第八章多元函數(shù)PPT學習教案

1、會計學1第八章多元函數(shù)第八章多元函數(shù)一、多元函數(shù)的極限、連續(xù)性一、多元函數(shù)的極限、連續(xù)性機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 APfPP)(lim0,0 ,0 時，當00 PP有)( APf函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP二、多元函數(shù)微分法二、多元函數(shù)微分法1.偏導數(shù)的概念及有關結論xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx第1頁/共27頁偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系偏導數(shù)存在與連續(xù)的關系:高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)、混合偏導相等的充分條件、混合偏導相等的充分條件:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 函數(shù)在一點偏導數(shù)存在函數(shù)在此點連續(xù)二階

2、混合偏導數(shù)連續(xù)二階混合偏導數(shù)相等)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy四個二階偏導數(shù) :);,(yxfxxyxz2),(yxfyxx即與求導順序無關第2頁/共27頁223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點(1 , 2) 處的偏導數(shù).) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 （先求偏導函數(shù)后代點）（先代點后求導數(shù)再代點）第3頁/共27頁，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln

3、1 證證:xzyzxxzyxln1 例例3. 求222zyxr的偏導數(shù) . 解解:xryryyxx yz求證,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共27頁),(yxfz zAxBy A xB y 22)()(yx)( o機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 dz 函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微函數(shù)在該點連續(xù)可微與偏導數(shù)的關系(1) 函數(shù)可微偏導數(shù)存在 (2) 偏導數(shù)連續(xù)函數(shù)可微 ( , )( , )xyfx yxfx yy ( , )( , )xyfx y dxfx y dy第5頁/共27頁復合函數(shù)求導的

4、鏈式法則:,)(, )(可導在點ttvtu),(vufz tvvztuuztzddddddzvutt處偏導連續(xù), ),(vu在點則),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzxuuzxvvzyuuzyvvzvuyxyxz“分（叉）道相加，連線相乘分（叉）道相加，連線相乘”第6頁/共27頁多元復合函數(shù)求導步驟：多元復合函數(shù)求導步驟：（1）畫出變量間的鏈式關系圖；（2）由鏈式關系寫出鏈式求導法則（3）求出具體的導數(shù)或偏導，并化簡。第7頁/共27頁,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()si

5、n(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8頁/共27頁,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共27頁,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)s

6、in(costuuzddtvvzddtz求全導數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第10頁/共27頁設vz2)(11yx1 vxxzyzvy)(2yx) 1(y12)(11yx22yxxy22vuu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 arctan,xzxuv yuvyyuxu,求第11頁/共27頁隱函數(shù) ( 組) 求導方法方法1. 利用復合函數(shù)求導法則直接計算 ;方法2. 代公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( , )0F x y 若二元方程y = f (x) ,則yxFFxydd( , , )0F x y z 若三元方程z = f (x

7、,y) ,yxFFxydd(隱函數(shù)求導公式)則第12頁/共27頁設zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導)2(22zxxxz2(2) z322)2()2(zxz2zxzx242 zFz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (2) zzxx例例7. 設,04222zzyx.22xz求第13頁/共27頁,04222zzyx解法解法2 利用隱函數(shù)求導0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 再對 x 求導第14頁/共27頁1 1.在幾何中的在幾

8、何中的應用應用求曲線的切線及法平面 (關鍵: 抓住切向量) 求曲面的切平面及法線 (關鍵: 抓住法向量) 2. 極值與最值問題極值與最值問題 極值的必要條件與充分條件 求條件極值的方法 (消元法, 拉格朗日乘數(shù)法) 求解最值問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁/共27頁(1). 空間曲線的切線與法平空間曲線的切線與法平面面 切線方程 000zzyyxx法平面方程)(00 xxt參數(shù)式情況:)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, )(000tttT第16頁/共27頁空間

9、光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點法線方程法線方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第17頁/共27頁空間光滑曲面),(:yxfz 0000000(,)()(,)()()0 xyfxyxxfxyyyzz切平面方程切平面方程法線方程法線方程1),(),(000000

10、0zzyxfyyyxfxxyx法向量法向量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ) 1 ,(yxffn第18頁/共27頁3632222zyx在點(1 , 2 , 3) 處的切平面及法線方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在點 (1 , 2 , 3) 處有:切平面方程切平面方程 ) 1(2x03694zyx即法線方程法線方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )6,4,2(zyxn )18,8,2()3, 2, 1(n第19頁/共27頁注注: 使偏導數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 0),(,0),(0000yxfyxfyx 但駐點

11、不一定是極值點.且在該點取得極值 , 則有函數(shù)偏導數(shù),),(),(00yxyxfz在點存在2. 極值與最值問題(1). 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第20頁/共27頁時, 具有極值令則: 1) 當A0 時取極小值.2) 當3) 當時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.的某鄰域內具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù), 且若函數(shù)的在點),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx02 BAC02 BAC02 BAC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第21頁/共27頁求函數(shù)極值的一般步驟：求函數(shù)極值的

12、一般步驟：第一步 利用必要條件在定義域內找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件判別駐點是否為極值點 ；, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如對二元函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第三步 若有極值，求出極值 .第22頁/共27頁作輔助函數(shù)（拉格朗日( Lagrange )函數(shù)）xxxLfyyyLfL解方程組( , )( , )( , )L x yf x yx y得出在附加條件下可能的極值點.000的極值求函數(shù)),(yxfz ( , )0,x y例如在條件下根據(jù)問題實際意義判定可能極值點為最值點.(2). 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題簡單問題用代入法， 一般問題用拉

13、格朗日乘數(shù)法第23頁/共27頁第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第24頁/共27頁解解: 設水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內存在,的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxyA0)(222yyxA因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第25頁/共27頁要設計一個容量為0V則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設 x , y ,