高考專題復(fù)習(xí)第一節(jié)　導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算新課標(biāo)試卷

1、第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算學(xué)習(xí)要求-公眾號(hào)：新課標(biāo)試卷:1.通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=ln x的導(dǎo)數(shù).3.能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則,求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.能求簡單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax+b)的導(dǎo)數(shù).1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率可表示為 f(x2)-f(x1)x2-x1 ,若x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為 yx . 2.函數(shù)y=f(

2、x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義:稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f(x0)或y|x=x0,即f(x0)=limx0yx=limx0f(x0+x)-f(x0)x.(2)幾何意義:函數(shù)f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是曲線y=f(x)在點(diǎn) (x0, f(x0) 處的 切線的斜率 .相應(yīng)地,切線方程為 y-f(x0)=f(x0)(x-x0) . 3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱函數(shù)f(x)=limx0f(x+x)-f(x)x為f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時(shí)也記作y.4.基本初等

3、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))f(x)= 0 f(x)=x(N*)f(x)= x-1 f(x)=sin xf(x)= cos x f(x)=cos xf(x)= -sin x f(x)=ax(a>0,且a1)f(x)= axln a f(x)=exf(x)= ex f(x)=logax(a>0,且a1)f(x)=1xlna f(x)=ln xf(x)=1x 5.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)= f(x)±g(x) ; (2)f(x)·g(x)= f(x)g(x)+f(x)g(x) ; (3)f(x)g(x

4、)'= f '(x)g(x)-f(x)g'(x)g(x)2(g(x)0). 知識(shí)拓展1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).2.af(x)+bg(x)=af(x)+bg(x).3.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化方向,其大小|f(x)|反映了變化快慢,|f(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”).(1)f(x0)是函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率.()(2)函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)=cos x

5、.()(3)求f(x0)時(shí),可先求f(x0),再求f(x0).()(4)曲線的切線與曲線不一定只有一個(gè)公共點(diǎn).()答案(1)(2)(3)(4)2.已知f(x)=xln x,若f(x0)=2,則x0等于()A.e2B.eC.ln22D.ln 2答案B3.曲線y=x3+11在點(diǎn)P(1,12)處的切線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是()A.-9B.-3C.9D.15答案C4.函數(shù)f(x)=sin2x的導(dǎo)數(shù)是()A. f(x)=2sin xB. f(x)=2sin2xC. f(x)=2cos xD. f(x)=sin 2x答案D5.已知曲線y=-ln x的一條切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則此切線的斜率為()A.eB.-eC

6、.1eD.1e答案D導(dǎo)數(shù)的計(jì)算1.(多選題)(2020山東泰安高三月考)下列結(jié)論中不正確的是()A.若y=cos1x,則y=-1xsin1xB.若y=sin x2,則y=2xcos x2C.若y=cos 5x,則y=-sin 5xD.若y=12xsin 2x,則y=xsin 2x答案ACD對(duì)于A,y=cos1x,則y=1x2sin1x,故錯(cuò)誤;對(duì)于B,y=sin x2,則y=2xcos x2,故正確;對(duì)于C,y=cos 5x,則y=-5sin 5x,故錯(cuò)誤;對(duì)于D,y=12xsin 2x,則y=12sin 2x+xcos 2x,故錯(cuò)誤.2.已知函數(shù)f(x)=3ex+1+x3,其導(dǎo)函數(shù)為f(x)

7、,則f(2 020)+f(-2 020)+f(2 019)-f(-2 019)的值為()A.1B.2C.3D.4答案C因?yàn)閒(x)=3ex+1+x3,f(-x)=3e-x+1+(-x)3=3ex1+ex-x3,所以f(-x)+f(x)=3.因?yàn)閒(x)=-3ex(ex+1)2+3x2,所以f(-x)=-3e-x(e-x+1)2+3(-x)2=-3ex(ex+1)2+3x2=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).所以f(2 020)+f(-2 020)+f(2 019)-f(-2 019)=3.3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足關(guān)系式f(x)=x2+3xf(2)+ln x,則f(2)的值為

8、()A.2B.-2C.94D.94答案Df(x)=x2+3xf(2)+ln x,f(x)=2x+3f(2)+1x,f(2)=2×2+3f(2)+12,解得f(2)=-94,故選D.4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x2sin x;(2)y=ln x+1x;(3)y=xsin2x+2cos2x+2.解析(1)y=(x2)sin x+x2(sin x)=2xsin x+x2cos x.(2)y=lnx+1x=(ln x)+1x'=1x1x2.(3)y=xsin2x+2cos2x+2=12xsin(4x+)=-12xsin 4x,y=-12sin 4x12x·4cos 4x

9、=12sin 4x-2xcos 4x.名師點(diǎn)評(píng)1.求導(dǎo)數(shù)的總原則:先化簡函數(shù)的解析式,再求導(dǎo).2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度一求曲線的切線方程典例1(1)(2020課標(biāo)文,15,5分)曲線y=ln x+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為. (2)經(jīng)過原點(diǎn)(0,0)作函數(shù)f(x)=x3+3x2的圖象的切線,則切線方程為. 答案(1)y=2x(2)y=0或9x+4y=0解析(1)設(shè)該切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由y=ln x+x+1得y=1x+1,則在該切點(diǎn)處的切線斜率k=1x0+1,即1x0+1=2,解得x0=1,y0=ln 1+1+1=2,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),該切

10、線的方程為y-2=2(x-1),即y=2x.(2)f(x)=3x2+6x,若原點(diǎn)(0,0)是切點(diǎn),則切線的斜率為f(0)=0,則切線方程為y=0;若原點(diǎn)(0,0)不是切點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0),則切線的斜率為f(x0)=3x02+6x0,因此切線方程為y-(x03+3x02)=(3x02+6x0)(x-x0),切線經(jīng)過原點(diǎn)(0,0),-(x03+3x02)=-x0(3x02+6x0),x00,x0=-32.切線方程為y=-94x,即9x+4y=0.切線方程為y=0或9x+4y=0.角度二求切點(diǎn)坐標(biāo)典例2(1)已知曲線f(x)=12x2+x的一條切線的斜率是3,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. 

11、(2)過點(diǎn)(0,-1)作曲線f(x)=ln x(x>0)的切線,則切點(diǎn)坐標(biāo)為. 答案(1)2(2)(e,1)解析(1)由于f(x)=12x2+x,故f(x)=x+1,因?yàn)榍€f(x)=12x2+x的一條切線的斜率是3,所以令導(dǎo)函數(shù)f(x)=x+1=3,可得x=2,所以切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(2)由f(x)=ln x(x>0),得f(x)=ln x2=2ln x,則f(x)=2x,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,2ln x0),顯然(0,-1)不在曲線上,則2ln x0+1x0=2x0,得x0=e,則切點(diǎn)坐標(biāo)為(e,1).角度三求與切線有關(guān)的參數(shù)的取值范圍典例3已知曲線f(x)=ln x在

12、x=x0處的切線方程為y=kx+b,則k+b的取值范圍是()A.(-,-1B.(-,0C.1,+) D.0,+)答案D函數(shù)f(x)=ln x,其導(dǎo)函數(shù)為f(x)=1x,則f(x0)=1x0,即k=1x0,又由切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,ln x0),得切線的方程為y-ln x0=k(x-x0),變形可得y=kx-kx0+ln x0,則有b=ln x0-1.則k+b=1x0+ln x0-1,設(shè)g(x)=ln x-1+1x(x>0),則g(x)=1x1x2=x-1x2,易知在(0,1)上,g(x)<0,則g(x)在(0,1)上為減函數(shù);在(1,+)上,g(x)>0,則g(x)在(1,+)

13、上為增函數(shù),則g(x)的極小值,即最小值為g(1)=0,則有k+b=1x0+ln x0-10,即k+b的取值范圍是0,+).角度四曲線的公切線典例4(2020課標(biāo)理,10,5分)若直線l與曲線y=x和圓x2+y2=15都相切,則l的方程為()A.y=2x+1 B.y=2x+12C.y=12x+1D.y=12x+12答案D由題可知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l為y=kx+m,直線l與曲線y=x的切點(diǎn)為A(x0,y0).由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知12x0=k,即x0=12k,點(diǎn)A既在直線l上,又在曲線y=x上,y0=kx0+m,y0=x0.kx0+m=x0,即k·12k2+m=12k,化簡

14、可得m=14k,又直線l與圓x2+y2=15相切,|m|1+k2=55,將m=14k代入化簡得16k4+16k2-5=0,解得k2=14或k2=54(舍去).y=x的圖象在第一象限,k>0,k=12,m=12,l的方程為y=12x+12.故選D.名師點(diǎn)評(píng)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求解思路(1)已知切線方程(或斜率)求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo),再將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo).(2)已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關(guān)鍵就是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程.1.(2020課標(biāo)理,6,5分)函數(shù)f(x)=x4-2x3的圖象在點(diǎn)(1,f(1)處

15、的切線方程為()A.y=-2x-1B.y=-2x+1C.y=2x-3 D.y=2x+1答案Bf(x)=4x3-6x2,則f(1)=-2,易知f(1)=-1,由點(diǎn)斜式可得函數(shù)f(x)的圖象在(1,f(1)處的切線方程為y-(-1)=-2(x-1),即y=-2x+1.故選B.2.已知函數(shù)y=x2與y=ln x+a的圖象在交點(diǎn)處有公共的切線,則a=()A.1+ln22B.1-ln22C.1+ln22D.1ln22答案A函數(shù)y=x2與y=ln x+a的導(dǎo)函數(shù)分別為y=2x,y=1x.設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(t>0),則t2=lnt+a,2t=1t,解得a=1+ln22.3.已知函數(shù)f(x)=e2x,

16、則過原點(diǎn)且與曲線y=f(x)相切的直線方程為. 答案2ex-y=0解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,e2t),f(x)=e2x,f(x)=2e2x, f(t)=2e2t,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(t,e2t)處的切線方程為y-e2t=2e2t(x-t).由于該直線過原點(diǎn),故-e2t=-2te2t,得t=12,則過原點(diǎn)且與曲線y=f(x)相切的直線方程為y=2ex,即2ex-y=0.4.(2019福建泉州一模)若一直線與曲線y=ln x和曲線x2=ay(a>0)相切于同一點(diǎn)P,則a的值為. 答案2e解析設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),由y=ln x,得y=1x,由x2=ay,得y=2ax,則

17、有1x0=2ax0,y0=ln x0,x02=ay0,解得a=2e.A組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.已知函數(shù)f(x)=1xcos x,則f()+f2=() A.-32B.12C.3D.1答案C2.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示, f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是()A.0<f(2)<f(3)<f(3)-f(2)B.0<f(3)<f(2)<f(3)-f(2)C.0<f(3)<f(3)-f(2)<f(2)D.0<f(3)-f(2)<f(2)<f(3)答案C3.設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)+x2,曲線y=g(x)在點(diǎn)(1,g(1)處的

18、切線方程為y=2x+1,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1)處切線的斜率為()A.4B.-14C.2D.12答案A4.(多選題)設(shè)點(diǎn)P是曲線y=ex-3x+23上的任意一點(diǎn),P點(diǎn)處的切線的傾斜角為,則角的取值范圍包含()A.23,B.2,56 C.0,2D.0,256,答案CD5.已知函數(shù)f(x)=exln x-ex+aln x的圖象在點(diǎn)T(1,f(1)處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),則a=()A.-eB.eC.-e-e-1D.e-1答案A6.已知函數(shù)f(x)=x2+2xf(1),則f(-1)與f(1)的大小關(guān)系是()A.f(-1)>f(1)B.f(-1)=f(1)C.f(-1)<f(1)

19、D.不能確定答案A由函數(shù)的解析式可得f(x)=2x+2f(1),令x=1,得f(1)=2+2f(1),解得f(1)=-2,則函數(shù)的解析式為f(x)=x2-4x,所以f(-1)=5,f(1)=-3,所以f(-1)>f(1).7.曲線y=cosxsinx在點(diǎn)4,1處的切線方程為. 答案2x+y-2-1=08.(2020河南商丘高三模擬)曲線y=12x2ln 2x在某點(diǎn)處的切線的斜率為32,則該切線的方程為. 答案12x+8y-7=0解析由y=x-1x=32,解得x=-2(舍去)或x=12,可得切點(diǎn)的坐標(biāo)為12,18,所以該切線的方程為y-18=32x-12,整理得12x+

20、8y-7=0.9.請(qǐng)用函數(shù)求導(dǎo)法則求出下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=x+3x+2(x-2);(2)y=(x2+2)(2x-1);(3)y=esin x;(4)y=ln(2x+3)x>-32;(5)y=cos2x+3.解析(1)y=(x+3)'(x+2)-(x+3)(x+2)'(x+2)2=-1(x+2)2(x-2).(2)y=(x2+2)(2x-1)+(x2+2)(2x-1)=2x(2x-1)+2(x2+2)=6x2-2x+4.(3)y=esin xcos x.(4)y=22x+3x>-32.(5)y=-2sin2x+3.10.(2019湖南長沙模擬)已知函數(shù)f(x)=

21、x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線方程;(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo);(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-14x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.解析(1)易知點(diǎn)(2,-6)在曲線y=f(x)上.因?yàn)閒(x)=(x3+x-16)=3x2+1,所以f(x)在點(diǎn)(2,-6)處的切線的斜率為f(2)=13,所以切線方程為y+6=13(x-2),即y=13x-32.(2)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則直線l的斜率為f(x0)=3x02+1,所以直線l的方程為y=(3x02+1)(x-x0)+x03+x0-16.因?yàn)橹?/p>

22、線l過原點(diǎn),所以0=(3x02+1)(0-x0)+x03+x0-16,整理得,x03=-8,所以x0=-2,所以y0=(-2)3+(-2)-16=-26,f(x0)=3×(-2)2+1=13.所以直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).(3)因?yàn)榍芯€與直線y=-14x+3垂直,所以切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)=3x02+1=4,所以x0=±1.則有x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),所以切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18,即y=4x-18或y=4x

23、-14.B組能力拔高11.函數(shù)f(x)=ln x+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-,2B.(-,2)C.(2,+)D.(0,+)答案B函數(shù)f(x)=ln x+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行的切線,即f(x)=1x+a=2在(0,+)上有解,即a=2-1x.因?yàn)閤>0,所以2-1x<2,所以a的取值范圍是(-,2).12.水滴落在水面上形成同心圓水波,最外邊的圓的半徑以6 m/s的速度向外擴(kuò)大,則從水滴接觸水面后2 s末時(shí)圓面積的變化速率為()A.24 m2/sB.36 m2/sC.72 m2/sD.144 m2/s答案D由題意可知,

24、水滴接觸水面后半徑R與時(shí)間t的關(guān)系為R=6t,則圓的面積S=R2=×(6t)2=36t2,求導(dǎo),可得S=72t,令t=2,可得2 s末時(shí)圓面積的變化速率為72×2=144(m2/s).13.當(dāng)直線kx-y-k+1=0(kR)和曲線E:y=ax3+bx2+53(ab0)交于A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1<x2<x3)三點(diǎn)時(shí),曲線E在點(diǎn)A,點(diǎn)C處的切線總是平行的,則過點(diǎn)(b,a)可作曲線E的切線的條數(shù)為()A.0B.1C.2D.3答案C易知曲線E:y=ax3+bx2+53(ab0)是中心對(duì)稱圖形,令f(x)=ax3+bx2+53(ab0),則f(x)=3ax2+2bx.令g(x)=3ax2+2b