微積分——函數(shù)的極限ppt課件

1、微積分rxdtdx微微 積積 分分微積分第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 變量的極限變量的極限 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量無(wú)窮大量與無(wú)窮小量 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 兩個(gè)重要的極限兩個(gè)重要的極限 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性微積分2.2 2.2 函數(shù)極限函數(shù)極限微積分.sin時(shí)的變化趨勢(shì)時(shí)的變化趨勢(shì)當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) xxx播放播放1. 自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限微積分問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在 x的的過(guò)過(guò)程程中中, 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .的的過(guò)過(guò)程

2、程表表示示 xXx. 0sin)(,無(wú)無(wú)限限接接近近于于無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxfx 通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題問(wèn)題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”.微積分定定義義 1 1 如如果果對(duì)對(duì)于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ( (不不論論它它多多么么小小) ), ,總總存存在在著著正正數(shù)數(shù)X, ,使使得得對(duì)對(duì)于于適適合合不不等等式式Xx 的的一一切切x, ,所所對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值)(xf都都滿滿足足不不等等式式 Axf)(, ,那那末末常常數(shù)數(shù)A就就叫叫函函數(shù)數(shù))(xf當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)的的極極限限, ,記記作作)()()(lim

3、xAxfAxfx當(dāng)當(dāng)或或定義定義X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) Axfx)(lim1、定義：、定義：微積分:.10情情形形 x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng):.20情形情形xAxfx )(lim.)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)Axfx )(lim2、另兩種情形、另兩種情形: Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且微積分xxysin 3、幾何解釋、幾何解釋: X X.2,)(,的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線直線直線圖形完全落在以圖形完全落在以函數(shù)函數(shù)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) AyxfyXx

4、XxA微積分xxysin 例例1. 0sinlim xxx證證明明證證xxxxsin0sin x1 X1 , , 0 ,1 X取取時(shí)恒有時(shí)恒有則當(dāng)則當(dāng)Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的的圖圖形形的的水水平平漸漸近近線線是是函函數(shù)數(shù)則則直直線線如如果果定定義義xfycycxfx 微積分2.自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)問(wèn)題題: :函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過(guò)過(guò)程程中中,對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)函函數(shù)數(shù)值值)(xf無(wú)無(wú)限限趨趨近近于于確確定定值值 A.;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過(guò)過(guò)程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0

5、鄰鄰域域的的去去心心點(diǎn)點(diǎn) x.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 微積分定義定義 2 2 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多不論它多么小么小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù) , ,使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式 00 xx的一切的一切x, ,對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值)(xf都都滿足不等式滿足不等式 Axf)(, ,那末常數(shù)那末常數(shù)A就叫函數(shù)就叫函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限, ,記作記作)()()(lim00 xxAxfAxfxx 當(dāng)當(dāng)或或定定義義 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)1、定義：、定義：微積分2、幾何解釋、幾何解釋:)(x

6、fy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf. 2有有關(guān)關(guān)與與任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) .,越越小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 微積分例例2).( ,lim0為為常常數(shù)數(shù)證證明明CCCxx 證證Axf )(CC ,成立成立 , 0 任給任給0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx例例3.lim00 xxxx 證證明明證證,)(0

7、xxAxf , 0 任給任給, 取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 微積分例例4. 211lim21 xxx證證明明證證211)(2 xxAxf, 0 任給任給, 只只要要取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義處沒(méi)有定義.1 x,)( Axf要要使使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx微積分例例5.lim00 xxxx 證證0)(xxAxf , 0 任給任給,min00 xx取取,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx00 xxxx ,)( Axf要要使使,0 xx就就有有,00 xxx .00且不取負(fù)值且不取負(fù)值只要只要 xxx.lim

8、,0:000 xxxxx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證明證明Ox000 xx00 xxOx02x000 xx00 xx微積分3.單側(cè)極限單側(cè)極限:例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx證明證明設(shè)設(shè)兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx,0 xx從左側(cè)無(wú)限趨近從左側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作,0 xx從右側(cè)無(wú)限趨近從右側(cè)無(wú)限趨近; 00 xx記記作作yox1xy 112 xy微積分左極限左極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有時(shí)時(shí)使當(dāng)使當(dāng)右極限右極限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)000:000 xxxxxxxxx注注意意.)0()(

9、lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx 或或記記作作微積分.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理.lim0不存在不存在驗(yàn)證驗(yàn)證xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例6證證1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x微積分3.函數(shù)極限的性質(zhì)(1) 有界性有界性定理定理 若在某個(gè)過(guò)程下若在某個(gè)過(guò)程下, ,)(xf有極限有極限, ,則存在則存在過(guò)程的一個(gè)時(shí)刻過(guò)程的一個(gè)時(shí)刻, ,在此時(shí)刻以后在此時(shí)刻以后)(

10、xf有界有界. .(2) 唯一性唯一性定定理理 若若)(limxf存存在在,則則極極限限唯唯一一.微積分定理：函數(shù)極限是唯一的。0lim( )xxf xa證：只對(duì)進(jìn)行證明。00lim( )lim( ),.xxxxf xaf xbab反證法，不妨設(shè)，同時(shí)且0101lim( )0,( )xxf xaxxf xa 由當(dāng)0| 時(shí)，|0202lim( )0,( )xxf xbxxf xb 由當(dāng)0|時(shí)，|12min(0.取,)0( ),|( )xxf xaf xb當(dāng)0| 時(shí)，| 同時(shí)成立。|02ab取微積分2|ab| |,abab即矛盾。.ab0 xx當(dāng)0| 時(shí)，| | ( ) ( )|abf xaf x

11、b |( )|( )|f xaf xb微積分推論推論).()(),(, 0,)(lim,)(lim0000 xgxfxUxBABxgAxfxxxx 有有則則且且設(shè)設(shè)(3) 不等式性質(zhì)不等式性質(zhì)定理定理( (保序性保序性) ).),()(),(, 0.)(lim,)(lim0000BAxgxfxUxBxgAxfxxxx 則則有有若若設(shè)設(shè)微積分).0)(0)(,),(, 0),0(0,)(lim000 xfxfxUxAAAxfxx或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)則則或或且且若若定理定理( (保號(hào)性保號(hào)性) ).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或則則或或時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且

12、若若推論推論微積分0A證明：下面證明的情況。0.2A取 =-00lim( )0,( )xxf xAxxf xA 由當(dāng)0| 時(shí)，|( )Af xA0( )022AAxxf xAA當(dāng)0| 時(shí)，-證畢.微積分(4) 子列收斂性子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000時(shí)的子列時(shí)的子列當(dāng)當(dāng)為函數(shù)為函數(shù)即即則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列時(shí)時(shí)使得使得有數(shù)列有數(shù)列中中或或可以是可以是設(shè)在過(guò)程設(shè)在過(guò)程axxfxfxfxfxfaxnaxxxxaaxnnnn 定義定義.)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 則則有有時(shí)時(shí)的

13、的一一個(gè)個(gè)子子列列當(dāng)當(dāng)是是數(shù)數(shù)列列若若定理定理微積分證證.)(,0, 0, 00 Axfxx恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)Axfxx )(lim0.0, 0, 00 xxNnNn恒恒有有時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)上上述述,)( Axfn從而有從而有.)(limAxfnn 故故,lim00 xxxxnnn 且且又又微積分例如例如,xxysin 1sinlim0 xxx, 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在限都存在, ,且相等且相等

14、. .微積分xy1sin 例例7.1sinlim0不不存存在在證證明明xx證證 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且微積分 nxnnnsinlim1sinlim 而而, 1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 微積分4. 小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義函數(shù)極限的統(tǒng)一定義;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)

15、(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后時(shí)刻時(shí)刻(見(jiàn)下表見(jiàn)下表)微積分過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 n x x xNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx過(guò)過(guò) 程程時(shí)時(shí) 刻刻從此時(shí)刻以后從此時(shí)刻以后 )(xf Axf)(微積分思考題思考題試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù) 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x處處的的左左、右右極極限限是是否否存存在在？當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)，)(xf的的極極限限是是否否存存在在？微積分思考題解答思考題解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左極限存在左極限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右極限存在右極限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.微積分.01. 01_131222 yzxzxxyx，必有，必有時(shí)，只要時(shí)，只要取取，問(wèn)當(dāng)，問(wèn)當(dāng)時(shí)，時(shí)，、當(dāng)、當(dāng).001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要時(shí)時(shí)，取取，問(wèn)問(wèn)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，、當(dāng)當(dāng) 證明：證明：二、用函