三角函數(shù)概念的探析以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)為例

1、 三角學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展三角學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展 三角函數(shù)概念的再探析三角函數(shù)概念的再探析正余弦解析定義與幾何定義的關(guān)系正余弦解析定義與幾何定義的關(guān)系 “三角學(xué)三角學(xué)”一詞源于希臘文的一詞源于希臘文的“三角形三角形”與與“測量測量”，原意是，原意是“三角形的測量三角形的測量”。后來，人們把利用三角函數(shù)研究三角形和后來，人們把利用三角函數(shù)研究三角形和其它圖形的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而研究三角函數(shù)其它圖形的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)學(xué)科稱為三角學(xué)。的性質(zhì)及其應(yīng)用的數(shù)學(xué)學(xué)科稱為三角學(xué)。三角學(xué)的發(fā)展的三個(gè)時(shí)期三角學(xué)的發(fā)展的三個(gè)時(shí)期 第一個(gè)時(shí)期第一個(gè)時(shí)期: :從遠(yuǎn)古至從遠(yuǎn)古至1111世紀(jì)前世紀(jì)前 第二個(gè)

2、時(shí)期第二個(gè)時(shí)期:11-18:11-18世紀(jì)世紀(jì) 第三個(gè)時(shí)期第三個(gè)時(shí)期:18:18世紀(jì)以后世紀(jì)以后（1 1）初中階段）初中階段原教材引入方式原教材引入方式（以義務(wù)教育階段人教版教材為例）（以義務(wù)教育階段人教版教材為例）新教材引入方式新教材引入方式（以義務(wù)教育階段北師大版教材為例）（以義務(wù)教育階段北師大版教材為例）兩者的比較兩者的比較（2 2）高中階段）高中階段原教材引入方式的變遷原教材引入方式的變遷（以人教社（以人教社20022002年以前不同版本教材為例）年以前不同版本教材為例）新教材引入方式新教材引入方式（以人教社現(xiàn)行高中教材為例）（以人教社現(xiàn)行高中教材為例）兩者的比較兩者的比較思考問題：思

3、考問題： 數(shù)學(xué)分析中對三角函數(shù)的討論作數(shù)學(xué)分析中對三角函數(shù)的討論作出哪些延伸？出哪些延伸？ 這樣的研究與中學(xué)數(shù)學(xué)有何聯(lián)系？這樣的研究與中學(xué)數(shù)學(xué)有何聯(lián)系？正弦、余弦函數(shù)的解析定義Rx)(xC)(xS)!2() 1(! 6! 4! 21)(2642nxxxxxCnn)!12() 1(! 7! 5! 31)(12753nxxxxxSnn定義1：對于，符號稱為解析正弦，其中稱為解析余弦，正弦、余弦函數(shù)的幾何定義為圓心角的弧度數(shù)）MPsinOMcos1OA定義2：、（這里，的正弦和余弦。稱為角?8?6?4?2?-2?-4?-6?-8 O?-10?-5?5?10 角的終邊 A M P)(xCcos)(xS

4、sin待研究的問題：是否等于？是否等于？正余弦解析定義與幾何定義的關(guān)系10cos10sin cos)cos(sin)sin(1sinlim0212121sinsincoscos)cos(212121sincoscossin)sin(（1）由幾何定義推導(dǎo)的性質(zhì) （）（）（） （）特值：奇偶性：重要極限：和角公式：正余弦解析定義與幾何定義的關(guān)系1)0(C1) 0(S)()(xCxC)()(xSxS1sinlim0 xxx)()(xiSxCeix)()()()()(ySxSyCxCyxC)()()()()(ySxCyCxSyxS（2）由解析定義推導(dǎo)的性質(zhì)奇偶性：（）（）（）（）特值：求和公式：由歐拉公式重要極限：得思考： 公式和推導(dǎo)依據(jù)有何差異？兩組公式給我們什么樣的啟示？cos)(xCsin)(xS證明：1)(xS1)(xC1sin1coscos)(xCsin)(xS)(x0)0()()()(