最新教案1初二復(fù)習(xí)三角形的證明章節(jié)復(fù)習(xí)

1、三角形的證明章節(jié)復(fù)習(xí)【知識梳理】1 .全等三角形的判定和性質(zhì)微夾角（SAS）已知兩邊（找直角（HL）找第三邊（SSS）I若邊為角的對邊，則找任意角（AAS）證三角形全等的思路4已知一邊一角V找已知角的另一邊（SAS） 邊為角的鄰邊!找已知邊的對角（AAS）|找夾已知邊的另一角（ASA）左俄兩角的夾邊（ASA 已知兩角V|找任意一邊（AAS）對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等性質(zhì)對應(yīng)中線相等，對應(yīng)高相等，對應(yīng)角平分線相等2 .等腰三角形的判定與性質(zhì)等腰三角形的判定： 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）等腰三角形的性質(zhì)： 等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）；等腰三角形 三線合一 ”的性質(zhì)：頂角平

2、分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合; 等腰三角形兩底角的平分線相等，兩腰上的高、中線也相等.3.等邊三角形的判定與性質(zhì)判定：有一個(gè)角等于 60°的等腰三角形是等邊三角形;三條邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都是60°的三角形是等邊三角形；有兩個(gè)叫是60°的三角形是等邊三角形.性質(zhì)：等邊三角形的三邊相等，三個(gè)角都是60°.反證法：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立.這種證明方法稱為反證法.5 .直角三角形勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方；勾股定理的逆定理：如

3、果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.6 .互逆命題、互逆定理在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題 稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的 逆命題.如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的 逆定理.7 .線段的垂直平分線線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。三角形的三邊的垂直平

4、分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。8 .角平分線角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心?！镜湫屠}】【題型一：全等三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例題1】用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明/ AOC= / BOC 的依據(jù)是（）A. SSSB. ASAV >7C. AASD .角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等【例題 2】如圖， ABCAADE,若/ B=80°, /C=30； /DAC=35；則/ EAC的

5、度數(shù)為(BCD. 25°A. 40°B. 35°C. 30°【例題3】如圖，已知 AABCAA'B'C', AD、A'D'分別是 AABC和AA'B'C'的角平分線.(1)請證明 AD = A'D'(2)把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龀鰜恚?3)你還能得出其他類似的結(jié)論嗎【變式1】如圖，已知 ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中，和4ABC全等的圖形B.乙和丙D .只有丙A.甲和乙C.只有乙【變式2】如圖，在 ABC中，D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)， ADB 9 EDB 9

6、 EDC ,則 / C 的度數(shù)為（B. 20°C. 25°A. 15°【變式3】如圖410,在 ABC中，/ ACB = 90； AC=BC,直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C,過A、B兩點(diǎn)分另IJ作l的垂線AE、BF, E、F為垂足.(1)當(dāng)直線l不與底邊 AB相交時(shí)，求證：EF = AE+BF.圖 4- 10(2)如圖411,將直線l繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D,請你探究直線l在如下 位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系. AD>BD; AD=BD; ADvBD.圖 4-11【題型二：等腰三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例題1】(1)等腰三角形的兩邊長分別為3

7、和6,則這個(gè)等腰三角形的周長為(A. 12B. 15C. 12 或 15(2)等腰三角形的一個(gè)角是80° ,則它頂角的度數(shù)是(A. 80°B. 80°或 20°C. 80°或 50°DE過。且平行于BC ,【例題2如圖，在 ABC中，BO平分/ ABC , CO平分/ ACB ,已知 ADE的周長為10cm , BC的長為5cm ,求 ABC的周長.【例題3】如圖，/ MON =43 °,點(diǎn)A在射線OM上，動點(diǎn)P在射線ON上滑動， ） 要使 AOP為等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)P共有（）/A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)o

8、工 方【例題4】如圖：E在 ABC的AC邊的延長線上，D點(diǎn)在AB邊上，DE交BC于點(diǎn)F ,DF =EF , BD = CE ,過 D 作 DG / AC 交 BC 于 G .求證：(1) GDFCEF;(2) ABC 是等腰三角形.【變式1】已知 ABC中，AB = AC = x, BC =6 ,則腰長x的取值范圍是（）A. 0v xv 3 B. x> 3C. 3v xv 6D . x> 6【變式2】如圖，在 ABC中，/ ABC和/ ACB的平分線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作 MN / BC交 AB于 M ,交 AC于N ,若BM +CN =9 ,則線段 MN 的長為()A. 6B.7C.

9、8D . 9【變式3】如圖，是一個(gè)5X5的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長均為1 點(diǎn)A和點(diǎn)B在小正方形的頂點(diǎn)上.點(diǎn)C也在小正方形的頂點(diǎn)上.若 ABC為等腰三角形，滿足條件的C點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A. 6B.7C.8D . 9【變式 4】如下圖，在 ABC中，/ B=90 ； M是AC上任意一點(diǎn)（M與A不重合）MD XBC,交/ABC的平分線于點(diǎn) D,求證：MD=MA.【題型三：等邊三角形判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例題1】如圖，AC=CD=DA=BC=DE ,貝U / BAE 是 / BAC 的(A. 4倍B. 3倍C. 2倍D. 1倍【例題2】如圖，等邊 ABC的周長是9 , D是AC邊上的

10、中點(diǎn)BC的延長線上.若DE =DB ,則CE的長為【例題3】如圖，M、N點(diǎn)分別在等邊三角形的BC、 CA(1)求證：/ BQM =60° ;（2）如圖，如果點(diǎn)M、N分別移動到BC、CA的延長線上，其它條件不變，（1）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，給予證明；若不成立，說明理由.B v CM國圖【變式1】如圖，等邊 ABC中，點(diǎn)D、E分別為BC、CA上的兩點(diǎn)，且BD=CE ,連接AD、BE交于F點(diǎn)，則/ FAE+Z AEF的度數(shù)是（）A. 60°B, 110°C, 120° D, 135°【變式2】如圖，C為線段BD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B , D重合），在

11、BD同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE , AD與BE交于一點(diǎn)F , AD與CE交于點(diǎn)H , BE與 AC交于點(diǎn)G.（1）求證：BE = AD ;（2）求 / AFG 的度數(shù)；（3）求證：CG=CH.【題型四：肩美直角三角形定理的應(yīng)用】【例題1】如圖，矩形紙片ABCD中，AD邊與對角線BD重合，折痕為DG ,長lcAB =4, AD =3,折疊紙片使則AG的長為（）EA. 1B. 4C. -D. 232【例題2】6 .如圖，在5 X5的方格紙中，每- 直角？請說明理由.一個(gè)小正方形的邊長都為1, / BCD是不是MIl'T""in r 丁 1ii siiiii

12、iU RiiiiQiiraMiifliiiiiiMniiiiiiiJ rc【例題 3如圖，在 ABC中，/ C=90 °, / B=30 °, AD是/ BAC的平分線，若CD =2 ,那么BD等于（A. 6B. 4C. 3D. 2D【變式1】如圖.矩形紙片ABCD中，已知AD =8 ,折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE ,且EF=3 .則AB的長A. 3B. 4C. 5【變式2】正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形邊長都是1 .每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫（1）在圖1中，畫 ABC ,使 ABC的三邊長分別為3、272、55 ;（2

13、）在圖2中，畫ADEF,使4DEF為鈍角三角形且面積為2.鄴【變式 3】如圖，AC=BC=10 cm , / B=15 °, AD ± BC 于點(diǎn) D,則AD的長為（）A. 3cmB. 4cmC. 5cmD. 6cm【題型五：線段的垂直平分線定理的應(yīng)用】【例題1】如圖，在 ABC中，/ C=90 °, / B=15 °, AB的垂直平 分線交AB于E,交BC于 D, BD =8 ,則AC =.【例題2】如圖，在 ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，,一 1大于一AB的長為半徑回弧，兩弧相交于點(diǎn)M, N,作直線2MN ,交BC于點(diǎn)D ,連接AD .若 ADC

14、的周長為10 ,AB =7 ,則 ABC的周長為（）A. 7B. 14C. 17D . 20【例題3】如圖，在Rt ABC中，/ B=90 °, ED是AC的垂直平分線，交AC于點(diǎn) D ,交BC于點(diǎn)E .已知/ BAE =10° ,則/ C的度數(shù)為（）A. 30°B. 40°C, 50°D, 60°【例題4】如 圖所示，在Rt ABC中，/ ACB =90 °, AC =BC , D為BC邊上的中點(diǎn)，CE，AD于點(diǎn)E , BF / AC交CE的延長線于點(diǎn)F ,求證：AB垂直平分DF .【變式1】如圖，在 ABC中，已知AC

15、=29 ,于點(diǎn)D ,交AC于點(diǎn)E . BCE的周長等于A. 2lB. 22C. 23【變式2】如圖，A、B表示兩個(gè)倉庫，要在A、B 一側(cè)的河岸邊建造一個(gè)碼頭，使它到兩個(gè)倉庫的距離相等，碼頭應(yīng)建在什么位置？你能畫圖說明嗎？'B【變式3】如圖，AD為/ BAC的角平分，線段AD的垂直平分線交AB于M,交AC于N,試說明MD / AC .【變式4】如圖，在 ABC中，AB=AC , D是 AB的中點(diǎn)，且 DE，AB, BCE的周長為8cm,且 AC - BC =2cm ,求 AB、BC 的長.【題型六：角平分線定理的應(yīng)用】【例題1】如圖，Rt ABC中，/ C=90 °, / AB

16、C的平分線BD交AC于D ,若CD =3cm,則點(diǎn)D到AB的距離DE是（A. 5cmB. 4 cm【例題2】如圖，直線a、 b、c,表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)擬建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相等，則可以供選擇的地址有（A. 一處B.C.七處【例題3】求作一點(diǎn)P,使PC = PD ,且點(diǎn)P到AC, AB的距離相等.D .無數(shù)處跡，不必寫出作法）【例題4】（1）班同學(xué)上數(shù)學(xué)活動課，利用角尺平分一個(gè)角（如圖所示）.設(shè)計(jì)了如下（I）Z AOB是一個(gè)任意角，將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM =PN ,過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是/ AO

17、B（n ） / AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM = ON ,將角尺的直角頂點(diǎn)P介于射線OA、OB之間，移動角尺使角尺兩邊相同的刻度與M、N重合，即PM =PN ,過角尺頂點(diǎn)P的射線OP就是/ AOB的平分線.（1）方案（I）、方案（n）是否可行？若可行，請證明；若不可行，請說明理由；（2）在方案（I ） PM =PN的情況下，繼續(xù)移動角尺，同時(shí)使PM ± OA , PN ± OB .此方案是否可行？請說明理由.0【變式1】如圖，OP平分/ MON , PA，ON于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動點(diǎn)，若PA=2,則PQ的最小值為（）A. 1B. 2C. 3D .

18、 4【變式2】如圖，利用尺規(guī)求作所有點(diǎn)P,使點(diǎn)P同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件：點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)的距離相等；點(diǎn)P到直線11 , l 2的距離相等.（要求保留作圖痕跡，不必寫出【變式3】已知：如圖所示， ABC中，/ C=90 °, AD是/ BAC的平分線，DE，AB于E ,F 在 AC 上，BD = DF .求證：CF=EB.【題型七：反證法、互逆命題、互逆定理】【例題1】否定自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反正假設(shè)為（）A. a、b、c都是奇數(shù)B. a、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù)C. a、b、c都是偶數(shù)D. a、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)【例題2】說出下列命題的逆命題，并判斷每對

19、命題的真假：（1）四邊形是多邊形；（2）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（ 3）如果ab=0,那么a=0, b=0;（4）在一個(gè)三角形中有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對的邊相等【變式1】用反證法證明命題三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60。時(shí)，反證假設(shè)正確的是【變式2】證明：在一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)角是銳角.【鞏固練習(xí)】1 .使兩個(gè)直角三角形全等的條件是（）2.在 Rt ABC 中，/ C=90° , AC =9 , BC=12，則點(diǎn) C 至U AB 的距離 是（）A.假設(shè)三內(nèi)角都不大于 60°B.假設(shè)三內(nèi)角都大于 60°C.假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60D.假設(shè)三內(nèi)角至多有

20、兩個(gè)大于60°A.C.A.A.三條中線的交點(diǎn)B.三邊垂直平分線的交點(diǎn)則/ D等于（平分線交AD于E,連接EC;則/ AEC等于（A. 100B. 105C. 115C. 5一個(gè)銳角對應(yīng)相等B.兩個(gè)銳角對應(yīng)相等一條邊對應(yīng)相等D.兩條邊對應(yīng)相等12B. 25八 9C.一44D.還3.三角形內(nèi)有一點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，則這點(diǎn)一定是三角形的C.三條高的交點(diǎn)D.三條角平分線的交點(diǎn)4.如圖，在 ABC 中，DE垂直平分 AB , FG 垂直平分 AC ,A. 6.5 cm5.如圖，點(diǎn)DA. 50B. 65°C. 55°D. 706.如圖，/ ABC =50°

21、, AD垂直平 分線段BC于點(diǎn)D , / ABC的D . 120PD，OA 于點(diǎn) D,PE，OB 于點(diǎn) E, OP =13 ,A. 13B. 12D . 1365BC=13cm,則AEG的周長為B. 13cmC. 26cmD . 15為線段AB與線段BC的垂直平分線的交點(diǎn)，/ A=35 ° ,7.如圖，/ POA = / POB ,OD =12 , PD =5 ,貝U PE =8 .如下 圖左，在矩形ABCD 中，點(diǎn)P在 AB上，且PC平分/ ACB .若PB =3 , AC =10 , 則 PAC的面積為.CD9 .已知：如上圖右，AB / CD ,。為/ BAC、/ ACD的平分

22、線的交點(diǎn)，OE，AC于點(diǎn)E, 若兩平行線間的距離為6,則OE=.10 .如圖， ACB和 ECD都是等腰直角三角形，A, C, D三點(diǎn)在同一直線上，連接 BD , AE ,并延長AE交BD于F .(1)求證： ACE 9 BCD ;(2)直線AE與BD互相垂直嗎？請證明你的結(jié)論.11 .已知：如圖，/ B= / C=90° , M是 BC的中點(diǎn)，DM 平分/ ADC .(1)若連接AM ,則AM是否平分/ BAD ?請你證明你的結(jié)論；(2)線段DM與AM有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由.D C12 .如圖，AD為 ABC的角平分線，DE，AB , DF，AC ,垂足分別為E , F ,連

23、接EF , EF交AD于點(diǎn)G、試判斷線段AD與EF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.13 .如圖，在 ABC中，DE垂直平分 AB ,分另交 AB、BC于 D、E點(diǎn).MN 垂 直平分AC ,分另1J交AC、BC于M、N點(diǎn).(1)若/ BAC =100° ,求 / EAN 的度數(shù)；(2)若/ BAC =70° ,求 / EAN 的度數(shù)；(3)若/ BAC = a(aW90),直接寫出用a表示/ EAN大小的代數(shù)式.A圖1圖2【課后練習(xí)】1 .利用基本尺規(guī)作圖，下列條件中，不能作出唯一直角三角形的是()A.已知斜邊和一銳角B.已知一直角邊和一銳角C.已知斜邊和一直角邊D.已知兩個(gè)銳角2 .如圖，直線l上有三個(gè)正方形a, b, c,若a, c的面積分別為5和11,則b的面積A. 4B. 6C. 163 .如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)