求定積分以及相關(guān)應(yīng)用問題

1、§6 Mathematica求定積分以及相關(guān)應(yīng)用問題6.1 用Mathematica求定積分1 定積分的運(yùn)算在不定積分中加入積分的上下限便成為定積分(definite integral)。Mathematica的定積分命令和不定積分的命令相同，但必須指定積分變量的上下限。(1) Integratef,x,下限,上限(2) 例6.1計(jì)算定積分。解Out1=4-2ArcTan2和不定積分一樣,除了我們指定的積分變量之外,其它所有符號(hào)都被作常數(shù)處理.例6.2計(jì)算定積分。解2 數(shù)值積分如果Mathematica無法解出積分的符號(hào)表達(dá)式或者定積分的結(jié)果過于冗長而失去意義時(shí)，我們就可以用數(shù)值積分

2、求解。數(shù)值積分只能進(jìn)行定積分的運(yùn)算，即必須指定上、下限。用Mathematica求解數(shù)值積分有兩種形式：(1) NIntegratef,x,a,b 從到 ，做的數(shù)值積分。(2) N 求定積分表達(dá)式的數(shù)值例6.3求定積分。解 用Integrate命令無法求的定積分，用NIntegrate命令即可求得其數(shù)值積分。In1:=NIntegrateSinSinx,x,0,Pi/3Out1=0.466185求定積分表達(dá)式的數(shù)值，也能得到與上式相同的結(jié)果。Out2=0.466185例6.4求定積分的近似值。解 被積函數(shù)的原函數(shù)不能被等函數(shù)表示，我們可以計(jì)算它的數(shù)值積分。In3:=NIntegrateExp-

3、x2,x,0,1Out3=0.7468243 近似值積分 用Mathematica計(jì)算定積分的近似值還有矩形法、梯形法和拋物線法用分點(diǎn)將區(qū)間分成個(gè)長度相等的小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間長度為矩形法公式：梯形法公式：拋物線法公式：例6.5分別用矩形法、梯形法、拋物線法計(jì)算定積分。解 為了便于比較，首先計(jì)算積分的精確值：In1:=Clearx;yx_=x2;Integrateyx,x,0,1Out1=(1) 矩形法In2:=Cleary,x,s1,n,b,a;n=20;a=0;b=1;yx_:=x2;s1=(b-a)/n*Sumya+i(b-a)/n,i,0,n-1/N;s2=(b-a)/n*Sumya+i

4、(b-a)/n,i,1,n/N;Print“s1=”,s1” s2=”,s2Out2=s1=0.30875 s2=0.35875 (2) 梯形法In3:=Cleary,x,a,b,ss3,s3;yx_:=x2;n=20;a=0;b=1;ss3=Sumya+i*(b-a)/n,i,1,n-1;s3=(ya/2+yb/2+ss3)*(b-a)/n /N;Print“s3=”,s3Out3=0.33375(3) 拋物線法In4:=Cleary,x,a,b,s3;yx_:=x2;n=20;a=0;b=1;m=10;ss1=Sum(1+(-1)i)*ya+i*(b-a)/n,i,1,n-1;(*ss1=

5、2y2+2y4+2yn-2*)ss2=Sum(1-(-1)i)*ya+i*(b-a)/n,i,1,n-1;(*ss2=2y1+2y3+2yn-1*)s4=N(ya+yb+ss1+2ss2)*(b-a)/3/n,20;Prints4=”,s4Out4=0.33333333333333333333由上述結(jié)果可知：拋物線法近似程度最好，矩形法近似程度最差。6.2 用Mathematica計(jì)算相關(guān)定積分應(yīng)用問題在解有關(guān)定積分應(yīng)用問題時(shí)會(huì)用到的Mathematica函數(shù)有以下幾種：1、 Solve方程1，方程2，變量1，變量2：求解二元方程組。2、 Plotfx,x,a,b：畫一元函數(shù)圖形。3、 Par

6、ametricPlotxt,yt,t,t1,t2：二維參數(shù)作圖。4、 Integratefx,x,a,b：計(jì)算定積分。5、 Showf1,f2：將函數(shù)組合顯示。1 利用定積分計(jì)算平面圖形的面積有連續(xù)曲線，直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積為例6.6求由拋物線和直線所圍成圖形的面積。解 首先畫出函數(shù)圖形，如圖6-1所示In1:=PlotSqrt2x,-Sqrt2x,-x+4,x,0,9Out1=-Graphics-圖6-1然后求出兩條曲線的交點(diǎn)：In2:=Solvey2-2=0,y+x-4=0,x,yOut2=x®2,y®2,x®8,y®-4再以y為積分變量求

7、面積：In3:=s=Integrate-y+4-y2/2,y,-4,2Out3=18例6.7 求由圓所圍圖形的面積。解 首先求出兩條曲線的交點(diǎn)：In4:=Solver-3Cost=0,r-1-Cost=0,r,tOut4=然后畫出兩曲線所圍成的圖形，如圖6-2所示In5:=f1=ParametricPlot3CostCost,3CostSint,t,0,2Pi;f2= ParametricPlot(1+Cost)Cost,(1+Cost)Sint,t,0,2PiShowf1,f2,AspectRatio®AutomaticOut5= -Graphics- 圖6-2再利用定積分計(jì)算面積

8、 In6:=s1=Integrate1+Cost,t,0,Pi/3Out6=In7:=s2=Integrate3Cost,t,Pi/3,Pi/2Out7=In8:=s=2*(s1+s2)Out8=2 利用定積分計(jì)算平面曲線的弧長設(shè)曲線弧由參數(shù)方程：,給出，其中在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則曲線弧的弧長為例6.8 求曲線上相應(yīng)于從到的一段弧長。解首先畫出曲線的圖形，如圖6-3所示In1:=ParametricPlotArcTant,(1/2)*Log1+t2,t,-2,2,AspectRatio®AutomaticOut1= -Graphics-圖6-3再利用定積分計(jì)算曲線的弧長：In2:=dx

9、=DArcTant,tIn3:=dy=D(1/2)Log1+t2,tIn4:=s=IntegrateSqrtdy2+dx2,t,0,1/NOut4=0.8813743 利用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成立體的體積為例6.9將星形線所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，計(jì)算所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解星形線的參數(shù)方程為取a=1，畫出星形線的圖形，如圖6-4所示In1:=ParametricPlot(Cost3),(Sint3),t,0,2Pi,AspectRatio®AutomaticOut1= -Graphics- 圖6-4利用Mathematica計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積：In2:=xt_:=a*Cost3;yt_:=a*Sint3;dx=Dxt,t;V=2*IntegratePi*(yt)2*dx,t,0,Pi/2練習(xí)5.61. 用Mathematica求解下