求解線性非齊次高階方程的特解常數(shù)變易法

1、4.3 非齊次高階線性方程特解的常數(shù)變易方法、疊加原理( Use the method of Variation of Constants to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)教學(xué)內(nèi)容 1. 介紹非齊次線性方程特解的常數(shù)變易法. 2. 介紹非齊次線性方程特解的疊加原理.3. 介紹一些特殊求解方法（乘積求導(dǎo)法則、特征方程法和劉維爾公式）教學(xué)重難點(diǎn) 重點(diǎn)是知道常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解； 難點(diǎn)是如何給出未知函數(shù)滿足的方程. 教學(xué)方法 預(yù)習(xí)1、2、3；講授1、2、3考核目標(biāo) 1. 靈活運(yùn)用

2、常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解. 2. 知道非齊次線性方程特解的疊加原理.3. 知道一些特殊求解方法（乘積求導(dǎo)法則、特征方程法和劉維爾公式）1. 常數(shù)變易法求解非齊次線性方程的特解（以二階微分方程為例）(1) 引例(1) 求出方程; (2) 的通解. 這里和不是多項(xiàng)式函數(shù)、不是指數(shù)函數(shù)、不是可以用形式特解的待定系數(shù)法來(lái)求解方程的特解. (2) 解法思路：考察 (*). 為了求出方程（*）的一個(gè)特解，先考慮相應(yīng)的二階齊次線性方程(*)，假定已知齊次線性方程的基本解組，則齊次線性方程的通解為，其中為常數(shù). 現(xiàn)假定方程（*）具有形如的特解（這就是常數(shù)變易法叫法由來(lái)?。?jīng)計(jì)算得到，注意到將其代入

3、原方程（*）只得一個(gè)等式，而這里有兩個(gè)未知函數(shù)，因此我們添加一個(gè)限制條件 ；進(jìn)一步求二階導(dǎo)數(shù)得到，將代入原方程得到，注意到為方程（*）的解，因此上述左端第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都為零，即得到如下方程組 ，由此運(yùn)用克萊姆法則得到，這里為Wronski行列式，是不為零的（為什么？）.最后對(duì)上面兩個(gè)等式兩邊同時(shí)關(guān)于變量t積分可得. 例56 求解的一個(gè)特解. 解：第一步：注意到原方程已是標(biāo)準(zhǔn)形式了，相應(yīng)的齊次方程為，其特征方程為，特征值為. 于是相應(yīng)的基本解組為.第二步：假定原方程具有如下特解 ，于是由常數(shù)變易法知，滿足，解得，. 于是得到，其中為任意常數(shù). 特別地，取得到所求特解為. 例57. Find a

4、particular solution to the differential equation .Solution (1) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is , whose characteristic equation is . Then we get and corresponding fundamental solutions to homogeneous equation are . (2) Suppose the original equation has the fo

5、llowing particular solution ,Then we get . By applying Cramer'sRule, we get , We use integration by parts to determine that ,.Particularly, we choose and get a particular solution to our differential equation is . 作業(yè)51. Find a particular Solution of the differential equation . 例58. 求方程的通解. 解：（1）

6、相應(yīng)齊次方程為，這是一個(gè)歐拉方程. 令其特征方程為，. 于是相應(yīng)齊次線性方程的基本解組為. （2） 改寫(xiě)原方程為標(biāo)準(zhǔn)形式，記. 假定上述方程具有如下特解，于是有，, 運(yùn)用分部積分法得到，；特別地，取，得到原方程的一個(gè)特解.因此，原方程的通解為，其中為任意常數(shù). 作業(yè)52. 求解的通解. 2. 非齊次線性方程的疊加原理（1） 參見(jiàn)教材P131，習(xí)題2.例59 求方程的一個(gè)特解. 解：令. (1) 考察相應(yīng)齊次線性方程，其特征方程的特征根為，相應(yīng)的基本解組為. (2) 考察非齊次線性方程，假定方程具有特解，代入方程運(yùn)用待定系數(shù)法求得. (3) 考察非齊次線性方程，運(yùn)用例56的結(jié)果知，(4) 由非齊

7、次線性方程的疊加原理知，原方程的一個(gè)特解. 作業(yè)53. 求方程的通解. 3. 一類(lèi)特殊齊次線性微分方程基本解組和特解求法（1） 乘積求導(dǎo)法則：，. 例60. 求解方程(1) ; (2) 通解. 解：(1) 令，于是方程的左端為，于是得到，其中為任意常數(shù). 于是得到原方程的通解為，其中為任意常數(shù). （2） 經(jīng)觀察不能直接運(yùn)用乘積求導(dǎo)法則，令，由，解得，此時(shí)，驗(yàn)證可知. 原方程兩邊同除以，得到新方程為，解得通解為，于是原方程的通解為，其中為任意常數(shù). 作業(yè)53. 求解方程(1) 的通解.(2) 考察方程，假設(shè)代入得到特征方程，若特征方程有實(shí)常數(shù)根，則原方程具有解.(直接代入驗(yàn)證知結(jié)論成立)例61. 求方程（1）的通解；（2）一個(gè)特解. 解：(1) 改寫(xiě)原方程為標(biāo)準(zhǔn)形式為，原方程的特征方程為，可得一實(shí)根，于是原方程