同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第一章第1節(jié)課件PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第一章第同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)第一章第1節(jié)課件節(jié)課件1.集合v集合 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體. 集合可用大寫的字母A, B, C, D 等標(biāo)識(shí).v元素 組成集合的事物稱為集合的元素. 集合的元素可用小寫的字母a, b, c, d 等標(biāo)識(shí). a是集合M的元素記為aM, 讀作a屬于M. a不是集合M的元素記為aM, 讀作a不屬于M.下頁(yè)第1頁(yè)/共48頁(yè)v集合的表示列舉法 把集合的全體元素一一列舉出來. 例如Aa, b, c, d, e, f, g. 描述法 若集合M是由元素具有某種性質(zhì)P的元素x的全體所組成, 則M可表示為 Mx | x具有性質(zhì)P . 例如M(x, y

2、)| x, y為實(shí)數(shù), x2y21. 下頁(yè)第2頁(yè)/共48頁(yè)v幾個(gè)數(shù)集 所有自然數(shù)構(gòu)成的集合記為N, 稱為自然數(shù)集. 所有實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合記為R, 稱為實(shí)數(shù)集. 所有整數(shù)構(gòu)成的集合記為Z, 稱為整數(shù)集. 所有有理數(shù)構(gòu)成的集合記為Q, 稱為有理集.v子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 則稱A是B的子集, 記為AB(讀作A包含于B). AB若xA, 則xB. 顯然, NZ, ZQ, QR.下頁(yè)第3頁(yè)/共48頁(yè) 設(shè)A、B是兩個(gè)集合, 則 ABx|xA或xB稱為A與B的并集(簡(jiǎn)稱并). ABx|xA且xB稱為A與B的交集(簡(jiǎn)稱交). ABx|xA且xB稱為A與B的差集(簡(jiǎn)稱差). ACIAx|xA為

3、稱A的余集或補(bǔ)集, 其中I為全集.提示: 如果研究某個(gè)問題限定在一個(gè)大的集合I中進(jìn)行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 則稱集合I為全集或基本集. 下頁(yè)第4頁(yè)/共48頁(yè)v集合運(yùn)算的法則 設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合, 則有 (1)交換律 ABBA, ABBA; (2)結(jié)合律 (AB)CA(BC), (AB)CA(BC); (3)分配律 (AB)C(AC)(BC), (AB)C(AC)(BC); (4)對(duì)偶律 (AB)CACBC, (AB)CACBC. (AB)CACBC的證明下頁(yè)所以(AB)CACBC. xACBC, xAC且xBCxABxA且xB x(AB)C第5頁(yè)/共48頁(yè)v直積(笛卡兒乘

4、積) 設(shè)A、B是任意兩個(gè)集合, 則有序?qū)?AB(x, y)|xA且yB稱為集合A與集合B的直積. 例如, RR(x, y)| xR且yR 即為xOy面上全體點(diǎn)的集合, RR常記作R2. 下頁(yè)第6頁(yè)/共48頁(yè) 數(shù)集x|axb稱為開區(qū)間,記為(a, b), 即 (a, b)x|axb. a, bx|axb閉區(qū)間. a, b)x|axb半開區(qū)間, (a, bx|axb半開區(qū)間.v有限區(qū)間 上述區(qū)間都是有限區(qū)間, 其中a和b稱為區(qū)間的端點(diǎn), b-a 稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.下頁(yè)3.區(qū)間和鄰域 第7頁(yè)/共48頁(yè) (-, b x|xb, (-, ) x| |x|. a, ) x|ax,v無限區(qū)間 (-, b)

5、 x|xb, (a, ) x|a0, 則稱 U(a, )(a-, a)x| |x-a|為點(diǎn)a的鄰域, 其中點(diǎn)a稱為鄰域的中心, 稱為鄰域的半徑.v去心鄰域U(a, )x|0|x-a|下頁(yè)第22頁(yè)/共48頁(yè)v單值函數(shù)與多值函數(shù) 在函數(shù)的定義中,對(duì)每個(gè)xD, 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y總是唯一的, 這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù). 如果給定一個(gè)對(duì)應(yīng)法則, 按這個(gè)法則, 對(duì)每個(gè)xD, 總有確定的y值與之對(duì)應(yīng), 但這個(gè)y不總是唯一的, 我們稱這種法則確定了一個(gè)多值函數(shù). 例如, 由方程x2y2r2確定的函數(shù)是一個(gè)多值函數(shù):下頁(yè) 此多值函數(shù)附加條件“y0”后可得到一個(gè)單值分支 221)(xrxyy-. 22xry-.

6、第23頁(yè)/共48頁(yè)下頁(yè) 表示函數(shù)的主要方法有三種: 表格法、圖形法、解析法(公式法). 用圖形法表示函數(shù)是基于函數(shù)圖形的概念, 坐標(biāo)平面上的點(diǎn)集 P(x, y)|yf(x), xD稱為函數(shù)yf(x), xD的圖形. v函數(shù)的表示法第24頁(yè)/共48頁(yè) 此函數(shù)稱為絕對(duì)值函數(shù), 其定義域?yàn)镈(-, +),其值域?yàn)镽f 0, + ).例 6. 函數(shù)-0 0 |xxxxxy. 例6 例5 函數(shù) y2. 這是一個(gè)常值函數(shù),其定義域?yàn)镈(-, ),其值域?yàn)镽f 2.下頁(yè)v函數(shù)舉例 第25頁(yè)/共48頁(yè) 此函數(shù)稱為符號(hào)函數(shù),其定義域?yàn)镈(-, +) ,其值域?yàn)镽f -1, 0, 1. 例8 函數(shù)yx. 例7 例

7、 7. 函數(shù)1 時(shí), y1x. 例如2212)21(f2 1 2) 1 (f f(3)134.2212)21(f 2 1 2) 1 (f v分段函數(shù) 在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同式子來表示的函數(shù)稱為分段函數(shù). 當(dāng) x1 時(shí), y1x. 下頁(yè)第27頁(yè)/共48頁(yè) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈, 數(shù)集XD. 如果存在數(shù)K1, 使對(duì)任一xX, 有f(x)K1, 則稱函數(shù)f(x)在X上有上界. (1)函數(shù)的有界性 如果存在數(shù)K2, 使對(duì)任一xX, 有f(x)K2, 則稱函數(shù)f(x)在X上有下界. 如果存在正數(shù)M, 使對(duì)任一xX, 有|f(x)|M, 則稱函數(shù)f(x)在X上有界; 如果這樣的M

8、不存在, 則稱函數(shù)f(x)在X上無界. 下頁(yè)第28頁(yè)/共48頁(yè) f(x)sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1. 函數(shù)xxf1)(在開區(qū)間(0, 1)內(nèi)是無上界的. Mxxf111)(, 所以函數(shù)無上界. 函數(shù)xxf1)(在(1, 2)內(nèi)是有界的. 這是因?yàn)? 對(duì)于任一 M1, 總有1x: 1101Mx, 使 下頁(yè)函數(shù)的有界性舉例 第29頁(yè)/共48頁(yè) 設(shè)函數(shù)yf(x)在區(qū)間I上有定義, x1及x2為區(qū)間I上任意兩點(diǎn), 且x1x2. 如果恒有f(x1)f(x2), 則稱f(x)在I上是單調(diào)減少的. 單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 下頁(yè)第30頁(yè)/共48頁(yè) 設(shè)函數(shù)f(x)的

9、定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 如果在D上有f(-x)f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果在D上有f(-x)-f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性奇偶函數(shù)舉例 yx2, ycos x都是偶函數(shù). yx3, ysin x 都是奇函數(shù).下頁(yè)第31頁(yè)/共48頁(yè)奇函數(shù)的圖形對(duì)稱于原點(diǎn)偶函數(shù)的圖形對(duì)稱于y軸奇偶函數(shù)的圖形特點(diǎn)下頁(yè) 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 如果在D上有f(-x)f(x), 則稱f(x)為偶函數(shù). 如果在D上有f(-x)-f(x), 則稱f(x)為奇函數(shù).(3)函數(shù)的奇偶性第32頁(yè)/共48頁(yè)(4)函數(shù)的周期性 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈. 如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l

10、,使得對(duì)于任一xD有(xl)D, 且f(x+l)f(x), 則稱f(x)為周期函數(shù), l稱為f(x)的周期.周期函數(shù)的圖形特點(diǎn)下頁(yè)第33頁(yè)/共48頁(yè)下頁(yè)3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) v反函數(shù) 設(shè)函數(shù) f : Df(D)是單射, 則它存在逆映射 f -1: f(D)D, 稱此映射f -1為函數(shù) f 的反函數(shù). 按習(xí)慣, yf(x), xD的反函數(shù)記成yf -1(x), xf(D). 例如, 函數(shù)yx3, xR是單射, 所以它的反函數(shù)存在, 其反函數(shù)為 31xy, xR. 31yx, yR. 函數(shù)yx3, xR的反函數(shù)是提問: 下列結(jié)論是否正確？第34頁(yè)/共48頁(yè)3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) v反函數(shù) 設(shè)函數(shù) f

11、 : Df(D)是單射, 則它存在逆映射 f -1: f(D)D, 稱此映射f -1為函數(shù) f 的反函數(shù). 按習(xí)慣, yf(x), xD的反函數(shù)記成yf -1(x), xf(D). 若 f 是定義在D上的單調(diào)函數(shù), 則 f : Df(D)是單射, 于是 f 的反函數(shù)f -1必定存在, 而且容易證明f -1也是f(D)上的單調(diào)函數(shù). 下頁(yè)第35頁(yè)/共48頁(yè) 相對(duì)于反函數(shù)yf -1(x)來說, 原來的函數(shù)yf(x)稱為直接函數(shù). 函數(shù)yf(x)和yf -1(x)的圖形關(guān)于直線 yx 是對(duì)稱的. 3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) v反函數(shù) 設(shè)函數(shù) f : Df(D)是單射, 則它存在逆映射 f -1: f(D)

12、D, 稱此映射f -1為函數(shù) f 的反函數(shù). 按習(xí)慣, yf(x), xD的反函數(shù)記成yf -1(x), xf(D). 下頁(yè)第36頁(yè)/共48頁(yè)3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 設(shè)函數(shù)yf(u)的定義域?yàn)镈1, 函數(shù)ug(x)在D上有定義且g(D)D1, 則由 yfg(x), xD確定的函數(shù)稱為由函數(shù)ug(x)和函數(shù)yf(u)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù), 它的定義域?yàn)镈, 變量u稱為中間變量. v復(fù)合函數(shù) 函數(shù) g與函數(shù) f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為f o g, 即 (f o g)(x)fg(x). 說明: g與f 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)f o g的條件是: 是函數(shù)g在D上的值域g(D)必須含在f 的定義域Df 內(nèi), 即g(D)

13、Df . 否則, 不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù). 例如下頁(yè)第37頁(yè)/共48頁(yè) 設(shè)函數(shù)f(x), g(x)的定義域依次為D1, D2, DD1D2, 則可以定義這兩個(gè)函數(shù)的下列運(yùn)算: 和(差) f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 積 f g : (f g)(x)f(x)g(x), xD; 商gf: )()()(xgxfxgf, xDx|g(x)0. 下頁(yè)第38頁(yè)/共48頁(yè) 例10 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-l, l), 證明必存在(-l, l)上的偶函數(shù)g(x)及奇函數(shù)h(x), 使得f(x)g(x)h(x). 提示: 如果f(x)g(x)h(x), 則f(-x)g(x)-h(x),

14、于是)()(21)(xfxfxg-, )()(21)(xfxfxh-. 證 作)()(21)(xfxfxg-, )()(21)(xfxfxh-, 證 則 f(x)g(x)h(x), 且)()()(21)(xgxfxfxg-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-)()()(21)(xgxfxfxg-)()()(21)(xgxfxfxg-, )()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-)()()(21)()(21)(xhxfxfxfxfxh-. 下頁(yè)第39頁(yè)/共48頁(yè)v基本初等函數(shù) 冪函數(shù): yx (R是常

15、數(shù)); 指數(shù)函數(shù): ya x(a0且a1); 對(duì)數(shù)函數(shù): yloga x (a0且a1), 特別當(dāng)ae時(shí), 記為yln x; 三角函數(shù): ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x; 5.初等函數(shù) 下頁(yè) 反三角函數(shù): yarcsin x, yarccos x, yarctan x, yarccot x . 第40頁(yè)/共48頁(yè)5.初等函數(shù) v初等函數(shù) 由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù), 稱為初等函數(shù). 都是初等函數(shù). 例如, 函數(shù)21 xy-, xy2sin, 2cotxy 下頁(yè)第41頁(yè)

16、/共48頁(yè)非初等函數(shù)舉例非初等函數(shù)舉例:符號(hào)函數(shù)xysgn取整函數(shù)xy 第42頁(yè)/共48頁(yè)雙曲函數(shù) 應(yīng)用上常遇到的雙曲函數(shù)是: 雙曲正弦:2sh xxeex-雙曲余弦:2ch xxeex-雙曲正切:xxxxeeeexxx-chshth 下頁(yè)v雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 第43頁(yè)/共48頁(yè)v雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù)的性質(zhì)比較 sin(xy)sin x cos ycos x sin y. sh(xy)sh x ch ych x sh y, ch2 x- sh2 x1, ch(xy)ch x ch ysh x sh y, sh 2x2sh x ch x, ch 2xch2x+sh2x. 比較 cos(xy)cos x cos y sin x sin y. 下頁(yè)第44頁(yè)/共48頁(yè)v雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) 反雙曲函數(shù) 雙曲函數(shù) ysh x, ych x, yth x的反函數(shù)依次記為 反雙曲正弦: y=arsh x, 反雙曲余弦: y=arch x, 反雙曲正切: y=arth x.可以證明 )1ln(arsh 2xxxy, )1ln(arch 2-xxxy, xxxy-11ln21arth . 結(jié)束第45頁(yè)/共48