物理與電子科學(xué)技術(shù)系期末考試《高等數(shù)學(xué)III》

1、物理與電子科學(xué)技術(shù)系期末考試高等數(shù)學(xué) III 適用范圍：物理學(xué)、太陽能專業(yè) 13011301 、13031303命題人：劉俊俏 審核人：一、判斷正確與錯誤（每題 2 2 分，共 4040 分）1行列式中行列互換，行列式的值変號。（ 錯 ）2行列式等于它的任一行的各元與其余子式乘積之和。 （ 錯 ） 3矩陣的乘法滿足結(jié)合律和交換律。（ 錯 ）4一個矩陣左邊乘一初等矩陣，相等于該矩陣做一次初等列變換。 （錯 ） 5、初等變換改變矩陣的秩。（錯）6行列式的值為 0 的充要條件是其行（列）向量線性相關(guān)。（ 對 ）7矩陣的行秩等于列秩，都等于該矩陣中非零子式的最高階數(shù)。 （ 對 ）8. A, B 是同型

2、矩陣，則A+BwA+ rB。（對）9全體 n 階對稱矩陣所成的集合關(guān)于矩陣的加法與實數(shù)乘法構(gòu)成一個實線性空 間。（對 ）10、 若 L 是線性空間 V 的非空子集且關(guān)于 V 的線性運算封閉， 則 L 是 V 的子空 間。（對）11.線性變換把線性無關(guān)的向量組變成線性無關(guān)的向量組。（錯）12. 矩陣有相同的特征根，則該矩陣不能對角化。 （ 錯 ）13. 歐氏空間中正交組一定線性相關(guān)。（ 錯 ）14. 正交向量組到正交向量組之間的過渡矩陣是正交矩陣。（錯 ）15.二次型的標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的。 （錯）16.N 元實二次型是正定的充要條件是其正慣性指數(shù)是 N。（對）17 .任意兩個事件 A , B，有下列

3、加法公式成立P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）。（對 ）18. 甲乙丙三人獨立地同時向一架飛機射擊， 設(shè)三人 擊中飛機的 概率為0.4,0.5,0.7，一人擊中，飛機被擊落的概率是 0.2，二人擊中，飛機擊落的概率是0.6，三人擊中，飛機必落，三人同時射擊，飛機被擊落的概率是0.45819根據(jù)長期觀察知道甲、乙兩學(xué)生每天參加課后體育活動的比率分別為0.2和 0.18。兩人同時參加體育活動的比率為 0.12,則可以推斷甲、乙兩學(xué)生相識。（對）20、正態(tài)分布是連續(xù)性隨即變量。（對）二、計算題（每題 5 5 分，共 3030 分）1、有甲、乙、丙三種化肥，甲種化肥每千克含氮 70 克，磷

4、8 克，鉀 2 克; 乙種化肥每千克含氮 64 克，磷 10 克，鉀 0.6 克；丙種化肥每千克含氮 70 克, 磷 5 克，鉀1.4 克。若把此三種化肥混合，要求總重量 23 千克且含磷 149 克, 鉀 30 克，問三種化肥各需多少千克？（要求：列方程組，用克萊姆法則解答）解：設(shè)甲乙丙三種化肥各需X1,X2,X3千克，則可以列出方程組x1+ x2+ x3= 238% +10 x2+5X3=149 2 為 + 0.6 x2+14X3= 30可以得到各行列式的值為D=-257，D1=-8：1,D2=-27,D3=-81,55根據(jù)克萊姆法則，方程有唯一解:x1= 3,x2= 5,x3= 152、

5、求線性方程組的解5x1X2 22x3 3X4 472x1x2 24x3 32x41Xi i3x26X3 35x40解：對方程組的增廣矩陣作初等行變換（2分）（2分）答：三種化肥各需 3 千克，5 千克，15 千克（1分）51 2171 3 65 03 65 02142 12 1 42 17 1612 11365051 21714 3224 713650071612100005從最后一行知， 原方程組無解。（5分）3、求解矩陣方程小1解：X =(1-114)-1(1 02-11)( )-110（1 分）1 1 14 201141 0 1?2 1 10 11124311標(biāo)？ 解：假設(shè)坐標(biāo)為XX2,

6、X3，則可以得到如下方程組X-!+ x2+ x3= 1x.(+ x2- x3= 2 x.(- x2- x3= 11 1解答方程組，可以得到人=1,X2二？兀=-?1 1求在1,2,3下的坐標(biāo)（竄孑,-?）5、求矩陣的特征值-2 110 2 0 -4 131 -1(1-11)X(11420)=(0 -1)4、已知= (1,2,1),= (1,1,1),2= (1,1,-1),3= (1,-1,-1 ),求1,2,3下的坐問該矩陣能否對角化？解：由于特征方程為2f( )=1 E-A|=( +1)( -2) =0所以可以得到1= 1，2=3= -2特征向量分別為(1,0,1 ),(0,1-1),(1

7、,0,4)所以可以對角化三、綜合題(每題 6 6 分，共 3030 分)1.設(shè)f(z)x2axy by2i(cx2dxy y2)。問常數(shù)a,b,c,d為何值時f(z)在復(fù) 平面上處處解析？并求這時的導(dǎo)數(shù)。(8 分)2.設(shè) a、b 是實數(shù)，函數(shù)f (z) axy (bx2y2)i在復(fù)平面解析.求出 a、b 的值, 并求 f.(8分)3.驗證u(x, y) x2y22xy是調(diào)和函數(shù)，并求以u(x, y)為實部的解析函數(shù)f(z)，使f(i) 1 2i(8 分)z4.：，C 為正向圓周|z i |2.( 8 分)Cz1e?5.dz, C 為正向圓周| z|C1 zze6.求積分dz，從而證明：?z1z0五、簡