8.2 單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)模型

1、整理ppt1顧客源隊(duì) 列服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開(kāi)復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)： 排隊(duì)規(guī)則服務(wù)規(guī)則排隊(duì)系統(tǒng)的三個(gè)基本組成部分. 輸入過(guò)程 （有限、無(wú)限；單個(gè)、成批；確定型、隨機(jī)型。相繼到達(dá)時(shí)間間隔相繼到達(dá)時(shí)間間隔顧客到達(dá)顧客到達(dá)整理ppt2排隊(duì)規(guī)則 等待制、損失制、混合制服務(wù)機(jī)構(gòu) 1、機(jī)構(gòu)形式：?jiǎn)瘟?、多列、服?wù)臺(tái)的數(shù)量2、服務(wù)方式： 單個(gè)、成批3、服務(wù)時(shí)間：確定型、隨機(jī)型顧客顧客整理ppt3 排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行情況的分析，就是在給定輸入排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行情況的分析，就是在給定輸入與服務(wù)條件下，通過(guò)求解系統(tǒng)狀態(tài)為與服務(wù)條件下，通過(guò)求解系統(tǒng)狀態(tài)為n(n(有有n n個(gè)顧客個(gè)顧客) )的概率的概率P Pn n，再進(jìn)行計(jì)

2、算其主要的運(yùn)行指標(biāo)：，再進(jìn)行計(jì)算其主要的運(yùn)行指標(biāo)： 系統(tǒng)中顧客數(shù)系統(tǒng)中顧客數(shù)( (隊(duì)長(zhǎng)隊(duì)長(zhǎng)) )L L； 排隊(duì)等待的顧客數(shù)排隊(duì)等待的顧客數(shù)( (排隊(duì)長(zhǎng)排隊(duì)長(zhǎng)) )L Lq q； 顧客在系統(tǒng)中全部時(shí)間顧客在系統(tǒng)中全部時(shí)間( (逗留時(shí)間逗留時(shí)間) )W W； 顧客排隊(duì)等待時(shí)間顧客排隊(duì)等待時(shí)間W Wq q。整理ppt4排隊(duì)模型的符號(hào)定義為：排隊(duì)模型的符號(hào)定義為： A A/B/C/m/N/B/C/m/N A A 顧客到達(dá)間隔時(shí)間概率分布顧客到達(dá)間隔時(shí)間概率分布; ; B B 服務(wù)時(shí)間的概率分布服務(wù)時(shí)間的概率分布; ; C C 服務(wù)臺(tái)數(shù)；服務(wù)臺(tái)數(shù)； m m 顧客源總數(shù)顧客源總數(shù) N N 系統(tǒng)內(nèi)顧客的容量

3、系統(tǒng)內(nèi)顧客的容量 整理ppt5排隊(duì)系統(tǒng)的常見(jiàn)分布排隊(duì)系統(tǒng)的常見(jiàn)分布 1 1、泊松分布、泊松分布 設(shè)設(shè)N(N(t)t)表示在時(shí)間區(qū)間表示在時(shí)間區(qū)間 t,t+t,t+t)t)內(nèi)到達(dá)的顧客內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)，是隨機(jī)變量。當(dāng)數(shù)，是隨機(jī)變量。當(dāng)N(N(t)t)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件時(shí)，滿(mǎn)足下列三個(gè)條件時(shí)，我們我們說(shuō)顧客的到達(dá)符合泊說(shuō)顧客的到達(dá)符合泊松分布松分布。這三個(gè)條件是：。這三個(gè)條件是： (1) (1)平穩(wěn)性平穩(wěn)性 在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間 t,t+t,t+t)t)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)N(N(t)t)，只與區(qū)間長(zhǎng)度只與區(qū)間長(zhǎng)度t t有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)有關(guān)而與時(shí)間起點(diǎn)t t無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 (2) (2)無(wú)后效性

4、無(wú)后效性 在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間 t,t+t,t+t)t)內(nèi)到達(dá)的顧客內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)數(shù)N(N(t)t)，與與t t以前到達(dá)的顧客數(shù)獨(dú)立。以前到達(dá)的顧客數(shù)獨(dú)立。整理ppt6(3)普通性普通性 在充分短的時(shí)間區(qū)間在充分短的時(shí)間區(qū)間t內(nèi)，到達(dá)兩個(gè)或兩內(nèi)，到達(dá)兩個(gè)或兩個(gè)以上顧客的概率極小，可以忽略不計(jì)，即個(gè)以上顧客的概率極小，可以忽略不計(jì)，即02lim()0ntnP tt 其中其中表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，即為到達(dá)率。表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，即為到達(dá)率。在長(zhǎng)為在長(zhǎng)為 t 的時(shí)間內(nèi)到達(dá)的時(shí)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率為：個(gè)顧客的概率為： ()( )(0)0,1,2,!ntntP tetnn整理ppt7

5、整理ppt8當(dāng)當(dāng)t=1時(shí)，時(shí)， 0,1,2,!nnPenn表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)表示單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率。個(gè)顧客的概率。 容易計(jì)算容易計(jì)算Poisson分布的總體均數(shù)與總體方差相等，分布的總體均數(shù)與總體方差相等，均為均為。 整理ppt92、負(fù)指數(shù)分布、負(fù)指數(shù)分布 當(dāng)顧客到達(dá)符合泊當(dāng)顧客到達(dá)符合泊松分布時(shí)松分布時(shí)，顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間，顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T必服從負(fù)指數(shù)分布。必服從負(fù)指數(shù)分布。 顧客服務(wù)時(shí)間常用概率分布也是負(fù)指數(shù)分布顧客服務(wù)時(shí)間常用概率分布也是負(fù)指數(shù)分布 ( )(0)tf tet其中其中表示單位時(shí)間內(nèi)完成服務(wù)的顧客數(shù)，也稱(chēng)平均服表示單位時(shí)間內(nèi)完成服務(wù)的顧客數(shù)，也稱(chēng)平均服務(wù)

6、率。務(wù)率。( )(0)tTftet整理ppt10整理ppt11例例8-1 某醫(yī)院外科手術(shù)室任意抽查了某醫(yī)院外科手術(shù)室任意抽查了100個(gè)工作小時(shí)，個(gè)工作小時(shí)，每小時(shí)患者到達(dá)數(shù)每小時(shí)患者到達(dá)數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如表，問(wèn)每小時(shí)患者的的出現(xiàn)次數(shù)如表，問(wèn)每小時(shí)患者的到達(dá)數(shù)是否服從泊松分布。到達(dá)數(shù)是否服從泊松分布。到達(dá)到達(dá)數(shù)數(shù)n01234567出現(xiàn)出現(xiàn)次數(shù)次數(shù)fn1028291610610患者在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)數(shù)的頻數(shù)分布患者在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)數(shù)的頻數(shù)分布 2.1/100nnfx（人 小時(shí)）整理ppt121、原理、原理 判斷樣本觀察頻數(shù)（判斷樣本觀察頻數(shù)（A）與理論）與理論(期望期望)頻數(shù)（頻數(shù)（T ）之差是否由抽

7、樣誤差所引起。之差是否由抽樣誤差所引起。 注意：理論頻數(shù)注意：理論頻數(shù)Ti不宜過(guò)小（如不小于不宜過(guò)?。ㄈ绮恍∮?），否則需要合并組段?。?，否則需要合并組段！整理ppt132、計(jì)算公式、計(jì)算公式 221(),1kiiiiATkaaT 為參數(shù)的個(gè)數(shù)為參數(shù)的個(gè)數(shù) 整理ppt142、計(jì)算公式、計(jì)算公式 221()1.3026kiiiiATT16 1 14ka 20.05(4)9.488220.05(4)1.30269.488而0.05P整理ppt15卡方分布下的檢驗(yàn)水準(zhǔn)及其臨界值卡方分布下的檢驗(yàn)水準(zhǔn)及其臨界值接受假設(shè)，即患者到達(dá)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分布適合接受假設(shè)，即患者到達(dá)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)分布適合=2.1=2.1的的泊

8、松分布。泊松分布。整理ppt16第二節(jié)第二節(jié) 單服務(wù)臺(tái)單服務(wù)臺(tái)M/M/1排隊(duì)模型排隊(duì)模型 第八章 排隊(duì)論整理ppt17M/M/1/ 模型模型 1、模型條件、模型條件 （1 1）輸入過(guò)程）輸入過(guò)程顧客源是無(wú)限的，單個(gè)到來(lái)，到顧客源是無(wú)限的，單個(gè)到來(lái)，到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，即顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從達(dá)過(guò)程服從泊松分布，即顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；負(fù)指數(shù)分布；（2 2）排隊(duì)規(guī)則）排隊(duì)規(guī)則單隊(duì)，且隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制，先到先單隊(duì)，且隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制，先到先服務(wù)；服務(wù)；（3 3）服務(wù)機(jī)構(gòu)）服務(wù)機(jī)構(gòu)單服務(wù)臺(tái)，服務(wù)時(shí)間的長(zhǎng)短是隨單服務(wù)臺(tái)，服務(wù)時(shí)間的長(zhǎng)短是隨機(jī)的，服從相同的負(fù)指數(shù)分布機(jī)的，服從相同的負(fù)指數(shù)分布 。整理p

9、pt18 排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)n隨時(shí)間變化的過(guò)程稱(chēng)為生滅過(guò)程，隨時(shí)間變化的過(guò)程稱(chēng)為生滅過(guò)程，設(shè)平均到達(dá)率為設(shè)平均到達(dá)率為,平均服務(wù)率為平均服務(wù)率為,負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)（M/M/1/）的生滅過(guò)程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：）的生滅過(guò)程可用下面的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖表示：01 n-1n n+1. 整理ppt19100PP狀態(tài) ：11()1,2,3,nnnPPPn狀態(tài)n：10PP021()PPPn=1：020()PPP220()PP132()PPPn=2：20302()PPP330()PP整理ppt20類(lèi)似可得類(lèi)似可得 0()nnPP由概率性質(zhì)可知，由概率性質(zhì)可知， 01nnP000(

10、 )nnnnPP0( )nnPP 令001( )nnP 01(1)nnPP 0其中P是空閑概率，為利用率（服務(wù)臺(tái)處于繁忙的概率）0111P 整理ppt21對(duì)于對(duì)于M MM M1/1/模型有如下公式：模型有如下公式： 10P)1 (nnP1L2()qL LWqqLW整理ppt22例例8-2 設(shè)某醫(yī)院藥房只有一名藥劑員，取藥的患者按設(shè)某醫(yī)院藥房只有一名藥劑員，取藥的患者按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí)20人，藥劑員配藥時(shí)間服人，藥劑員配藥時(shí)間服從指數(shù)分布，平均每人為從指數(shù)分布，平均每人為2.5分鐘。試分析該藥房排分鐘。試分析該藥房排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運(yùn)行指標(biāo)。隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運(yùn)

11、行指標(biāo)。解：這是一個(gè)解：這是一個(gè)M/M/1/系統(tǒng)，單列，系統(tǒng)，單列，F(xiàn)CFS規(guī)則規(guī)則 根據(jù)題意已知，根據(jù)題意已知，20/人 小時(shí)1/2.5/分鐘 人11/6024/2.52.5人 分鐘=人 小時(shí)整理ppt23（1）藥劑員空閑率）藥劑員空閑率 0201110.166716.67%24P 20/人 小時(shí)24/人 小時(shí)（2）隊(duì)長(zhǎng)）隊(duì)長(zhǎng) 若按每天若按每天8小時(shí)工作時(shí)間計(jì)算，該藥劑員每天的空閑小時(shí)工作時(shí)間計(jì)算，該藥劑員每天的空閑時(shí)間約有時(shí)間約有80.1667=1.33小時(shí)。小時(shí)。2052420L（人）整理ppt24（3）等待隊(duì)長(zhǎng)）等待隊(duì)長(zhǎng) 20/人 小時(shí)24/人 小時(shí)（4）平均等待時(shí)間）平均等待時(shí)間 2

12、2204.167()24 (2420)qL （人）4.1670.208312.520qqLW（小時(shí)）（分鐘）整理ppt25（5）平均逗留時(shí)間）平均逗留時(shí)間 20/人 小時(shí)24/人 小時(shí)50.251520LW（小時(shí)）（分鐘）（6）系統(tǒng)內(nèi)有）系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)患者取藥的概率個(gè)患者取藥的概率 2020(1)(1)()1,2,3,2424nnnPn12313.89%11.57%9.65%PPP整理ppt26如果醫(yī)院希望有足夠的座位給取藥的病人坐，或者說(shuō)如果醫(yī)院希望有足夠的座位給取藥的病人坐，或者說(shuō)病人來(lái)取藥沒(méi)有座位的概率不超過(guò)病人來(lái)取藥沒(méi)有座位的概率不超過(guò)5%，試問(wèn)至少應(yīng)為，試問(wèn)至少應(yīng)為病人準(zhǔn)備多少座位？病

13、人準(zhǔn)備多少座位？095%nkkP0(1)nkk 1195%n 15%n15.416n 解得即至少為病人準(zhǔn)備即至少為病人準(zhǔn)備15個(gè)座位（正在取藥的人除外）。個(gè)座位（正在取藥的人除外）。整理ppt27例例8-3 某醫(yī)院欲購(gòu)一臺(tái)某醫(yī)院欲購(gòu)一臺(tái)X光機(jī)，現(xiàn)有四種可供選擇的光機(jī)，現(xiàn)有四種可供選擇的機(jī)型。已知就診者按泊松分布到達(dá)，到達(dá)率每小時(shí)機(jī)型。已知就診者按泊松分布到達(dá)，到達(dá)率每小時(shí)4人。四種機(jī)型的服務(wù)時(shí)間均服從指數(shù)分布，其不同機(jī)人。四種機(jī)型的服務(wù)時(shí)間均服從指數(shù)分布，其不同機(jī)型的固定費(fèi)用型的固定費(fèi)用C1，操作費(fèi)，操作費(fèi)C2，服務(wù)率，服務(wù)率 見(jiàn)表。若每位見(jiàn)表。若每位就診者在系統(tǒng)中逗留所造成的損失費(fèi)為每小時(shí)就

14、診者在系統(tǒng)中逗留所造成的損失費(fèi)為每小時(shí)1515元，元，試確定選購(gòu)哪一類(lèi)機(jī)型可使綜合費(fèi)（固定費(fèi)試確定選購(gòu)哪一類(lèi)機(jī)型可使綜合費(fèi)（固定費(fèi)+ +操作費(fèi)操作費(fèi)+ +逗留損失費(fèi)）最低。逗留損失費(fèi)）最低。整理ppt28整理ppt29第三節(jié)第三節(jié) 多服務(wù)臺(tái)多服務(wù)臺(tái)M/M/排隊(duì)模型排隊(duì)模型 第八章 排隊(duì)論整理ppt30一、一、M/M/C/ 模型模型 1、模型條件、模型條件 （1 1）輸入過(guò)程）輸入過(guò)程顧客源是無(wú)限的，單個(gè)到來(lái)，到顧客源是無(wú)限的，單個(gè)到來(lái)，到達(dá)過(guò)程服從泊松分布，即顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)達(dá)過(guò)程服從泊松分布，即顧客到達(dá)間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；指數(shù)分布；（2 2）排隊(duì)規(guī)則）排隊(duì)規(guī)則單隊(duì)，且隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制，

15、先到先單隊(duì)，且隊(duì)長(zhǎng)沒(méi)有限制，先到先服務(wù)；服務(wù)；（3 3）服務(wù)機(jī)構(gòu)）服務(wù)機(jī)構(gòu)多服務(wù)臺(tái)且相互獨(dú)立，服務(wù)時(shí)間多服務(wù)臺(tái)且相互獨(dú)立，服務(wù)時(shí)間的長(zhǎng)短是隨機(jī)的，平均服務(wù)率相同，服從相同的負(fù)的長(zhǎng)短是隨機(jī)的，平均服務(wù)率相同，服從相同的負(fù)指數(shù)分布指數(shù)分布 。整理ppt31整理ppt321、狀態(tài)概率、狀態(tài)概率110kk011C1k1CCP！CPCOPPn!C 1Cnn10nCn0nn！C整理ppt332、主要運(yùn)行指標(biāo)、主要運(yùn)行指標(biāo)qqLW 1qWLW 02()!(1)cqcLPcqLL整理ppt34例例8-6 某醫(yī)院康復(fù)科有某醫(yī)院康復(fù)科有4臺(tái)超短波理療儀，患者的到達(dá)臺(tái)超短波理療儀，患者的到達(dá)服從泊松分布。平均每小時(shí)

16、到達(dá)服從泊松分布。平均每小時(shí)到達(dá)12人，每人理療時(shí)間人，每人理療時(shí)間服從指數(shù)分布，每臺(tái)每小時(shí)平均服務(wù)服從指數(shù)分布，每臺(tái)每小時(shí)平均服務(wù)4人，患者到達(dá)后人，患者到達(dá)后排成一列，一次就診。求：排成一列，一次就診。求：4臺(tái)一起同時(shí)空閑的概率臺(tái)一起同時(shí)空閑的概率計(jì)算系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)；計(jì)算系統(tǒng)的數(shù)量指標(biāo)；患者到達(dá)后必須等待的概率?；颊叩竭_(dá)后必須等待的概率。整理ppt35二、二、M/M/C模型與模型與C個(gè)個(gè)M/M/1模型的比較模型的比較 整理ppt36 例例 某醫(yī)院掛號(hào)室有三個(gè)窗口，就診者的到達(dá)服從某醫(yī)院掛號(hào)室有三個(gè)窗口，就診者的到達(dá)服從泊松分布，平均到達(dá)率為每分鐘泊松分布，平均到達(dá)率為每分鐘0.9人，掛號(hào)員

17、服務(wù)時(shí)人，掛號(hào)員服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布，平均服務(wù)率每分鐘間服從指數(shù)分布，平均服務(wù)率每分鐘0.4人，現(xiàn)假設(shè)就人，現(xiàn)假設(shè)就診者到達(dá)后排成一隊(duì)，依次向空閑的窗口掛號(hào)，顯然診者到達(dá)后排成一隊(duì)，依次向空閑的窗口掛號(hào)，顯然系統(tǒng)的容量和顧客源是不限的，屬于系統(tǒng)的容量和顧客源是不限的，屬于M/M/CM/M/C型的排隊(duì)服型的排隊(duì)服務(wù)模型。求：該系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。務(wù)模型。求：該系統(tǒng)的運(yùn)行指標(biāo)。3,0.9/0.4/0.93C3 0.44C解：人 分鐘，人 分鐘，整理ppt37 0748. 03/2.251132.2522.2512.2502.251132100！整個(gè)掛號(hào)間空閑的概率P 人稱(chēng)隊(duì)列長(zhǎng)等待掛號(hào)的平均人數(shù)或7

18、. 10748. 0!34/32.2523qL 人稱(chēng)隊(duì)長(zhǎng)掛號(hào)間平均逗留人數(shù)或95. 325. 27 . 13qLL整理ppt38 分鐘在掛號(hào)間平均逗留時(shí)間分鐘等候掛號(hào)的平均時(shí)間4.390.411.89589.19 .07 .14WWq 57. 00748. 04/132.253363！閑）的概率人或各掛號(hào)員都沒(méi)有空者不少于（即系統(tǒng)中就診就診者到達(dá)后必須等待NP整理ppt39 如果在上例中，就診者到達(dá)后在每個(gè)掛號(hào)窗口各自如果在上例中，就診者到達(dá)后在每個(gè)掛號(hào)窗口各自排成一隊(duì)，即排成排成一隊(duì)，即排成3 3隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后不離開(kāi)，各列間隊(duì)，且進(jìn)入隊(duì)列后不離開(kāi)，各列間也互不串換，這就形成也互不串換，這就

19、形成3 3個(gè)隊(duì)列，而前例中的其它條件個(gè)隊(duì)列，而前例中的其它條件不變。假設(shè)每個(gè)隊(duì)列平均到達(dá)率相等且為：不變。假設(shè)每個(gè)隊(duì)列平均到達(dá)率相等且為：1 12 23 30.9/30.9/30.30.3（人（人/ /分鐘）分鐘）這樣，原來(lái)的這樣，原來(lái)的M/M/3M/M/3系統(tǒng)就變成了系統(tǒng)就變成了3 3個(gè)個(gè)M/M/1M/M/1型的子系統(tǒng)。型的子系統(tǒng)。 現(xiàn)按現(xiàn)按M/M/1M/M/1型計(jì)算主要運(yùn)行指標(biāo)，并與上面的例子進(jìn)型計(jì)算主要運(yùn)行指標(biāo)，并與上面的例子進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見(jiàn)表行對(duì)比分析，結(jié)果見(jiàn)表整理ppt4030.3/0.4/解： 個(gè)M/M/1系統(tǒng)，人 分鐘，人 分鐘，（1）掛號(hào)間空閑的概率）掛號(hào)間空閑的概率 10P0.3110.4 10.254（2）就診者必須等待的概率）就診者必須等待的概率 0(1)11 0.250.75P NP 整理ppt4130.3/0.4/解： 個(gè)M/M/1系統(tǒng)，人 分鐘，人 分鐘，（3）每個(gè)系統(tǒng)的平均等待隊(duì)長(zhǎng)）每個(gè)系統(tǒng)的平均