如何學(xué)好高等代數(shù)

1、如何學(xué)好高等代數(shù)作者 :  謝啟鴻高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析、空間解析幾何一起，并稱為數(shù)學(xué)系本科生的三大基礎(chǔ)課。所謂基礎(chǔ)課，顧名思義，就是本科四年學(xué)習(xí)的所有數(shù)學(xué)課程，都是以上述三門課作為基礎(chǔ)的。因此對一年級新生而言，學(xué)好這三門基礎(chǔ)課，其重要性不言而喻。另一方面，從高中階段的“初等數(shù)學(xué)”過渡到大學(xué)階段的“高等數(shù)學(xué)”，中間需要一個思維轉(zhuǎn)變和理解進階的過程。這個過程延續(xù)的時間可長可短，完全取決于個人的能力和努力。因此，如何通過學(xué)好這三門基礎(chǔ)課，盡快跨越這個轉(zhuǎn)變過程，對一年級新生而言，其意思更加重大。 本人從2009年2月至2010年1月?lián)胃叩却鷶?shù)習(xí)題課教師，2010

2、年2月開始擔(dān)任高等代數(shù)主講教師，至今已有近5年的時間。在本文中，我將通過自己在教學(xué)中的切身體會，與大家分享學(xué)好高等代數(shù)的一些經(jīng)驗和方法。 一、將三門基礎(chǔ)課作為一個整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習(xí)，提倡綜合的思考 恩格斯曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)?！边@位先哲對數(shù)學(xué)的這一概括，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展來看，已經(jīng)遠遠不夠準確了，但這一概括卻點明了數(shù)學(xué)最本質(zhì)的研究對象，即為“數(shù)”與“形”。比如說，從“數(shù)”的研究衍生出數(shù)論、代數(shù)、函數(shù)、方程等數(shù)學(xué)分支；從“形”的研究衍生出幾何、拓撲等數(shù)學(xué)分支。20世紀以來，這些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支相互滲透、相互交叉，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)最前沿的研究方向，比如說，代數(shù)數(shù)論

3、、解析數(shù)論、代數(shù)幾何、微分幾何、代數(shù)拓撲、微分拓撲等等?？梢哉f，現(xiàn)代數(shù)學(xué)正朝著各種數(shù)學(xué)分支相互融合的方向繼續(xù)蓬勃地發(fā)展下去。 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、空間解析幾何這三門基礎(chǔ)課，恰好是數(shù)學(xué)最重要的三個分支-分析、代數(shù)、幾何的最重要的基礎(chǔ)課程。根據(jù)課程的特點，每門課程的學(xué)習(xí)方法當(dāng)然各不相同，但是如果不能以一種整體的眼光去學(xué)習(xí)和思考，即使每門課都得了A，也不見得就學(xué)的很好。學(xué)院的資深教授曾向我們抱怨：“有的問題只要畫個圖，想一想就做出來了，怎么現(xiàn)在的學(xué)生做題，拿來就只知道死算，連個圖也不畫一下?！碑?dāng)然，造成這種不足的原因肯定是多方面的。比如說，從教的角度來看，各門課程的教材或授課在某種程度上過

4、于強調(diào)自身的特點，很少以整體的眼光去講授課程或處理問題，課程之間的相互聯(lián)系也涉及的較少；從學(xué)的角度來看，學(xué)生們大都處于孤立學(xué)習(xí)的狀態(tài)，也就是說，孤立在某門課程中學(xué)習(xí)這門課程，缺乏對多門課程的整體把握和綜合思考。 根據(jù)我的經(jīng)驗，將高等代數(shù)和空間解析幾何作為一個整體去學(xué)，效果肯定比單獨學(xué)好，因為高等代數(shù)中最核心的概念是“線性空間”，這是一個幾何對象；而且高等代數(shù)中的很多內(nèi)容都是空間解析幾何自然的延續(xù)和推廣。另外，高等代數(shù)中還有很多分析方面的技巧，比如說“攝動法”，它是一種分析的方法，可以讓我們把問題從一般矩陣化到非異矩陣的情形。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，首先要跳出高等代數(shù)，將三門基礎(chǔ)課作為一

5、個整體去學(xué)，摒棄孤立的學(xué)習(xí)，提倡綜合的思考。 二、正確認識代數(shù)學(xué)的特點，在抽象和具體之間找到結(jié)合點 代數(shù)學(xué)（包括高等代數(shù)和抽象代數(shù)）給人的印象就是“抽象”，這與另外兩門基礎(chǔ)課有很大的不同。以“線性空間”的定義為例，集合V上定義了加法和數(shù)乘兩種運算，并且這兩種運算滿足八條性質(zhì)，那么V就稱為線性空間。我想第一次學(xué)高等代數(shù)的同學(xué)都會認為這個定義太抽象了。其實在高等代數(shù)中，這樣抽象的定義比比皆是。不過這樣的抽象是有意義的，因為我們可以驗證三維歐氏空間、連續(xù)函數(shù)全體、多項式全體、矩陣全體都是線性空間，也就是說，線性空間是從許多具體例子中抽象出來的概念，具有絕對的一般性。代數(shù)學(xué)的研究方

6、法是，從許多具體的例子中抽象出某個概念；然后通過代數(shù)的方法對這一概念進行研究，得到一般的結(jié)論；最后再將這些結(jié)論返回到具體的例子中，得到各種運用。因此，“具體->抽象->具體”，這便是代數(shù)學(xué)的特點。 在認識了代數(shù)學(xué)的特點后，就可以有的放矢地學(xué)習(xí)高等代數(shù)了。我們可以通過具體的例子去理解抽象的定義和證明；我們可以將定理的結(jié)論運用到具體的例子中，從而加深對定理的理解和掌握；我們還可以通過具體例子的啟發(fā)，去發(fā)現(xiàn)和證明一些新的結(jié)果。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，就需要正確認識抽象和具體的辯證關(guān)系，在抽象和具體之間找到結(jié)合點。 三、高等代數(shù)不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之

7、間建立一座橋梁 隨著時代的變遷，高等代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容和方式也在不斷的發(fā)展。大概在90年代之前，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材大多以“矩陣論”作為中心，比較強調(diào)矩陣論的相關(guān)技巧；90年代之后，國內(nèi)高校的高等代數(shù)教材漸漸地改變?yōu)橐浴熬€性空間理論”作為中心，比較強調(diào)幾何的意義。作為縮影，復(fù)旦的高等代數(shù)教材也經(jīng)歷了這樣一個變化過程，1993年之前采用的屠伯塤老師的教材強調(diào)“矩陣論”；1993年之后采用的姚慕生老師的教材強調(diào)“線性空間理論”。從單純重視“代數(shù)”到“代數(shù)”與“幾何”并重，這其實是高等代數(shù)教學(xué)觀念的一種全球性的改變，可能這種改變與現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展密切相關(guān)吧！ 學(xué)好高等代數(shù)的有效方法應(yīng)

8、該是：深入理解幾何意義、熟練掌握代數(shù)方法。 首先，高等代數(shù)中許多抽象的概念都有具體的幾何背景。因此，理解幾何意義、利用幾何直觀，將有助于我們更好的理解高等代數(shù)中抽象的定義和定理。比如說，當(dāng)面對“行列式”、“矩陣”和“線性方程組的解”等代數(shù)概念的時候，我們應(yīng)該好好想一想，它們的幾何意義究竟是什么呢？ 其次，高等代數(shù)中很多問題都是幾何的問題，我們經(jīng)常將幾何的問題代數(shù)化，然后用代數(shù)的方法去解決它。當(dāng)然，對于一些代數(shù)的問題，我們有時也將其幾何化，然后用幾何的方法去解決它。 最后，代數(shù)和幾何之間存在一座橋梁，這就是代數(shù)和幾何之間的轉(zhuǎn)換語言。有了這座橋梁，我們就可以在代數(shù)和幾

9、何之間來去自由、游刃有余。因此，要學(xué)好高等代數(shù)，不僅要學(xué)代數(shù)，也要學(xué)幾何，更要在代數(shù)和幾何之間建立一座橋梁。 四、學(xué)好教材，用好教參，練好基本功 復(fù)旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教材是姚慕生老師、吳泉水老師編著的高等代數(shù)學(xué)（第二版）。這本教材從1993年開始沿用至今，已有近20年的歷史。教材內(nèi)容翔實、重點突出、表述清晰、習(xí)題豐富，即使與全國各高校的高等代數(shù)教材相比，也不失為出類拔萃之作。 復(fù)旦現(xiàn)行的高等代數(shù)教學(xué)參考書是姚慕生老師編著的高等代數(shù)學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)（第二版）（因為封面為白色，俗稱“白皮書”）。這本教參書是數(shù)院本科生必備的寶典，基本上人手一冊，風(fēng)行程度可見一斑。 

10、要學(xué)好高等代數(shù)，學(xué)好教材是最低的要求。另外，如何用好教參書，也是一個重要的環(huán)節(jié)。很多同學(xué)購買教參書，主要是因為教材里的部分作業(yè)（包括一些很難的證明題）都可以在教參書上找到答案。當(dāng)然，這一點無可厚非，畢竟這就是教參書的功能嘛！但是，我還是希望一年級的新生能正確地使用教參書，遇到問題首先自己獨立思考，實在想不出，再去看懂教參書上的解答，這樣才能達到提高能力、鍛煉思維的效果。注意：既不獨立思考，又不看懂教參書上的解答，只是抄襲，這對自己來說是一種極不負責(zé)的行為，希望大家努力避免！ 最后，我愿以華羅庚先生的一句詩“勤能補拙是良訓(xùn)，一份辛勤一份才”與大家共勉，祝大家不斷進步、學(xué)業(yè)有成！ 作者簡介：謝啟鴻，1997年本科畢業(yè)于復(fù)旦