曲面及其方程1

1、第三節(jié) 曲面及其方程教學(xué)目的掌握曲面方程、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面方程概念，了解空間常用二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)用“截痕法”畫(huà)出其簡(jiǎn)圖教學(xué)重點(diǎn)曲面方程、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面方程教學(xué)難點(diǎn)空間想象能力和曲面圖形的描繪教學(xué)過(guò)程一、問(wèn)題的提出在日常生活中，我們經(jīng)常遇到各種曲面，例如反光鏡的鏡面、管道的外表面以及錐面等等。那這些曲面相應(yīng)的方程是什么呢，怎樣才能準(zhǔn)確地畫(huà)出準(zhǔn)確的圖形呢？二、曲面方程的概念（一）曲面方程的基本概念在一般情況下，如果曲面與三元方程（1）有下述關(guān)系：（1） 曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程（1）；（2） 不在曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足方程（1）那么方程（1）就叫做曲面的方程，而曲面就

2、叫做方程（1）的圖形。象在平面解析幾何中把平面曲線(xiàn)當(dāng)作動(dòng)點(diǎn)軌跡一樣，在空間解析幾何中，我們常把曲面看作一個(gè)動(dòng)點(diǎn)按照某個(gè)規(guī)律運(yùn)動(dòng)而成的軌跡。（二）建立幾個(gè)常見(jiàn)的曲面方程例1 若球心在點(diǎn)，半徑為，求該球面方程。解：設(shè)是球面上任一點(diǎn)，那么又故（2）這就是球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的方程，而不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足該方程，所以該方程就是以為球心，為半徑的球面方程。如果球心在原點(diǎn)，那么，從而球面方程為將（2）式展開(kāi)得所以，球面方程具有下列兩個(gè)特點(diǎn)：（1） 它是之間的二次方程，且方程中缺項(xiàng)；（2） 的系數(shù)相同且不為零。（三）曲面研究的兩個(gè)基本問(wèn)題以上表明作為點(diǎn)的幾何軌跡的曲面可以用它的點(diǎn)的坐標(biāo)間的方程來(lái)表

3、示，反之，變量間的方程通常表示一個(gè)曲面。因此在空間解析幾何中關(guān)于曲面的研究，有下面兩個(gè)基本問(wèn)題。（1） 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí)，建立曲面方程。（2） 已知坐標(biāo)間的一個(gè)方程時(shí)，研究這方程所表示的曲面形狀。例2 方程表示怎樣的曲面？解：配方，得所以所給方程為球面，球心為，半徑為。三、旋轉(zhuǎn)曲面（一）旋轉(zhuǎn)曲面的定義一條平面曲線(xiàn)繞該平面上一條定直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面。旋轉(zhuǎn)曲線(xiàn)和定直線(xiàn)依次叫做旋轉(zhuǎn)曲面的母線(xiàn)和軸。（二）旋轉(zhuǎn)曲面的方程設(shè)在坐標(biāo)面上有一條已知曲線(xiàn)，它的方程為，曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)以軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面設(shè)為曲線(xiàn)上一點(diǎn)，則有（3）當(dāng)曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)隨繞到另一點(diǎn)，這時(shí)，且點(diǎn)到軸的距離為將

4、，代入（3）式，便得到（4）這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。由此可知，在曲線(xiàn)的方程中將改成便得曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。同理，曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為（5）例3直線(xiàn)繞另一條與相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫做圓錐面。兩直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線(xiàn)的夾角（）叫做圓錐面的半頂角。試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為軸，半頂角為的圓錐面的方程（圖6-24）。解：在坐標(biāo)面上直線(xiàn)的方程為，因?yàn)樾D(zhuǎn)軸為軸，所以只要將方程中的改成，便得到這圓錐面的方程或其中。例4將坐標(biāo)面上的雙曲線(xiàn)分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)一周，求所生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：繞軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，它的方程為繞軸旋轉(zhuǎn)所

5、生成的旋轉(zhuǎn)曲面叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，它的方程為四、柱面（一） 柱面的定義設(shè)直線(xiàn)平行于某定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)移動(dòng)形成的軌跡。定曲線(xiàn)叫做柱面的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)叫做柱面的母線(xiàn)。我們只討論準(zhǔn)線(xiàn)在坐標(biāo)面上，而母線(xiàn)垂直于該坐標(biāo)面的柱面。這種柱面方程有什么特點(diǎn)呢？（二）柱面的分類(lèi)一般地，如果方程中缺，即，它表示準(zhǔn)線(xiàn)在坐標(biāo)面上，母線(xiàn)平行于軸的柱面。方程分別表示母線(xiàn)平行于軸和軸的柱面方程。例如，方程，方程中缺，所以它表示母線(xiàn)平行于軸的柱面，它的準(zhǔn)線(xiàn)是面上的拋物線(xiàn)，該柱面叫做拋物柱面例如，方程表示母線(xiàn)平行于軸的柱面，其準(zhǔn)線(xiàn)是面上的直線(xiàn)，所以它是過(guò)軸的平面五、二次曲面（一）定義我們把三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)為二次曲面。（二）

6、舉例（1） 橢圓錐面 截痕法：通過(guò)綜合截痕的變化來(lái)了解曲面形狀的方法。以垂直于軸的平面截此曲面，當(dāng)時(shí)得一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得平面上的橢圓當(dāng)變化時(shí)，上式表示一族長(zhǎng)短軸比例不變的橢圓，當(dāng)從大到小變?yōu)?時(shí)，這族曲線(xiàn)從大到小并縮為一點(diǎn)。伸縮變形的方法：把空間圖形伸縮變形形成新的曲面。曲面沿軸方向伸縮倍，曲面的點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，其中，因?yàn)辄c(diǎn)在曲面上，所以有，故。O例如將圓錐面的圖形沿軸方向伸縮倍，則圓錐面即變成橢圓錐面。（2） 橢球面把面上的橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)，所得的曲面方程為，該曲面稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)橢球面。再把旋轉(zhuǎn)橢球面沿軸方向伸縮便得橢球面。（3）雙曲面單葉雙曲面雙葉雙曲面把面上的雙曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，把此旋轉(zhuǎn)曲面沿軸方向伸縮倍，即得單葉雙曲面，類(lèi)似的方法可得雙葉雙曲面。（4）拋物面橢圓拋物面雙曲拋物面（馬鞍面）把面上的的拋物線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)，得旋轉(zhuǎn)拋物面，把此旋轉(zhuǎn)曲面沿軸方向伸縮，即得橢圓拋物面。我們用截痕法來(lái)討論雙曲拋物面的形狀。用平面截此曲面，得截痕為平面上的拋物線(xiàn)此拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為。當(dāng)變化時(shí)，的形狀不變，只是位