經(jīng)濟學專業(yè)數(shù)學常數(shù)項級數(shù)配套課件

1、2022年年4月月23日星期六日星期六1高等數(shù)學多媒體課件華南農業(yè)大學理學院數(shù)學系牛頓（牛頓（Newton）萊布尼茲（萊布尼茲（Leibniz）2022年年4月月23日星期六日星期六2第七章 無窮級數(shù)（Infinite Series）第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項級數(shù)收斂性判別法數(shù)項級數(shù)收斂性判別法 第三節(jié)第三節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù)第四節(jié)第四節(jié) 經(jīng)濟應用經(jīng)濟應用 主主 要要 內內 容容2022年年4月月23日星期六日星期六3第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù) 第七章第七章 （constant term series）一、常數(shù)項級數(shù)的概念一、常數(shù)項級數(shù)的概念二、級數(shù)的基本性質二、級數(shù)的基本性質三

2、、小結與思考練習三、小結與思考練習2022年年4月月23日星期六日星期六4一、常數(shù)項級數(shù)的概念定義定義給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列,321nuuuu將各項依將各項依,1nnu即即1nnunuuuu321稱上式為稱上式為無窮級數(shù)無窮級數(shù)，其中第其中第 n 項項nu叫做級數(shù)的叫做級數(shù)的一般項一般項,級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項和項和nkknuS1nuuuu321次相加次相加, 簡記為簡記為稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和.,lim存在若SSnn則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)2022年年4月月23日星期六日星期六51nnuS收斂收斂 ,并稱并稱 S 為級數(shù)的為級數(shù)的和和,記作記作當級數(shù)收斂時當級數(shù)收斂時, 稱差值

3、稱差值21nnnnuuSSr為級數(shù)的為級數(shù)的余項余項.,lim不存在若nnS則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 .顯然顯然0limnnr2022年年4月月23日星期六日星期六6解解 因為因為 1lnln(1)ln ,(1,2,)nnn nn所以所以231lnlnln12nnsn(ln2ln1)(ln3ln2)(ln(1)ln )ln(1).nnn2022年年4月月23日星期六日星期六7(1)limlim2nnnn ns 2022年年4月月23日星期六日星期六8例例4 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù))0(20aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂

4、散性. 解解: 1) 若若,1q12nnqaqaqaaSqqaan1時，當1q, 0limnnq由于從而從而qannS1lim因此級數(shù)收斂因此級數(shù)收斂 ,;1 qa,1時當q,limnnq由于從而從而,limnnS則部分和則部分和因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 .其和為其和為2022年年4月月23日星期六日星期六92) 若若,1q,1時當qanSn因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時當qaaaaan 1) 1(因此因此nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n 為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnSlim綜合綜合 1)、2)可知可知,1q時時, 等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ;1q時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 .則則,級數(shù)成為級數(shù)成

5、為,a,0不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散.2022年年4月月23日星期六日星期六10二、級數(shù)的基本性質性質性質1 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂于收斂于 S ,1nnuS則各項則各項乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù)1nnuc也收斂也收斂 ,證證: 令令,1nkknuS則則nkknuc1,nScnnlimSc這說明這說明1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . nnSclim說明說明: 級數(shù)各項乘以級數(shù)各項乘以非零常數(shù)非零常數(shù)后其斂散性不變后其斂散性不變 .即即其和為其和為 c S .2022年年4月月23日星期六日星期六11性質2 設有兩個收斂級數(shù),1nnuS1nnv則級數(shù)

6、則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S證證: 令令,1nkknuS,1nkknv則則)(1knkknvu nnS)(nS這說明級數(shù)這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S2022年年4月月23日星期六日星期六122022年年4月月23日星期六日星期六13性質性質3 在級數(shù)前面加上或去掉在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù)不會影響級數(shù)的斂散性的斂散性.證證: 將級數(shù)將級數(shù)1nnu的前的前 k 項去掉項去掉,1nnku的部分和為的部分和為nllknu1knkSSnknS與,時由于n數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當級數(shù)收斂時當級數(shù)收斂時, 其和的關系為

7、其和的關系為.kSS 類似可證前面加上有限項的情況類似可證前面加上有限項的情況 .極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級故新舊兩級所得新級數(shù)所得新級數(shù)2022年年4月月23日星期六日星期六14性質4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和的和.證證: 設收斂級數(shù)設收斂級數(shù),1nnuS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧,)()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(mm為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和序列序列 ),2,1(nSn的一個子序列的一個子序列,nnmmS limlimS推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散

8、若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0) 11 () 11 (但但1111發(fā)散發(fā)散.因此必有因此必有例如，例如，用反證法可證用反證法可證例如例如2022年年4月月23日星期六日星期六15證證: 1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可見可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .例如例如,1) 1(544332211nnn其一般項為其一般項為1) 1(1nnunn不趨于不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散因此這個級數(shù)發(fā)散.nun,時當202

9、2年年4月月23日星期六日星期六16注意:0limnnu并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調和級數(shù)調和級數(shù)nnn13121111雖然雖然，01limlimnunnn但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 .事實上事實上 , 假設調和級數(shù)收斂于假設調和級數(shù)收斂于 S , 則則0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但但nnSS2矛盾矛盾!所以假設不真所以假設不真 .212022年年4月月23日星期六日星期六17解解: 2022年年4月月23日星期六日星期六18內容小結1.常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念: 常數(shù)項級數(shù)、常數(shù)項級數(shù)、 收斂、發(fā)散、等比級數(shù)、調和級數(shù)收

10、斂、發(fā)散、等比級數(shù)、調和級數(shù) 3. 級數(shù)收斂的判別方法級數(shù)收斂的判別方法2. 收斂級數(shù)的收斂級數(shù)的5個性質個性質課外練習課外練習習題習題71 1- 42022年年4月月23日星期六日星期六19思考與練習思考與練習答答:（1）若二級數(shù)都發(fā)散若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而（2） 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則必發(fā)散則必發(fā)散 . (用反證法可證用反證法可證)2022年年4月月23日星期六日星期六20 .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn解解: (1) 12ln

11、nSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(所以級數(shù)所以級數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和23ln34lnnn1ln2、 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性:2022年年4月月23日星期六日星期六21(2) ) 1(1431321211nnSn211111n）n(1所以級數(shù)所以級數(shù) (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 .31214131111nn技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和2022年年4月月23日星期六日星期六223、 判斷下列級數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:;!) 1 (1nnnnne解

12、解: (1) 令令;231)2(123nnnn.212)3(1nnn,!nnnnneu 則則nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故故euuunn11從而從而,0limnnu這說明級數(shù)這說明級數(shù)(1) 發(fā)散發(fā)散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!2022年年4月月23日星期六日星期六23123231)2(nnnn因因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121進行拆項相消進行拆項相消,41limnnS這說明原級數(shù)收斂這說明原級數(shù)收斂 ,.41)2)(1(1nnn其和為其和為)2)(1(121121n