人教版七年級數(shù)學(xué)下冊培優(yōu)新幫手專題22直線、射線與線段

1、22直線、射線與線段閱讀與思考構(gòu)成平面圖形的基本元素是點(diǎn)和線，在幾何圖形中，點(diǎn)無大小，線無寬窄，它們都是抽象思維的產(chǎn)物，點(diǎn)與線有著密切的聯(lián)系，點(diǎn)運(yùn)動成線，線與線相交的地方形成點(diǎn)，一條線確定了兩個(gè)端點(diǎn)，線的長短也就確定了，從這個(gè)意義上講，點(diǎn)是線的界限.在線中，最簡單、最常見的就是直線、射線、線段，它們是最基本的圖形，它們的概念、性質(zhì)及畫圖是今后研究由線段所組成的比較復(fù)雜圖形（如三角形、四邊形等）的基礎(chǔ)，解與直線、射線、線段相關(guān)問題常涉及如下知識與方法：1 .直線、射線、線段的區(qū)別與聯(lián)系.2 .線段中點(diǎn)的概念.3.枚舉法、分類討論法.例題與求解【例1】已知一條直線上有A,B,C三點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)

2、為P,AB=10,線段BC的中點(diǎn)為Q,BC=6,則線段PQ的長為.（江蘇省競賽試題解題思路：未給出圖形，注意C點(diǎn)位置有多種可能【例2】在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A,B,C,D,那么到A,B,C,D的距離之和最小的點(diǎn)（）A.可以是直線AD外的某一點(diǎn)B,只有點(diǎn)B或點(diǎn)CC.只是線段AD的中點(diǎn)D.有無窮多個(gè)（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：直線上的四個(gè)點(diǎn)把直線分成五部分，就每一種情況畫圖表示出到A,B,C,D的距離，從直觀的圖形中作出判斷.【例3】如圖，C是線段上的一點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，已知圖中所有線段的長度之和為23,線段AC的長度與線段BC的長度都是正整數(shù)，求線段AC的長.II1IACDB

3、（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：解題的關(guān)鍵是將每一條線段用AC或BC來表示，依題意可列一個(gè)關(guān)于AC,BC的方程，討論此不定方程的正整數(shù)解.【例4】如圖所示，點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為線段AB上的點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE的中點(diǎn).（1）若線段AB=a,CE=b,|a-15|+（b-4.5）2=0,求a,b.（2）如圖，在（1）的條件下，求線段DE的長.（3）如圖，若AB=15,AD=2BE,求線段CE的長.IIIIIIADCEBADCEB圖圖（湖北省武漢市調(diào)考試題）解題思路：將幾何問題代數(shù)化，對于（3）,引入未知數(shù)，列方程求解.【例5】（1）一條直線可以把平面分成兩個(gè)部分（或區(qū)域），如圖，兩條直線可

4、以把平面分成幾個(gè)部分？三條直線可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫圖說明.（2）四條直線最多可以把平面分成幾個(gè)部分？試畫出示意圖，并說明這四條直線的位置關(guān)系.（3）平面上有n條直線，每兩條直線都恰好相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，處于這種位置的n條直線分一個(gè)平面所成的區(qū)域最多，記為an，試研究an與n之間的關(guān)系.1l2（山東省聊城市中考試題）解題思路：從簡單情形入手，由簡到繁，歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律【例6】已知線段AB=m,CD=n，線段CD在直線上運(yùn)動（A在B左側(cè)，C在D左側(cè)），若|m2nl與（6-n）2互為相反數(shù).（1）求線段AB,CD的長.（2）M,N分別是線段AC,BD的中點(diǎn)，若BC=4,求MN.（3）當(dāng)

5、CD運(yùn)動到某一時(shí)刻時(shí)，D點(diǎn)與B點(diǎn)重合，P是線段延長線上任意一點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：PA+PB是定值;PA-PB是定值.可以證明，有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請你作出正PCPC確的選擇并畫圖求值.（浙江省寧波市中考試題改編）解題思路：（1）|m-2nl與（6n）的平方互為相反數(shù)，可以推出二者都為零，否則一個(gè)正數(shù)是不可能等于一個(gè)負(fù)數(shù)的，所以n=6,m=12.（2）需要分類討論：如圖，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，根據(jù)“M,N分別為線段AC,BD的中點(diǎn)”，先計(jì)算出AM,DN的長度，然后計(jì)算MN=ADAMDN;如圖，當(dāng)點(diǎn)C位于點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用線段間的和差關(guān)系求得MN的長度.（3）能計(jì)算出或的值是一個(gè)常數(shù)的，即為符合題

6、意的結(jié)論能力訓(xùn)練A級1 .已知點(diǎn)O在直線AB上，且線段OA的長度為4cm,線段OB的長度為6cm,E,F分別為線段。A,OB的中點(diǎn)，則線段EF的長度為.（黑龍江省中考試題）2 .如圖，線段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么圖中所有線段的長度之和等于厘米.ABCDE（“希望杯”邀請賽試題）3 .如圖，B,C,D依次是上的三點(diǎn)，已知AE=8.9cm,BD=3cm,則圖中以A,B,C,D,E這5個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的所有線段長度的和為cm.ABCDE（中學(xué)生數(shù)理化讀刊用刊知識競賽試題）4 .平面內(nèi)兩兩相交的8條直線，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)最少為,最多為.（“希望杯”邀請賽試題）5 .直線a,b,c,d,e共點(diǎn)O,直線l

7、與上述五條直線分別交于A,B,C,D,E五點(diǎn)，則上述圖形中共有線段（）條.6.如圖，點(diǎn)A,B,N是線段BC的中點(diǎn).若想求出D.15MN的長度，則只需條件（）A.AB=12B. BC=4C. AM=5D. CN=2（海南省競賽試題）7.如圖，A,B,C,D四點(diǎn)在同一直線上,M是線段AB的中點(diǎn),N是線段DC的中點(diǎn)，MN=a,BC=b貝UAD=（B.a2bC. 2b-aD. 2a-bAMBCND8 .如圖，AC=1AB,BD=1AB,且AE=CD,則CE為AB長的（）34a.6B.C.112D.116ACEDB9 .已知線段AB=6.（1）取線段AB的三等分點(diǎn)，這些點(diǎn)連同線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多

8、少條線段？求這些線段長度的和.（2）再在線段AB上取兩種點(diǎn)：第一種是線段AB的四等分點(diǎn)；第二種是線段AB的六等分點(diǎn),這些點(diǎn)連同（1）中的三等分點(diǎn)和線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)可以組成多少條線段？求這些線段長度的和.（湖北省武漢市武昌區(qū)期末調(diào)考試題）10 .已知AB=60cm,點(diǎn)C是直線AB上不同于A,B的點(diǎn)，M為AC中點(diǎn)，N是BC中點(diǎn)，求MN的長度.11.如圖，已知點(diǎn)A,B,C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)為6,BC=4,AB=12.（1）求點(diǎn)A,B對應(yīng)的數(shù)；（2）動點(diǎn)P,Q同時(shí)從A,C出發(fā)，分別以每秒6個(gè)單位和3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動.M為AP的中點(diǎn)，N在CQ上，且CN=1CQ,設(shè)運(yùn)動時(shí)間t（t&g

9、t;0）.3求點(diǎn)M,N對應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）.t為何值時(shí)，OM=2BN?ABC1LILI111Hl>0B級1 .把線段AB延長至D,使BD=IAB,再延長BA至C,使CA=AB,則BC是CD的一倍.2 .如圖，AB：BC：CD=2：3：4,AB的中點(diǎn)M與CD的中點(diǎn)N的距離是3厘米，則BC=_厘米.IIIIAMBCND3 .如圖，C是線段AB的中點(diǎn)，D是線段CB上的一點(diǎn)，若所有線段的長度都是正整數(shù)，且線段AB的所有可能的長度數(shù)的乘積等于140,則線段AB的所有可能的長度數(shù)的和等于.IiIACDB（“希望杯”邀請賽試題）4 .如圖，已知B,C是線段AD上的兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD

10、的中點(diǎn)，若MN=a,BC=b,則線段AD=.I111IlliAMBCND5 .如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對應(yīng)的數(shù)a,b,c都不為0,且C是AB的中點(diǎn).如果|a+b|a2c|+|b2c|a+b-2d=0,那么原點(diǎn)O的位置在（）A.線段AC上B.線段CA的延長線上C.線段BC上D.線段CB的延長線上ACBJJIacb（江蘇省競賽試題）6.如圖，已知B是線段AC上的一點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，N為線段AC的中點(diǎn)，P為NA的中點(diǎn)，Q為MA的中點(diǎn)，則MN：PQ等于（）A.1B.2C.3D.41 IIIIIAQPMNBC7.平面上有四個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過其中每兩個(gè)點(diǎn)畫一條直線，那么一共可以畫直線（）A.6條B.1

11、條或3條或6條C.1條或4條D,1條或4條或6條8.如圖，在一條筆直的公路上有7個(gè)村莊，其中A,B,C,D,E,F離城市的距離分別為4,10,15,17,19,20公里，而村莊G正好是AF的中點(diǎn)，現(xiàn)要在某個(gè)村莊建一個(gè)活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，則活動中心應(yīng)建在（）A.A處B.C處C.G處D.E處1胭胴II，I，IIABGCDEF城市（江蘇省競賽試題）9 .電子跳蚤游戲盤為ABC,AB=8a,AC=9a,BC=10a,如果電子跳蚤開始時(shí)在BC邊上Po點(diǎn)，BP°=4a,第一步跳蚤跳到AC邊上Pi點(diǎn)，且CPi=CP0;第二步跳蚤從Pi跳到邊上P2點(diǎn)，且AP2=AP"

12、第三步跳蚤從P2跳到BC邊上P3點(diǎn)，且BP3=BP2跳蚤按上述規(guī)則跳下去，第2001次落到P2001,請計(jì)算P0與P2001之間的距離.（“華杯賽”邀請賽試題）10 .設(shè)有甲、乙、丙三人，他們步行的速度相同，騎車的速度也相同，騎車的速度為步行速度的3倍.現(xiàn)甲自A地去B地，乙、丙則從B地去A地，雙方同時(shí)出發(fā)，出發(fā)時(shí)，甲、乙為步行，丙騎車.途中，當(dāng)甲、丙相遇時(shí)，丙將車給甲騎，自己改為步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn)；當(dāng)甲、乙相遇時(shí)，甲將車給乙騎，自己又步行，三人仍按各自原有方向繼續(xù)前進(jìn).問：三人之中誰最先到達(dá)自己的目的地？誰最后到達(dá)自己的目的地?(“華羅庚金杯”競賽試題)11 .已知數(shù)軸上A,B

13、兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為-2和4,P為數(shù)軸上一點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為x.(1)若P為線段AB的三等分點(diǎn)，求P點(diǎn)對應(yīng)的數(shù).(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P,使P點(diǎn)到A點(diǎn)，B點(diǎn)距離和為10?若存在，求出x值；若不存在，請說明理由.(3)若點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)P(點(diǎn)P在原點(diǎn))同時(shí)向左運(yùn)動，它們的速度分別為1,2,1個(gè)(長度單位/分)，則第幾分鐘時(shí)，P為AB的中點(diǎn)？12 .一條直線順次排列著1990個(gè)點(diǎn)：P1,P2,，P1990,已知點(diǎn)R是線段RPk中的k等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近巧Pk中的那個(gè)點(diǎn)(2Wk<1989),如P5是線段P4P6的5等分點(diǎn)當(dāng)中最靠近P6的那個(gè)分點(diǎn).如果線段P1P2的長度是1,線段P1989P1990的長度為t.

14、求證：1=19881紳7'L|32_(浙江省競賽試題)專題22直線、射線、線段BD二義，故圖中所有線2例3設(shè)AC=x,BC=y，則AD=x+2),AB=x+y,CD=-,2段長度之和為AC+AD+AB+CD+BC+BD=x+(x+y)+(x+y)+2=3x+7y23x+7y=23,即6x+7y=462,士?x=3.又x,y為正整數(shù)，i?y=4例4(1)a=15,b=4.5AB一一(2)BC=7.5,BE=BC-CE=3,AE=AB-BE=15-3=12,21DE=AE=62(3)設(shè)BE=x,則AD=DE=2x：及AD+DE+BE=15,x+2x+2x=15,解得x=3,即BE=3,CE

15、=BC-BE=7.5-3=4.5例5(1)如圖，兩條直線因其位置不同，可以分別把平面分成3個(gè)或4個(gè)區(qū)域；如圖，三條直線因其位置不同，可以分輻把平面分成4個(gè)，6個(gè)，7個(gè)區(qū)域(2)如圖，四條直線最多可以把平面分成11個(gè)區(qū)域，此時(shí)這四條直線位置關(guān)系是兩兩都相交，且無三線共點(diǎn)。(3)平面上n條直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點(diǎn)，把平面分成an個(gè)區(qū)域，平面本身就是一個(gè)區(qū)域，當(dāng)n=1時(shí)，a1=1+1=2；當(dāng)n=2時(shí)，a2=1+1+2=4；當(dāng)n=3時(shí)，a3=1+1+2+3=7；當(dāng)n=4時(shí)，a4=1+1+2+3+4=11,由此2n(n+1)n+n+2/可以歸納公式為an=1+1+2+3+n=1+-()=4D

16、E=4(AB+DE)+622(BC+CD)=4(AE-BD)+6BD=4AE+2BD=4X8.9+2)3=41.6.4.1285.D6.A7.D8.C9. (1)6條，長度和為20.(2) 36條，長度和為88.1110. (1)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，MN=NCMC=1(BCAC)=AB=30cm.221 1(2)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，MN=NC+MC=1(BC+AC)=AB=30cm.2 21 1(3)當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，MN=MC-NC=1(AC-BC)=1AB=30cm.2 2綜上所述：MN=30cm.11.(1)A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為一10,2.11(2)AP=6t,CQ=3t,

17、M為AP中點(diǎn)，CN=mCQ,則AM=AP=3t,32-1.1CN=CQ=x3t=t.33點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為一10+3t,點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為6+t.OM=|10+3t|,BN=BC+CN=4+t,又OM=2BN,.|10+3t|=8+2t.貝U10+3t=8+2t或一10+3t=-8-2t.解之得t=18秒或2秒.5B級1.42.1-3.244.2ab5.A提示：c=-b7226.B7.D8.B9 .因BP0=4a,根據(jù)題意：CP0=10a-4a=6a,CP=CP0=6a；AP=9a6a=3a；AP2=AP1=3a；BP2=8a-3a=5a,BP3=BP2=5a；CP3=10a-5a=5a,CP4=CP

18、3=5a；AP4=9a-5a=4a,AP5=AP4=4a；BP5=8a4a=4a,BP6=BP5=4a.由此可見，P6點(diǎn)與Po點(diǎn)重合，又因?yàn)?001=6X333+3,所以P2001點(diǎn)與P3點(diǎn)重合，Po與P2001之間的距離就是Po與P3之間的距離，積6a-5a=a.10 .提示：如圖，設(shè)甲、丙在C點(diǎn)相遇，同時(shí)乙整好走到D點(diǎn)，丙騎車的路程為整個(gè)BC,而甲騎車的路程不是整個(gè)BC(因?yàn)榧自谕局杏龅揭液蠹锤臑椴叫?，所以丙騎車的路程比甲長，丙比甲先到目的地.因?yàn)榧滓也叫兴俣认嗟?，所以AC=BD.設(shè)甲、乙在C、D之間的E點(diǎn)相遇，則甲騎車的路程只有CE這一段，而乙騎車的路程是AE=EC+CA,所以乙騎車路程比甲長，乙比甲先到目的地.最后，比較一下乙、丙騎車的路程：因?yàn)锳C=BD,所以丙騎車的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA,從而丙比乙先到達(dá)目的地.因此，丙最先到達(dá)目的地，甲最后到達(dá)目的地11.(1)0或2.(2)當(dāng)x=4或6時(shí)，PA+PB=10.(3)設(shè)t分鐘后，P為AB的中點(diǎn)，A、B、P運(yùn)動t分鐘后對應(yīng)的數(shù)分別為一2t,4-2t,t,由(2-t)(4-2t)/日-t=.得t=2.12.由題設(shè)可知