五年級牛吃草問題

1、牛吃草問題牛吃草問題是經(jīng)典的奧數(shù)題型之一，首先，先介紹一下這類問題的背景一、定義偉大的科學(xué)家牛頓著的普通算術(shù)一書中有這樣一道題：“12頭牛4周吃牧草格爾，同樣的牧草，21頭牛9周吃10格爾。問24格爾牧草多少牛吃18周吃完?！保ǜ駹栆灰荒翀雒娣e單位），以后人們稱這類問題為“牛頓問題”的牛吃草問題。二、特點(diǎn)在“牛吃草”問題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。來看看這例題例.有這樣的問題：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周.那么它可供21頭牛吃幾周？解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻

2、地生長，時間愈長，草的總量越多.草的總量是由兩部分組成的：某個時間期限前草場上原有的草量；這個時間期限后草場每天（周）生長而新增的草量.因此，必須設(shè)法找出這兩個量來。下面就用開頭的題目為例進(jìn)行分析.（見下圖）2T頭牛吃6周A原有的莫6周生快的草23頭牛吃9周原有的草q周生長的苴從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出部分相當(dāng)于3周新生長的草量.為了求出一周新生長的草量，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化.27頭牛6周吃草量相當(dāng)于27X6=162頭牛一周吃草量（或一頭牛吃162周）.23頭牛9周吃草量相當(dāng)于23X9=207頭牛一周吃草量（或一頭牛吃207周）.這樣一來可以認(rèn)為每周新生長

3、的草量相當(dāng)于（207-162）+（9-6）=15頭牛一周的吃草量。需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長的草量（即15X6=90頭牛吃一周的草量）即為牧場原有草量。所以牧場上原有草量為27X6-15X6=72頭牛一周的吃草量（或者為23X9-15X9=72）。牧場上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當(dāng)于把21頭牛分成兩部分.一部分看成專吃牧場上原有的草.另一部分看成專吃新生長的草.但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終可保持平衡（前面已分析過每周新生的草恰夠15頭牛吃一周）.故分出15頭牛吃新生長的草，另一部分21-15=6（頭）牛去吃

4、原有的草.所以牧場上的草夠吃72+6=12（周），也就是這個牧場上的草夠21頭牛吃12周.問題得解。三、例題講解例1牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？分析與解：這類題難就難在牧場上草的數(shù)量每天都在發(fā)生變化。總草量可以分為牧場上原有的草和新生長出來的草兩部分。牧場上原有的草是不變的，新長出的草雖然在變化，因?yàn)槭莿蛩偕L，所以這片草地每天新長出的草的數(shù)量相同，即每天新長出的草是不變的。下面，就要設(shè)法計算出原有的草量和每天新長出的草量這兩個不變量。設(shè)1頭牛一天吃的草為1份。那么，10頭牛20天吃200份，草被吃完；15

5、頭牛10天吃150份，草也被吃完。前者的總草量是200份，后者的總草量是150份，前者是原有的草加20天新長出的草，后者是原有的草加10天新長出的草。200150=50（份）,2010=10（天）,說明牧場10天長草50份，1天長草5份。也就是說，5頭牛專吃新長出來的草剛好吃完，5頭牛以外的牛吃的草就是牧場上原有的草。由此得出，牧場上原有草（105）X20=100（份）或（155）X10=100（份）?，F(xiàn)在已經(jīng)知道原有草100份，每天新長出草5份。當(dāng)有25頭牛時，其中的5頭專吃新長出來的草，剩下的20頭吃原有的草，吃完需100+20=5（天）。所以，這片草地可供25頭牛吃5天。在例1的解法中要

6、注意三點(diǎn)：（1）每天新長出的草量是通過已知的兩種不同情況吃掉的總草量的差及吃的天數(shù)的差計算出來的。（2）在已知的兩種情況中，任選一種，假定其中幾頭牛專吃新長出的草，由剩下的牛吃原有的草，根據(jù)吃的天數(shù)可以計算出原有的草量。（3）在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，根據(jù)原有的草量可以計算出能吃幾天。例2.12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草.多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草（每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場上每天生長草量相等）？分析：解題的關(guān)鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有

7、的草量可供幾頭牛吃一天。12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草.相當(dāng)于一公畝原來的牧草加上28天新生長的草可供33.6頭牛吃一天（12X28+10=33.6）。21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草，相當(dāng)于一公畝原有的草加上63天新生長的草可供44.1頭牛吃一天（63X21+30=44.1）。一公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即（44.1-33.6）+（63-28）=0.3（頭）。一公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即33.6-0.3X28=25.2（頭）。72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天.即72X25.2+126=14.4（頭）。72公畝每天新生長的草量可供21.6頭

8、牛吃一天.即72X0,3=21,6（頭）。所以72公畝牧場上的牧草共可以供36（=14.4+21.6）頭牛吃126天,問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？（63X21-30-12X28-10）+（63-28）=0.3（頭）。一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？12X28-10-0.3X28=25,2（頭）。72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？72X25.2+126+72X0,3=36（頭）。答：72公畝的牧草可供36頭牛吃126天。例3.兩只蝸牛同時從一口井的井頂爬向井底。白天往下爬，兩只蝸牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，兩只蝸

9、?；械乃俣葏s是相同的，結(jié)果一只蝸牛恰好用了5個晝夜到達(dá)井底，另一只恰好用了6個晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？分析：大家說這里什么是牛？什么是草？都什么是不變的？蝸牛每夜下降：（20X5-15X6）+（6-5）=10分米所以井深：（20+10）X5=150分米=15米例4.一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，水勻速進(jìn)入船內(nèi),如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水8小時淘完.如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？分析：這類問題，都有它共同的特點(diǎn)，即總水量隨漏水的延長而增加,所以總水量是個變量,而單位時間內(nèi)漏進(jìn)船的水的增長量是不變的,船內(nèi)原有的水量（即發(fā)現(xiàn)船漏水時船內(nèi)已有的水量）也是不變的量,對于

10、這個問題我們換一個角度進(jìn)行分析。如果設(shè)每個人每小時的淘水量為“1個單位”,則船內(nèi)原有水量與3小時內(nèi)漏水總量之和等于每人每小時淘水量X時間X人數(shù)，即1X3X10=30.船內(nèi)原有水量與8小時漏水量之和為1X5X8=40。每小時的漏水量等于8小時與3小時總水量之差一時間差，即（40-30）+（8-3）=2（即每小時漏進(jìn)水量為2個單位，相當(dāng)于每小時2人的淘水量）。船內(nèi)原有的水量等于10人3小時淘出的總水量-3小時漏進(jìn)水量,3小時漏進(jìn)水量相當(dāng)于3X2=6人1小時淘水量,所以船內(nèi)原有水量為30-（2X3）=24。如果這些水（24個單位）要2小時淘完，則需24+2=12（人），但與此同時，每小時的漏進(jìn)水量又

11、要安排2人淘出，因此共需12+2=14（人）。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時間內(nèi)增加的量，這兩個量是不變的量,有了這兩個量，問題就容易解決了。例5.一個水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20小時可以把水抽干，用15部相同的抽水機(jī)10小時可把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時可以把水抽干？分析：設(shè)一臺抽水機(jī)一小時抽水一份。則每小時涌出的水量是：（20X10-15X10）+（20-10）=5份，池內(nèi)原有的水是：（10-5）X20=100份,所以，用25部抽水機(jī)需要：100+（25-5）=5小時例6.一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫,5

12、臺抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干,若要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機(jī)？解：水庫原有的水與20天流入水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？20X5=100（臺）水庫原有的水與15天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽每天流入的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天?原有的水可供多少臺抽水機(jī)抽1天？若6天抽完，共需抽水機(jī)多少臺？答：若6天抽完，共需12臺抽水機(jī)。例8.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著:分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級,鐘到達(dá)樓上。問：該扶梯共有多少級？1天?6X15=90（臺）。（100-90）+（20-15）=2（臺）。100-20X2=60（臺）。60+6+2=12（臺）。兩

13、位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每結(jié)果男孩用了5分鐘到達(dá)樓上，女孩用了6分分析：與例3比較，“總的草量”變成了“扶梯的梯級總數(shù)”，“草”變成了“梯級”，“?！弊兂闪恕八俣取保部梢钥闯膳３圆輪栴}。上樓的速度可以分為兩部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自動扶梯的速度。男孩5分鐘走了20X5=100（級），女孩6分鐘走了15X6=90（級），女孩比男孩少走了10090=10（級），多用了65=1（分），說明電梯1分鐘走10級。由男孩5分鐘到達(dá)樓上，他上樓的速度是自己的速度與扶梯的速度之和，所以扶梯共有（20+10）X5=150（級）。解：自動扶梯每分鐘走（20X515X6）+（65）=

14、10（級），自動扶梯共有（20+10）X5=150（級）。答：扶梯共有150級。例9.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。如果同時打開7個檢票口，那么需多少分鐘？分析與解：等候檢票的旅客人數(shù)在變化，“旅客”相當(dāng)于“草”，“檢票口”相當(dāng)于“牛”，可以用牛吃草問題的解法求解。旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開始檢票前已經(jīng)在排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。設(shè)1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。因?yàn)?個檢票口30分鐘通過（4X30）份，5個檢票口20分鐘通過（5X20）份，說明在

15、（30-20）分鐘內(nèi)新來旅客（4X30-5X20）份，所以每分鐘新來旅客（4X30-5X20）+（30-20）=2（份）。假設(shè)讓2個檢票口專門通過新來的旅客，兩相抵消，其余的檢票口通過原來的旅客，可以求出原有旅客為（4-2）X30=60（份）或（5-2）X20=60（份）。同時打開7個檢票口時，讓2個檢票口專門通過新來的旅客，其余的檢票口通過原來的旅客，需要60+(7-2)=12(分)例10.由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天,或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天?分析與解：與例1不同的是，不僅沒有新長出的草，

16、而且原有的草還在減少。但是，我們同樣可以利用例1的方法，求出每天減少的草量和原有的草量。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。20頭牛5天吃100份，15頭牛6天吃90份，100-90=10（份），說明寒冷使牧場1天減少青草10份，也就是說，寒冷相當(dāng)于10頭牛在吃草。由“草地上的草可供20頭牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10頭牛同時在吃草，所以牧場原有草（20+10）X5=150（份）。由150+10=15知，牧場原有草可供15頭牛吃10天，寒冷占去10頭牛，所以，可供5頭牛吃10天。例11.一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6天，或供23頭牛吃9天，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭，余

17、下的牛又吃了4天將草吃完。這群牛原來有多少頭？分析：設(shè)每頭牛每天的吃草量為1份。每天新生的草量為：（23X9-27X6）+（20-10）=15份，原有的草量為（27-15）X6=72份。如兩頭牛不賣掉，這群牛在4+4=8天內(nèi)吃草量72+15X8+2X4=200份。所以這群牛原來有200+8=25頭例12.一塊草地，每天生長的速度相同.現(xiàn)在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只羊吃12天.如果一頭牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，那么10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？分析由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天吃草量相等，80只羊每天吃草量與

18、20頭牛每天吃草量相等。解：60只羊每天吃草量相當(dāng)多少頭牛每天的吃草量？60+4=15（頭）草地原有草量與20天新生長草量可供多少頭牛吃一天？16X20=320（頭）(80+4)X12=240(頭)。(320-240)+(20-12)=10(頭)。320-(20X10)=120(頭)。120+(60+4+10-10)=8(天)。80只羊12天的吃草量供多少頭牛吃一天？每天新生長的草夠多少頭牛吃一天?原有草量夠多少頭牛吃一天？原有草量可供10頭牛與60只羊吃幾天？答：這塊草場可供10頭牛和60只羊吃8天例13.有三塊草地，面積分別為5,6和8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供

19、11頭牛吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14天。問：第三塊草地可供19頭牛吃多少天？分析與解：例1是在同一塊草地上，現(xiàn)在是三塊面積不同的草地。為了解決這個問題,只需將三塊草地的面積統(tǒng)一起來。5,6,8=120。因?yàn)?公頃草地可供11頭牛吃10天，120+5=24,所以120公頃草地可供11X24=264（頭）牛吃10天因?yàn)?公頃草地可供12頭牛吃14天，120+6=20,所以120公頃草地可供12X20=240（頭）牛吃14天。120+8=15,問題變?yōu)椋?20公頃草地可供19X15=285（頭）牛吃幾天？因?yàn)椴莸孛娣e相同，可忽略具體公頃數(shù)，所以原題可變?yōu)椋骸耙粔K勻速生長的草地，可供264頭

20、牛吃10天，或供240頭牛吃14天，那么可供285頭牛吃幾天？”這與例1完全一樣。設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。每天新長出的草有（240X14264X10）+（1410）=180（份）。草地原有草（264180）X10=840（份）?？晒?85頭牛吃840+（285180）=8（天）。所以，第三塊草地可供19頭牛吃8天。練習(xí)1 .一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供27頭牛吃6周或供23頭牛吃9周。那么，可供21頭牛吃幾周？2 .一牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可供17頭牛吃30天，或供19頭牛吃24天?，F(xiàn)有一群牛，吃了6天后賣掉4頭，余下的牛又吃了2天將草吃完，這群牛原來有多少頭？3

21、 .經(jīng)測算，地球上的資源可供100億人生活100年，或可供80億人生活300年。假設(shè)地球新生成的資源增長速度是一定的，為使人類有不斷發(fā)展的潛力，地球最多能養(yǎng)活多少億人？4 .有一水池，池底有泉水不斷涌出。用10部抽水機(jī)20時可以把水抽干；用15部同樣的抽水機(jī)，10時可以把水抽干。那么，用25部這樣的抽水機(jī)多少小時可以把水抽干？5 .某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。如果同時開放3個檢票口，那么40分鐘檢票口前的隊伍恰好消失；如果同時開放4個檢票口，那么25分鐘隊伍恰好消失。如果同時開放8個檢票口，那么隊伍多少分鐘恰好消失？6 .兩只蝸牛由于耐不住陽光的照射，從井頂逃向

22、井底。白天往下爬，兩只蝸牛白天爬行的速度是不同的，一只每個白天爬20分米，另一只爬15分米。黑夜里往下滑，兩只蝸?；械乃俣葏s是相同的。結(jié)果一只蝸牛恰好用5個晝夜到達(dá)井底，另一只蝸牛恰好用6個晝夜到達(dá)井底。那么，井深多少米？7 .兩位頑皮的孩子逆著自動扶梯的方向行走。在20秒鐘里，男孩可走27級梯級，女孩可走24級梯級，結(jié)果男孩走了2分鐘到達(dá)另一端，女孩走了3分鐘到達(dá)另一端。問：該扶梯共多少級？答案與提示1 .解：設(shè)1頭牛1周吃的草為1份。牧場每周新長草（23X9-27X6）+（9-6）=15（份）。草地原有草（27-15）X6=72（份）,可供21頭牛吃72+（21-15）=12（周）。2

23、.解：設(shè)1頭牛1天吃的草為1份。牧場每天新長草（17X3019X24）+（30-24）=9（份）。草地原有草（179）X30=240（份）。這群牛8天應(yīng)吃掉草240+9X8+4X2=320（份），所以這群牛有320+8=40（頭）。3 .解：設(shè)1億人生活1年的資源為1份。地球每年新生成資源（80X300-100X100）+（300-100）=70（份）。當(dāng)新生成的資源不少于每年消耗掉的資源時，地球上的資源才不致減少。所以地球最多能養(yǎng)活70億人。4 .解：設(shè)1部抽水機(jī)1時抽出的水為1份。水池中每小時涌出泉水（10X2015X10）+（20-10）=5（份）。水池中原有水（10-5）X20=100

24、（份）。25部抽水機(jī)抽干需100+（25-5）=5（時）。5 .解：設(shè)1個檢票口1分鐘通過的旅客人數(shù)為1份。每分鐘新來旅客6 .解：每夜下滑（20X5-15X5）+（6-5）=10（分米），井深（20+10）X5=150（分米）=15米。7 .解：自動扶梯每分鐘走24X（180+20）-27X（120+20）+（3-2）=54（級）。自動扶梯共有27X（120+20）-54X2=54（級）。鞏固練習(xí)1 .一塊牧場長滿了草，每天均勻生長。這塊牧場的草可供10頭牛吃40天，供15頭牛吃20天?？晒?5頭牛吃天。A.10B.5C.20解：A假設(shè)1頭牛1天吃草的量為1份。每天新生的草量為：（10X40

25、-15X20）+（40-20）=5（份）。那么愿草量為：10X40-40X5=200（份），安排5頭牛專門吃每天新長出來的草，這塊牧場可供25頭牛吃：200+（25-5）=10（天）。2 .一塊草地上的草以均勻的速度生長，如果20只羊5天可以將草地上的草和新長出的草全部吃光，而14只羊則要10天吃光。那么想用4天的時間，把這塊草地的草吃光，需要一只羊。A.22B.23C.24解：B假設(shè)1只羊1天吃草的量為1份。每天新生草量是：（14X10-20X5）+（10-5）=8（份）原草量是：20X5-8X5=60（份）安排8只羊?qū)ｉT吃每天新長出來的草，4天時間吃光這塊草地共需羊：60+4+8=23（只

26、）3 .畫展9時開門，但早有人來排隊等候入場。從第一個觀眾來到時起，每分鐘來的觀眾人數(shù)一樣多。如果開3個入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊了，那么第一個觀眾到達(dá)的時間是8點(diǎn)分。A.10B.12C.15解：C假設(shè)每個人口每分鐘進(jìn)入的觀眾量是1份。每分鐘來的觀眾人數(shù)為（3X9-5X5）+（9-5）=0.5（份）到9時止，已來的觀眾人數(shù)為：3X9-0.5X9=22.5（份）第一個觀眾來到時比9時提前了：22.5+0.5=45（分）所以第一個觀眾到達(dá)的時間是9時-45分=8時15分。5 .快、中、慢三車同時從A地出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24千米、20千米、19千米?？燔囎飞献?/p>

27、行車用了6小時，中車追上自行車用了10小時，慢車追上自行車用（）小時。解：自行車的速度是：（20X10-24X6）+（10-6）=14（千米/小時）三車出發(fā)時自行車距A地：（24-14）X6=60（千米）慢車追上自行車所用的時間為：60+（19-14）=12（小時）6 .一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用24根抽水管抽水，6小時可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（）小時可將可將水池中的水抽干。解：18設(shè)1根抽水管每小時抽水量為1份。（1）進(jìn)水管每小時卸貨量是：（21X8-24X6）+（8-6）=12（份）(2)水池中原有的水量為：21X8-12X8=72(份)(3)16根抽水管，要將水池中的水全部抽干需：72+(16-12)=18(小時)7.某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運(yùn)走，如用9輛汽車，12小時可以把它們運(yùn)完，如果用8輛汽車，16小時可以把它們運(yùn)完。如果開始只用3輛汽車，10小時后增加若干輛，再過4小時也能運(yùn)完，那么后來增加的汽車是()輛。解：設(shè)每兩汽車每小時運(yùn)的貨物為1份。(1)進(jìn)水管每