數(shù)學(xué)：12排列與組合課件二(新人教A版選修2-3)

1、組合組合2.2.1排列與組合排列與組合2.1?1?,23有有什什么么聯(lián)聯(lián)系系與與區(qū)區(qū)別別一一節(jié)節(jié)開開頭頭提提出出的的問(wèn)問(wèn)題題這這一一問(wèn)問(wèn)題題與與上上有有多多少少種種不不同同的的選選法法一一項(xiàng)項(xiàng)活活動(dòng)動(dòng)名名去去參參加加名名同同學(xué)學(xué)中中選選出出從從甲甲、乙乙、丙丙探探究究:23如下名的可能選法可以列舉名同學(xué)中選出從.;乙、丙甲、丙甲、乙.,23, 1 ,1,23:1問(wèn)題這是上一節(jié)研究的排列列的順序排下午在后上午在前還要將他們按照而且名名同學(xué)中選出不僅要從這個(gè)問(wèn)題時(shí)因此解決兩種不同的選法是甲下午乙上午與乙下午甲上午由于名參加下午活動(dòng)動(dòng)名參加上午的活其中名去參加一活動(dòng)選出名同學(xué)中從甲、乙、丙上一節(jié)開頭

2、的問(wèn)題:,.,23我們可以把它概括為去具體背景舍序而不需要排列他們的順名去參加活動(dòng)名同學(xué)中選出從本節(jié)要研究的問(wèn)題只是.?,23的問(wèn)題是我們接著要研究這有多少個(gè)不同的組一共個(gè)合成一組個(gè)不同的元素中取出從.ncombinatiomn,nmmn,個(gè)元素的一個(gè)組合個(gè)元素的一個(gè)組合個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出叫做從叫做從元素合成一組元素合成一組個(gè)個(gè)個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出從從一般地一般地?區(qū)別嗎區(qū)別嗎間的聯(lián)系與間的聯(lián)系與你能說(shuō)說(shuō)排列與組合之你能說(shuō)說(shuō)排列與組合之思考思考.,baab.,;.,;,nmmn,但它們卻是同一個(gè)組合但它們卻是同一個(gè)組合不同的排列不同的排列是兩個(gè)是兩個(gè)與與例如例如都是相

3、同的組合都是相同的組合素的順序如何素的順序如何元元不論不論同同只要兩個(gè)組合的元素相只要兩個(gè)組合的元素相排列才是相同的排列才是相同的相同的兩個(gè)相同的兩個(gè)只有元素相同且順序也只有元素相同且順序也元素的順序無(wú)關(guān)元素的順序無(wú)關(guān)組合與組合與排列與元素的順序有關(guān)排列與元素的順序有關(guān)它們的不同點(diǎn)是它們的不同點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)這是排列、組合的共同這是排列、組合的共同個(gè)元素個(gè)元素元素中取出元素中取出個(gè)不同個(gè)不同兩者都是從兩者都是從以知道以知道從排列與組合的定義可從排列與組合的定義可 .mn,binationcomC表示表示數(shù)還可用符號(hào)數(shù)還可用符號(hào)組合組合第一個(gè)字母第一個(gè)字母的的組合組合是英文是英文 .C,mn,nmmn:

4、,mn表示表示用符號(hào)用符號(hào)個(gè)元素的個(gè)元素的個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出從從叫做叫做個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)元素的所有不同組合的元素的所有不同組合的個(gè)個(gè)個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出從從我們引進(jìn)如下概念我們引進(jìn)如下概念類比排列問(wèn)題類比排列問(wèn)題組合數(shù)組合數(shù).C67,C58,6758個(gè)個(gè)元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)表表示示為為個(gè)個(gè)元元素素中中取取出出從從個(gè)個(gè)元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)表表示示為為個(gè)個(gè)不不同同元元素素中中取取出出從從例例如如.?C,mn題題我我們們先先來(lái)來(lái)看看幾幾個(gè)個(gè)具具體體問(wèn)問(wèn)的的值值等等于于多多少少呢呢那那么么.3C,3,23,23即即的的選選法法種種不不同同共共有有名名參參加加一一項(xiàng)項(xiàng)活活動(dòng)動(dòng)名

5、名同同學(xué)學(xué)中中選選出出從從上上面面?,3d, c, b, a,有有多多少少不不同同的的子子集集共共個(gè)個(gè)元元素素組組成成三三元元子子集集中中取取出出從從集集合合那那么么ddccbbadcb72.1圖圖:, 因因此此問(wèn)問(wèn)題題的的本本質(zhì)質(zhì)是是無(wú)無(wú)序序性性由由于于集集合合中中元元素素的的?C34d, c, b, a34是是多多少少素素的的集集合合個(gè)個(gè)不不同同元元個(gè)個(gè)元元素素中中取取出出這這從從.4C.bcd,acd,abd,abc:).72.1(,34即即合合由由此此可可以以寫寫出出所所有有的的組組圖圖圖圖我我們們可可以以利利用用樹樹形形為為了了回回答答這這個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題?CA,.,mnmn呢呢來(lái)來(lái)求求

6、出出組組合合數(shù)數(shù)通通過(guò)過(guò)排排列列數(shù)數(shù)否否利利用用這這種種關(guān)關(guān)系系我我們們能能組組合合與與排排列列有有相相互互聯(lián)聯(lián)系系前前面面已已經(jīng)經(jīng)提提到到探探究究:, .34d, c, b, a系系組合之間的如下對(duì)應(yīng)關(guān)組合之間的如下對(duì)應(yīng)關(guān)并建立起排列與并建立起排列與將排列分類將排列分類為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)元素相同元素相同我們以我們以發(fā)發(fā)得到啟得到啟不同的兩個(gè)排列不同不同的兩個(gè)排列不同元素相同順序元素相同順序以及以及合相同合相同個(gè)組個(gè)組元素相同順序不同的兩元素相同順序不同的兩從從素的排列與組合的關(guān)系素的排列與組合的關(guān)系個(gè)元個(gè)元個(gè)元素中取個(gè)元素中取這這下從下從下面我們還是先分析一下面我們還是先分析一組合組合排列排列ab

7、ccbabcaacbcabbacabcdbabdaadbdabbadabdabddcacdaadcdaccadacdacddcbcdbbdcdbccbdbcdbcd組合組合排列排列abccbabcaacbcabbacabcdcbcdbbdcdbccbdbcddcacdaadcdaccadacddbabdaadbdabbadabdabdacdbcd.ACA,.AA1232346244C:.4624,333434333434我們有我們有于是于是的的好處好處歷的方式表述是非常有歷的方式表述是非常有其來(lái)其來(lái)果用一種能夠使人看出果用一種能夠使人看出把上述結(jié)把上述結(jié)組組個(gè)不同排列的個(gè)不同排列的個(gè)排列分成每

8、組有個(gè)排列分成每組有以把這以把這可可為標(biāo)準(zhǔn)為標(biāo)準(zhǔn)元素相同元素相同以以因此因此,.34,?計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)原原理理使使我我們們聯(lián)聯(lián)想想到到分分步步乘乘法法個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)相相乘乘右右邊邊的的兩兩個(gè)個(gè)元元素素的的排排列列數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)不不同同元元素素中中取取出出從從左左邊邊就就是是顯顯然然義義呢呢上上述述等等式式有有什什么么實(shí)實(shí)際際意意:于于是是可可以以將將它它解解釋釋成成為為);(C34,1.A343434不不考考慮慮順順序序個(gè)個(gè)元元素素的的組組合合數(shù)數(shù)中中取取出出個(gè)個(gè)不不同同元元素素求求從從步步第第可可以以分分兩兩步步完完成成個(gè)個(gè)的的排排列列數(shù)數(shù)個(gè)個(gè)不不同同元元素素中中取取出出求求從從.A,3,233個(gè)個(gè)排排列列數(shù)

9、數(shù)各各有有全全排排列列個(gè)個(gè)不不同同元元素素作作將將每每一一個(gè)個(gè)組組合合中中的的步步第第.,.方方法法是是很很重重要要的的思思想想從從另另一一個(gè)個(gè)角角度度解解釋釋問(wèn)問(wèn)題題的的方方法法決決問(wèn)問(wèn)題題到到了了解解而而且且使使我我們們找找理理解解們們對(duì)對(duì)問(wèn)問(wèn)題題的的這這種種解解釋釋不不僅僅加加深深了了我我價(jià)價(jià)解解釋釋個(gè)個(gè)等等是是對(duì)對(duì)同同一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題作作出出兩兩的的兩兩邊邊等等式式:2,mn.個(gè)步驟得到的可看作由以下個(gè)元素的排列數(shù)個(gè)不同元素中取出求從般情形上述解釋可以推廣到一;C,mn,1mn種不同的取法有共個(gè)元素個(gè)不同元素中取出從這步第.A,m,2mm種不同的排法共有個(gè)元素做全排列將取出的步第.AC

10、A,mmmnmn有根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理因此因此.!m1mn2n1nnAACmmmnmn 這個(gè)公式叫做這個(gè)公式叫做并且并且這里這里. nm,Nm, n.數(shù)公式數(shù)公式組合組合還可以寫成還可以寫成上面的組合數(shù)公式上面的組合數(shù)公式所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?!mn!nAmn.!mn!m!nCmn.C1710用計(jì)算器計(jì)算用計(jì)算器計(jì)算例例.1207nCr10由計(jì)算器可得解 ?,112?171:,11,172式式做做這這件件事事情情那那么么教教練練員員有有多多少少種種方方門門員員還還要要確確定定其其中中的的守守名名上上場(chǎng)場(chǎng)隊(duì)隊(duì)員員時(shí)時(shí)如如果果在在選選出出上上場(chǎng)場(chǎng)方方案案種種學(xué)學(xué)員員名名學(xué)學(xué)員員中中可可以以形形成成多多

11、少少這這位位教教練練從從這這問(wèn)問(wèn)人人員員是是時(shí)時(shí)一一個(gè)個(gè)足足球球隊(duì)隊(duì)的的上上場(chǎng)場(chǎng)隊(duì)隊(duì)比比賽賽按按照照足足球球比比賽賽規(guī)規(guī)則則賽賽以以前前沒(méi)沒(méi)有有一一人人參參加加過(guò)過(guò)比比他他們們中中名名初初級(jí)級(jí)學(xué)學(xué)員員一一位位教教練練的的足足球球隊(duì)隊(duì)共共有有例例 ;1117,17,1個(gè)個(gè)元元素素的的組組合合問(wèn)問(wèn)題題選選出出個(gè)個(gè)不不同同元元素素中中因因此此這這是是一一個(gè)個(gè)從從地地位位完完全全一一樣樣名名學(xué)學(xué)員員沒(méi)沒(méi)有有角角色色差差異異根根據(jù)據(jù)題題意意對(duì)對(duì)于于分分析析 守守門門員員的的位位置置對(duì)對(duì)于于,2.,合合問(wèn)問(wèn)題題這這是是一一個(gè)個(gè)分分步步完完成成的的組組因因此此有有差差異異其其余余上上場(chǎng)場(chǎng)學(xué)學(xué)員員的的地地位位

12、沒(méi)沒(méi)是是特特殊殊的的 .37612C,11117種的學(xué)員上場(chǎng)方案有所以可以形成差異由于上場(chǎng)學(xué)員沒(méi)有角色解 :2這件事情教練員可以分兩步完成;C,1117,11117種選法共有名組成上場(chǎng)小組名學(xué)員中選出從步第.C,111,2111選法種共有名守門員人中選出從選出的步第種的方法數(shù)有所以教練員做這件事情136136CC1111117 ?,2法法嗎嗎你你還還能能想想到到別別的的解解決決方方對(duì)對(duì)于于本本題題的的探探究究 ?2,102?2,1013的的有有向向線線段段共共有有多多少少條條個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)為為端端點(diǎn)點(diǎn)以以其其中中每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)平平面面內(nèi)內(nèi)有有端端點(diǎn)點(diǎn)的的線線段段共共有有多多少少條條個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)為為以以其其

13、中中每每個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)平平面面內(nèi)內(nèi)有有例例 .452910C,210,2101210條即線段共有素的組合數(shù)個(gè)元個(gè)不同的元素中取出就是從線的條數(shù)個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線個(gè)點(diǎn)中每以平面內(nèi)解 .90910A,210,10,2210條線段共有即有向的排列數(shù)個(gè)元素同元素中取出個(gè)不就是從數(shù)為端點(diǎn)的有向線段的條個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)以平面內(nèi)一個(gè)是終點(diǎn)另一個(gè)是起點(diǎn)由于有向線段兩端點(diǎn)中 .,2;,1,3是排列問(wèn)題是排列問(wèn)題個(gè)端點(diǎn)的順序個(gè)端點(diǎn)的順序小題要考慮線段兩小題要考慮線段兩第第是組合問(wèn)題是組合問(wèn)題順序順序點(diǎn)的點(diǎn)的小題不考慮線段兩個(gè)端小題不考慮線段兩個(gè)端第第中中在例在例 ?133?132?1.3100.2,98,1004種種件件是是

14、次次品品的的抽抽法法有有多多少少件件中中至至少少有有抽抽出出的的種種件件是是次次品品的的抽抽法法有有多多少少件件中中恰恰好好有有抽抽出出的的有有多多少少種種不不同同的的抽抽法法件件件件產(chǎn)產(chǎn)品品中中任任意意抽抽出出從從這這件件次次品品件件合合格格品品有有件件產(chǎn)產(chǎn)品品中中在在例例 種所以共有件的組合數(shù)出件產(chǎn)品中取就是從所求的不同抽法的種數(shù)解7001611239899100C,3100,13100 .9506CC13,C298,C1222981229812種件次品的抽法有恰好有件中因此抽出的種件合格品的抽法有品中抽出件合格從件次品的抽法有件次品中抽出從 .6049CCCC13,CC12.21,131

15、0013198222981229812種件是次品的抽法有件中至少有抽出的原理因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)種法有件次品的抽小題中已求得其中在第情況件次品兩種件次品和有包括有件是次品件中至少有件產(chǎn)品抽出從解法.6049096152700161CC,33100,1323983100種即數(shù)的種件中都是合格品的抽法抽法種數(shù)減去件的件中抽出也就是從的抽法的種數(shù)件是次品件產(chǎn)品中至少有抽出的解法探究與發(fā)現(xiàn)探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì) 3107101518318812412CC;CC;CC?,與與與與與與你你能能解解釋釋你你的的發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)嗎嗎么么你你發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)了了什什組組合合數(shù)數(shù)的的值值用用計(jì)計(jì)算算器器計(jì)計(jì)算

16、算下下列列各各組組探探究究 1037 ,18153,1284,如如和和等等于于下下標(biāo)標(biāo)標(biāo)標(biāo)之之而而且且兩兩個(gè)個(gè)組組合合數(shù)數(shù)的的上上等等各各組組的的兩兩個(gè)個(gè)組組合合數(shù)數(shù)都都相相不不難難發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)?如如何何解解釋釋上上述述結(jié)結(jié)果果呢呢.CC,CC,48, 812C, 412C,812412412812812412即即有有動(dòng)動(dòng)的的人人員員選選法法種種數(shù)數(shù)就就等等于于參參加加活活選選法法種種數(shù)數(shù)所所以以不不參參加加活活動(dòng)動(dòng)的的人人員員動(dòng)動(dòng)的的人人就就是是參參加加活活人人后后其其余余由由于于留留下下加加活活動(dòng)動(dòng)的的選選法法種種數(shù)數(shù)人人不不參參名名學(xué)學(xué)生生中中留留下下讓讓可可以以解解釋釋為為那那么么法法種種

17、數(shù)數(shù)人人參參加加某某項(xiàng)項(xiàng)活活動(dòng)動(dòng)的的選選名名學(xué)學(xué)生生中中選選出出從從解解釋釋為為果果把把如如啟啟發(fā)發(fā)我我們們題題的的兩兩個(gè)個(gè)等等價(jià)價(jià)解解釋釋等等式式的的兩兩邊邊是是對(duì)對(duì)同同一一問(wèn)問(wèn)我們有我們有于是于是個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)同元素中取出同元素中取出個(gè)不個(gè)不等于從這等于從這個(gè)元素的組合數(shù)個(gè)元素的組合數(shù)中取出中取出個(gè)不同元素個(gè)不同元素從從這樣這樣元素的組合一一對(duì)應(yīng)元素的組合一一對(duì)應(yīng)個(gè)個(gè)與剩下的與剩下的個(gè)元素的組合個(gè)元素的組合中取出中取出個(gè)不同元素個(gè)不同元素因此從因此從個(gè)元素個(gè)元素必然剩下必然剩下個(gè)元素后個(gè)元素后個(gè)不同元素中取出個(gè)不同元素中取出從從一般地一般地.mnn,mn,.mn,mn,mn,mn,1性性質(zhì)質(zhì),CCmnnmn們們規(guī)規(guī)定定我我時(shí)時(shí)也也能能成成立立為為了了使使