概率論與數(shù)理統(tǒng)計2-3

1、2.3 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度 一、一、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度二、常用連續(xù)型隨機變量的分布二、常用連續(xù)型隨機變量的分布一、一、 連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量及其概率密度定義定義 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x),如果存在如果存在非負(fù)函數(shù)非負(fù)函數(shù) f(x) ,使對任意實數(shù)使對任意實數(shù)x均有均有( )( )xFxf t dt則稱則稱X為為連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量,其中函數(shù)其中函數(shù)f(x)稱為稱為X的的概率密概率密度函數(shù)度函數(shù),簡稱密度函數(shù)簡稱密度函數(shù).概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)與與分布函數(shù)分布函數(shù)均可

2、完整地描述連續(xù)型隨機均可完整地描述連續(xù)型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性變量的統(tǒng)計規(guī)律性.由定義知由定義知,概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) f(x) 具有以下性質(zhì)具有以下性質(zhì):1.( )0();f xx 非負(fù)性：2.( )1;f x dx歸一性： 確定待定參數(shù)確定待定參數(shù)連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)( )( )( )baP aXbf x dxF bF a()（1）（2）00limlim( )0,axxaxP XaP axXaf x dx 注注 連續(xù)型隨機變量取任意值的概率為連續(xù)型隨機變量取任意值的概率為0.此性質(zhì)說明此性質(zhì)說明概率為零的事件不一定是不可能事件概率為零的事件不一定是不可能事件.( )(

3、 )( )baP aXbP aXbF bF af x dx（3）( )( )F xf x注：注：對分布函數(shù)分區(qū)間求導(dǎo)，得密度函數(shù)對分布函數(shù)分區(qū)間求導(dǎo)，得密度函數(shù)( )( )()xF xf t dtx 注：當(dāng)密度函數(shù)為分段函數(shù)時，由于分布函數(shù)是定義在注：當(dāng)密度函數(shù)為分段函數(shù)時，由于分布函數(shù)是定義在整個數(shù)軸上的函數(shù)，因此，整個數(shù)軸上的函數(shù)，因此，在利用密度函數(shù)求解分布函在利用密度函數(shù)求解分布函數(shù)時應(yīng)分區(qū)間求解。數(shù)時應(yīng)分區(qū)間求解。X20,0;( ),01;1,1.xF xxxx0.30.7 ;PXX例例 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為求（求（1 1）概率）概率（2 2）的概率密度的概

4、率密度. .X,03;( )2,34;20,kxxxf xx其他.kX( )F x71.2PX例例 設(shè)隨機變量設(shè)隨機變量 具有概率密度具有概率密度（1 1）確定常數(shù)）確定常數(shù) ；（2 2）求）求 的分布函數(shù)的分布函數(shù) ； （3 3）求）求二、常用連續(xù)型隨機變量的分布二、常用連續(xù)型隨機變量的分布1、均勻分布、均勻分布(Uniform distribution)定義定義1:設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為1,( )0,axbf xba其他.則稱則稱X服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布上的均勻分布,記為記為 ( , ).X U ab其其分布函數(shù)分布函數(shù)為為0,(

5、 ),1,.xaxaF xaxbbaxb注：均勻分布的概率意義，如果注：均勻分布的概率意義，如果X落在區(qū)間落在區(qū)間(a,b)上的均勻分布，那么對于任意滿足上的均勻分布，那么對于任意滿足結(jié)論：結(jié)論：X落在落在(a,b)中任意子區(qū)間的概率與該子區(qū)間中任意子區(qū)間的概率與該子區(qū)間的長度成正比，而與該子區(qū)間的具體位置無關(guān)。的長度成正比，而與該子區(qū)間的具體位置無關(guān)。 blcca()c lcdxlP cXclbaba例例 某公共汽車站從上午某公共汽車站從上午7 7時起，每時起，每1515分鐘來一分鐘來一班車，即班車，即7:007:00，7:157:15，7:307:30，7:457:45等時刻有汽等時刻有汽

6、車到達此站，如果乘客到達此站的時間是車到達此站，如果乘客到達此站的時間是7:007:00到到7:307:30之間的均勻隨機變量，試求乘客候車時之間的均勻隨機變量，試求乘客候車時間少于間少于5 5分鐘的概率分鐘的概率. . X其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為1,0,( )0,0.xexF xx 2、指數(shù)分布、指數(shù)分布(Index distribution )定義定義2:設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為的概率密度函數(shù)為,0,( )0,0.xexf xx其中其中0為常數(shù)為常數(shù),則稱隨機變量則稱隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為的指數(shù)分布，的指數(shù)分布，記為記為 ( ).XE 指數(shù)分布也被稱為壽命

7、分布，指數(shù)分布也被稱為壽命分布，如電子元件如電子元件的壽命，電話通話的時間，隨機服務(wù)系統(tǒng)的壽命，電話通話的時間，隨機服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時間等都可近似看作是服從指數(shù)分的服務(wù)時間等都可近似看作是服從指數(shù)分布的。布的。X11000例例4 某元件的壽命某元件的壽命 服從指數(shù)分布，已知其參數(shù)服從指數(shù)分布，已知其參數(shù) 這樣的元件使用這樣的元件使用10001000小時以上的概率；小時以上的概率； 3 3個這樣的元件使用個這樣的元件使用10001000小時，至少已有一個小時，至少已有一個 損壞的概率損壞的概率. .，求，求正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一正態(tài)分布是應(yīng)用最廣泛的一種連續(xù)型分布。種連續(xù)型分布。正態(tài)分布是十九世

8、紀(jì)初，由高斯正態(tài)分布是十九世紀(jì)初，由高斯(Gauss)給出給出并推廣的一種分布，故也稱并推廣的一種分布，故也稱高斯分布高斯分布。 正態(tài)分布正態(tài)分布 (Normal distribution)定義定義:設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為),(21)(222)(xexfx其中其中,(0)均為常數(shù)均為常數(shù),則稱則稱隨機變量隨機變量X服從參數(shù)為服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布的正態(tài)分布,記為記為).,(2NXX的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為此積分不能直此積分不能直接積分出來接積分出來).(21)(222)(xdtexFxt應(yīng)用應(yīng)用 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，在實際中，正態(tài)分布是概率論中

9、最重要的分布，在實際中，許許多隨機變量都服從或近似服從這種多隨機變量都服從或近似服從這種“兩頭小中間大兩頭小中間大”的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，例如，測一個零件的長度的測量誤差，例如，測一個零件的長度的測量誤差，海洋波浪的高度，農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量，人的身海洋波浪的高度，農(nóng)作物的單位面積產(chǎn)量，人的身高或體重等服從正態(tài)分布。正態(tài)分布在理論上也有高或體重等服從正態(tài)分布。正態(tài)分布在理論上也有很重要的意義。很重要的意義。正態(tài)分布概率密度的圖形特征正態(tài)分布概率密度的圖形特征(1)對稱性：對稱性：f(x)曲線曲線關(guān)于直線關(guān)于直線x=對稱對稱; 0h PhXPXh對任意的對任意的，有，有(2) 單調(diào)性與極值：單

10、調(diào)性與極值：max1()2ff(x) 在在x=處取得處取得最大值最大值: f(x) 在在(-, )內(nèi)單調(diào)增加，內(nèi)單調(diào)增加，(, +)在內(nèi)單調(diào)減少在內(nèi)單調(diào)減少在點處在點處處有拐點處有拐點,并且當(dāng)并且當(dāng) x 時，時，f(x) 0，曲線曲線 f(x) 向左右伸展時，越來越貼近向左右伸展時，越來越貼近 x 軸。因此軸。因此曲線曲線以以O(shè)x軸為水平漸近線軸為水平漸近線;(3) 拐點拐點(4)參數(shù)參數(shù)，2： 形狀參數(shù)形狀參數(shù)2(X的方差的方差)確定概率密度曲線的形狀確定概率密度曲線的形狀;位置參數(shù)位置參數(shù)(X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望)確定概率密度曲線的位置確定概率密度曲線的位置;特別的特別的,當(dāng)當(dāng)=0,2=1

11、時時,稱稱隨機變量隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布布,其密度函數(shù)其密度函數(shù),分布函數(shù)分別為分布函數(shù)分別為:,21)(22xex.21)(22xtdtex標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.任何正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。任何正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。2( ,)XN (0,1XYN）定理定理 設(shè)，則5 .0)0(1、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)滿足公式、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)滿足公式:).(1)(xx2、若、若 XN(0, 1),()( )( ) P aXbba ( )P Xbb 11( ).P XaP Xaa 2( ,) (0,1),XXNYN 若，則3、()()abbaP aXbPY ()bbP XbP Y 111()aaP XaP XaP Y (0,1)X N3, | 1.5.P XPX 例例 已知已知，試求，試求 (1,4)X