動力學(xué)第三講(重修班)

1、動力學(xué)第三講虛位移原理蔣寅軍蔣寅軍2022年4月26日問題的提出問題的提出問題問題1:1: 圖示平面機(jī)構(gòu)，受水平力P和鉛垂力Q作用，對應(yīng)任意角度q，要使機(jī)構(gòu)保持平衡，求P和Q應(yīng)滿足的比例關(guān)系。(忽略各構(gòu)件自重及摩擦）FoxFoyFAqaaABOBQP利用利用FR=0, Mo=0求解求解, ,需要取多次研究對象需要取多次研究對象, , 求解過程煩瑣。求解過程煩瑣。問題的提出問題的提出qqbtgsatgs21能否能否借助動力學(xué)的分析方法來求解靜力學(xué)問題借助動力學(xué)的分析方法來求解靜力學(xué)問題呢？呢？平衡條件：021bFaF(a)qS1S2在平衡位置附近，AB桿轉(zhuǎn)動微小角度由于在新的位置系統(tǒng)仍然平衡02

2、211 SFSF(b)對于一般的非自由質(zhì)點系是否能對于一般的非自由質(zhì)點系是否能寫出類似的平衡條件呢？寫出類似的平衡條件呢？杠桿的平衡條件可用作用力在平衡附近的微小位移中所作的功來建立?；径ɡ砑捌鋺?yīng)用一、定理描述X !Fi !ri= 0具有定常、理想約束的質(zhì)點系在給定位置靜止平衡的必要與充分條件是：作用于質(zhì)點系的所有主動力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即注意： 是廣義力， 廣義位移 !F !r基本定理及其應(yīng)用二、典型問題類型1、求平衡時外力之間的關(guān)系；2、求支座反力；3、求桿件內(nèi)力；4、求彈簧力5、求平衡時的位置。基本定理及其應(yīng)用三、解題步驟1、選取研究對象（通常是整體），判斷約束類型和

3、自由度數(shù)；2、受力分析受力圖（只分析主動力，將非理想約束的反力視為主動力）；3、求主動力作用點的虛位移之間的關(guān)系（幾何法或解析法：幾何法在圖上畫出虛位移方向，解析法需要確定固定坐標(biāo)系）；4、計算主動力的虛功（注意正負(fù)號）；5、建立虛功方程并求解基本例題例例 : : 圖示平面機(jī)構(gòu)，受水平力P P和鉛垂力Q Q作用，對應(yīng)任意角度q，要使機(jī)構(gòu)保持平衡，求P P和Q Q應(yīng)滿足的比例關(guān)系。(忽略各構(gòu)件自重及摩擦）解：解：取整體為研究對象。 qcot213PQ根據(jù)虛位移原理：0BAxPyQ由圖2 cos13 sinAByaxaqq2 sin13 cosAByaxaqqqq 坐標(biāo)變分：求解得到：qPQaay

4、xOAB系統(tǒng)受理想約束， 受力分析如圖, 主動力有P P和Q Q?；纠}例例2:2:圖示機(jī)構(gòu),不計各構(gòu)件自重與各處摩擦,求機(jī)構(gòu)在圖示位置平衡時,主動力偶矩與主動力之間的關(guān)系.解：取整體為研究對象。 根據(jù)速度合成定理：（虛速度法） qqqsinhOBreqq2sinhrrac根據(jù)虛位移原理：0crFMq求解得到：q2sinFhM qh系統(tǒng)受理想約束，受力分析如圖。q rc依照運動學(xué)中分析速度的方法建立虛位移之間的關(guān)系，這種方法稱為虛速度法。 re ra rr基本例題如如圖所示三鉸拱，拱重不計。圖所示三鉸拱，拱重不計。試求在力試求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下鉸下鉸B的約束力。的約束

5、力。ABMFCaaaaD 1. 求鉸求鉸B的水平約束力。的水平約束力。*三鉸拱三鉸拱是一是一個結(jié)構(gòu)個結(jié)構(gòu)，使用虛位移原理時，必須首先解除約束，賦予運，使用虛位移原理時，必須首先解除約束，賦予運動自由度。動自由度。 給曲桿給曲桿AC一微小轉(zhuǎn)角一微小轉(zhuǎn)角 ，曲桿，曲桿BC的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動中心在中心在C* ，可得各力作用點的虛位移分別為，可得各力作用點的虛位移分別為 ,Daqr2BaqrFBxDAMFCaaaarDrBrCqqC*B基本例題如如圖所示三鉸拱，拱重不計。圖所示三鉸拱，拱重不計。試求在力試求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下鉸下鉸B的約束力。的約束力。ABMFCaaaaDFBxDAM

6、FCaaaarDrBrCqqC*B由虛位移原理由虛位移原理0DBxBMFFqrr(2)0BxMFaFaq22BxMFFa基本例題如如圖所示三鉸拱，拱重不計。圖所示三鉸拱，拱重不計。試求在力試求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下鉸下鉸B的約束力。的約束力。ABMFCaaaaD解除鉸解除鉸B的垂直約束，加上垂直約束力的垂直約束，加上垂直約束力FBy。給桿。給桿AC一微小轉(zhuǎn)角一微小轉(zhuǎn)角 ，桿桿BC的轉(zhuǎn)動中心在的轉(zhuǎn)動中心在A，可得有關(guān)虛位移為，可得有關(guān)虛位移為 表示表示 在在x軸的投影。軸的投影。DxDrBMFCAFByDrBrCqrDqDxaq2,Baqr 2. 求鉸求鉸B的垂直約束力。的垂

7、直約束力。基本例題如如圖所示三鉸拱，拱重不計。圖所示三鉸拱，拱重不計。試求在力試求在力F F及力偶矩及力偶矩M M作用作用下鉸下鉸B的約束力。的約束力。ABMFCaaaaDBMFCAFByDrBrCqrDq由虛位移原理由虛位移原理0DByBMFxFqr(2)0ByMFaF aq22ByMFFa 基本例題m11m11m 8m 8m 7m 32FABCNDMm 4m 41F3F求求圖中無重組合梁支座圖中無重組合梁支座A的約束力。的約束力。AF解：解： 取系統(tǒng)為研究對象取系統(tǒng)為研究對象解除解除A點約點約束束, ,以力以力FA代替代替 給一組虛位移給一組虛位移As 1s2sMs ; 381Ass;11

8、8AMss7118472AMsss基本例題m11m11m 8m 8m 7m 32FABCNDMm 4m 41F3FAFAs 1s2sMs 02211sFsFsFAA071183821AAAAsFsFsF21561183FFFA 列虛功方程列虛功方程基本例題已 知已 知 圖 所 示 結(jié) 構(gòu) ， 各 桿 都 以 光 滑 鉸 鏈 連 接 ， 且 有圖 所 示 結(jié) 構(gòu) ， 各 桿 都 以 光 滑 鉸 鏈 連 接 ， 且 有AC=CE=BC=CD=DG=GE=l。在點。在點G作用一鉛直方向的力作用一鉛直方向的力F，求，求支座支座B的水平約束反力的水平約束反力FBx。 ABCDEG 此題可用虛位移原理來求

9、解。用約束力此題可用虛位移原理來求解。用約束力FBx代替水平約束，并將代替水平約束，并將FBx當(dāng)作主動力。當(dāng)作主動力。, sin3qlyGq cos2lxB其變分為其變分為因坐標(biāo)因坐標(biāo) 設(shè)設(shè)B，G二點沿二點沿x，y的虛位移為的虛位移為xB和和yG ，根據(jù)虛位移原理，有根據(jù)虛位移原理，有0BBxGxFyFqqcos3lyGqqsin2lxB解：解：0 sin2 cos3qqqqlFlFBx代入式代入式（a），得，得ABCDEGq cot23FFBx消去消去，解得，解得基本例題基本例題xABCqBxFqGDEyFCG間彈簧的剛度系數(shù)為間彈簧的剛度系數(shù)為k, ,圖示位置圖示位置彈簧已伸長彈簧已伸長0

10、 0, ,求求FBx基本例題;cos2qlxBqsinlyCqsin3lyGxABCqBxFqGDEyFGFCF0kFFGC 利用利用解析法解析法變分計算變分計算: :qqsin2lxB;cosqqlyCqqcos3lyG 列虛功方程列虛功方程0BBGGCCGxFyFyFyF032BxFFctgk ctg基本例題例例14-5 已知已知M，忽略各桿自重，忽略各桿自重, , 求平衡時彈簧受力求平衡時彈簧受力F。解：解： 取系統(tǒng)為研究對象取系統(tǒng)為研究對象解除解除E點彈簧約點彈簧約束束, ,以力以力FE代替代替 給一組虛位移給一組虛位移;4qABrr53BErr534qAB 桿瞬時平移桿瞬時平移EFO

11、ABD4m5mE3mEr qBr MAr 0ErFMq 列虛功方程列虛功方程MF203基本例題圖圖中兩根勻質(zhì)剛桿各長中兩根勻質(zhì)剛桿各長 2l ，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m ，在，在 B 端用鉸鏈連端用鉸鏈連接，接， A 端用鉸鏈固定，而自由端端用鉸鏈固定，而自由端 C 有水平力有水平力 F 作用，求作用，求系統(tǒng)在鉛直面內(nèi)的平衡位置。系統(tǒng)在鉛直面內(nèi)的平衡位置。基本例題 本例的系統(tǒng)具有兩個自由度，它的位置可以本例的系統(tǒng)具有兩個自由度，它的位置可以用角用角 1 和和 2 (以順時針為正以順時針為正)來表示。各主動力的來表示。各主動力的作用點有關(guān)坐標(biāo)是作用點有關(guān)坐標(biāo)是解：解：21211sin2sin2cosc

12、os2cosllxllylyCED這就是約束方程。這就是約束方程。)cos(cos2)sinsin2(sin2211221111lxlylyCED當(dāng)角當(dāng)角 1 和和 2 獲得變分獲得變分 1 和和 2 時，各點的有關(guān)虛位移是時，各點的有關(guān)虛位移是基本例題根據(jù)虛位移原理的平衡方程，有根據(jù)虛位移原理的平衡方程，有0 )sinsin2( sin)cos(cos2 2211112211mglmgllFymgymgxFWEDC即即0)sincos2()sin3cos2(222111lmgFlmgF因為因為 1 和和 2 是彼此獨立的，所以上式可以分解成兩個獨立方程是彼此獨立的，所以上式可以分解成兩個獨立

13、方程0sincos20sin3cos22211mgFmgF從而求得平衡時的角度從而求得平衡時的角度1 和和 2 mgF2arctan2mgF32arctan1基本例題例例14-6 均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB=BC=l , ,桿重桿重皆為皆為P1, ,滑塊滑塊C重重P2, ,滑軌傾角滑軌傾角 , ,求平衡時角求平衡時角。解解: : 取系統(tǒng)為研究對象取系統(tǒng)為研究對象 利用解析法利用解析法2sinlxD2coslyDqBDCFEA1P2P1Pyx2sinlxE2cos3lyE0Cxcos2lyC2coslxD2sinlyD2coslxE2sin3lyE0Cxsin2lyC基本例題例例14-6 均質(zhì)桿均質(zhì)桿AB=BC=l , ,桿重桿重