫媾c平面所成二面角的大??； ) )求證：平面求證：平面平面平面 PA第14頁，共17頁?！纠纠?】已知正三棱柱已知正三棱柱ABCA1B1C1，若過面對角線，若過面對角線AB1與與另一面對角線另一面對角線BC1平行的平面交上底面平行的平面交上底面A1B1C1的一邊的一邊A1C1于于點點D.（1）確定）確定D的位置，并證明你的結(jié)論；的位置，并證明你的結(jié)論；（2）證明：平

12、面）證明：平面AB1D平面平面AA1D；（3）若）若AB AA1= ，求平面，求平面AB1D與平面與平面AB1A1所成角的大所成角的大小小.2AABBCC111第15頁，共17頁?！纠纠?】 如圖所示，已知如圖所示，已知ABC和和ADC都是以都是以D為直角頂點的直角三角形，且為直角頂點的直角三角形，且AD=BD=CD，BAC=60（1）求證：）求證：BD平面平面ADC；（；（2）若）若H是是ABC的垂心，求證：的垂心，求證：H是是D在平面在平面ABC內(nèi)的射內(nèi)的射影。影。ABCDH第16頁，共17頁?！局R方法總結(jié)知識方法總結(jié)】 1.線面垂直關(guān)系的判定和證明線面垂直關(guān)系的判定和證明, 要注意線線垂直關(guān)系要注意線線垂直關(guān)系, 面面垂直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化面面垂直關(guān)系與它之間的相互轉(zhuǎn)化.2.運用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵在于先確定線、斜線運用三垂線定理及其逆定理的關(guān)鍵在于先確定線、斜線在平面上的射影，而確定射影的關(guān)鍵又是在平面上的射影，而確定射影的關(guān)鍵又是“垂足垂足”，如，如果果“垂足垂足”，定了，那么，定了，那么“垂足垂足”和和“斜足斜足”的連線就的連線就是斜線在平面上的射影是斜線在平面上的射影.4.注意線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化條注意線線垂直、線面垂直、