修正混合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性

1、開題報(bào)告數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)修正混合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性一、綜述本課題的研究動態(tài)，說明選題的依據(jù)和意義非線性算子方程屬于非線性泛函分析的范疇，是泛函分析的理論和應(yīng)用的一個重要組成部分，它的理論和方法不僅是線性最優(yōu)化的一個重要部分，而且在微分方程，積分方程，力學(xué)，控制論，對策論，經(jīng)濟(jì)平衡理論，交通運(yùn)輸，社會和經(jīng)濟(jì)模型等許多方面都有著重要的應(yīng)用.因此，研究非線性算子方程解的存在性及迭代算法理論不僅具有重要的理論意義，而且也具有重要的應(yīng)用價值.而非線性算子方程的解往往可以轉(zhuǎn)化為某個非線性算子的不動點(diǎn)問題.自20世紀(jì)初著名的Banach壓縮映像原理1和Brouwer不動點(diǎn)定理2問世以來，特別是最

2、近二三十年來，由于實(shí)際需要的推動和數(shù)學(xué)工作者的不斷努力，這門學(xué)科的理論及應(yīng)用的研究已取得重要的進(jìn)展,并且日趨完善.非線性算子的不動點(diǎn)理論在建立各類方程解的存在唯一性問題中起著重要的作用.1895-1900年間，法國數(shù)學(xué)家H.Poincare在代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中使用了不動點(diǎn)概念.1910年,L.E.J.Brouwer2證明了有限維空間中多面體上的連續(xù)映射至少有一個不動點(diǎn).1922年,G.D.Birkhoff.Ke110gg作出了一些改進(jìn)和應(yīng)用，而波蘭數(shù)學(xué)家Banach1更一般地處理了這個問題，并提出了著名的Banach壓縮映像原理.非擴(kuò)張映像是壓縮映像的一種推廣，在求解方程的不動點(diǎn)的問題上起到很重要的

3、作用，它在近代數(shù)學(xué)許多分支都有應(yīng)用，特別是在非線性半群，遍歷定理和單調(diào)算子理論方面有著重要的應(yīng)用.隨著非擴(kuò)張映像不動點(diǎn)理論的發(fā)展，學(xué)者們得出了關(guān)于非擴(kuò)張映像的一系列結(jié)論.其中非線性映像的不動點(diǎn)的尋求是學(xué)者們一直所關(guān)心的問題，而對于一些具體的非線性算子方程不動點(diǎn)的求解是十分困難的.因此，數(shù)學(xué)家們通過構(gòu)造迭代序列去逼近不動點(diǎn)來求解這些方程，其中Picard給出了最早的迭代序列，其具體格式為1/110C,xn1Txn,n0.但是Banach壓縮原理證明中所用的Picard迭代方法對于非擴(kuò)張映像卻未必是收斂的，之后Mann3受到Banach壓縮映像原理的啟發(fā)，在1953年提出了如下的迭代序列稱之為Ma

4、nn迭代序列.1976年，Ishikawa4x0C,xn11tnxntnTx2/11n,n0.推廣了Mann迭代格式彳導(dǎo)到了如下的Ishikawa迭代序列x0C,xn11tnxntnTyn,n0,yn1snxnsnTxn,n0.3/11相比于Mann迭代序列，Ishikawa迭代序列更為一般化且包含了Mann迭代序列（當(dāng)上述的sn取為零時，Ishikawa迭代序列就轉(zhuǎn)化成了Mann迭代序列）.在一般情況下，無論是Mann迭代序列還是Ishikawa迭代序列對非擴(kuò)張映像和漸近非擴(kuò)張映像只有弱收斂.Mann迭代序列對于非擴(kuò)張映像即使在Hilbert空間框架下也沒有強(qiáng)收斂定理，但是用Halpern擴(kuò)

5、張映像不動點(diǎn)是一個有效的算法，可以得到強(qiáng)收斂定理.1967年，Halpern首次引進(jìn)了如下迭代格式（1.1）Halpern指出如果迭代序列（1.1）收斂于T中的不動點(diǎn).則n滿足以下兩個條件5迭代序列逼近非x0C,xn1nu1nTxn.lim4/11n0,n1n.6同時，關(guān)于迭代參數(shù)限制的放寬和算法的改進(jìn)研究一直是該領(lǐng)域的重要課題.秦下龍等人引入復(fù)合Halpern迭代程序得到了非擴(kuò)張映像的強(qiáng)收斂定理不僅具有重要白理論意義，而且也具有重要的應(yīng)用價值.其中復(fù)合Halpern迭代格式如下znnxn1nTxn,ynnxn15/11Tzn,xu1y-nnnn1(1-2)其中，u是C中任一給定的一個點(diǎn)n,n

6、和n是0,1中的實(shí)序列.在參數(shù)n,n0,6/11n1,那么我們就得到通常的Halpern迭代格式(1.1).當(dāng)n1,則(1.2)迭代格式變成了兩步Halpern迭代序列.2000年,Moudafi7引入粘滯迭代方法逼近給定非擴(kuò)張映像的不動點(diǎn)，不僅利用這種方法研究非線性算子方程的不動點(diǎn)，而且用來研究變分不等式解的問題.具體的迭代格式如下x0C,xn1nfxn1nTxn,n0.其中E是一致光滑的Banach空間,C是E的閉凸子集，映像T:CC是具有非空不動點(diǎn)集的非擴(kuò)張映像,fC是一收縮.2004年,Xu7/11斂定理.2010年,楊柳,王元恒提出了在一致光滑Banach空間中提出了非擴(kuò)張映像的粘滯

7、迭代序列8n0,1.改進(jìn)了Moudafi的結(jié)果，在一致光滑的Banach空間中給出了粘滯迭代的強(qiáng)收znnxn1nTxn,n0ynnxn18/11Tzn,n0xf(x)1y.n0nnnnn1(1.3)證明了當(dāng)n,n,n滿足一定條件時，(1.3)中的序列xn強(qiáng)收斂到T的不動點(diǎn).顯然，在(1.3)中令9/11n1就變成了兩步修正迭代序列，令fxnu就變成了三步復(fù)合Halpern迭代序列.本文將主要通過構(gòu)造一致光滑的Banach空間中非擴(kuò)張映像的一步Halpern迭代序列和兩步Halpern迭代序列，以及一致光滑的Banach空間中非擴(kuò)張映像的一步粘滯迭代序列和兩步粘滯迭代序列來研究非擴(kuò)張映像的修正混

8、合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性.二、研究的基本內(nèi)容，擬解決的主要問題研究的基本內(nèi)容：修正混合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性.解決的主要問題：1.構(gòu)造一致光滑的Banach空間中非擴(kuò)張映像的一步Halpern迭代序歹！J,兩步Halpern迭代序列來研究修正混合Halpern迭代序列的強(qiáng)收斂性.2.構(gòu)造一致光滑的Banach空間中一步粘滯迭代序列和兩步粘滯迭代序列來研究修正混合粘滯迭代序列的強(qiáng)收斂性.三、研究步驟，方法及措施研究步驟：1.查閱相關(guān)資料，做好筆記；2 .仔細(xì)閱讀研究文獻(xiàn)資料，整理文獻(xiàn)撰寫開題報(bào)告；3 .翻譯英文資料，修改英文翻譯，撰寫文獻(xiàn)綜述；4 .在老師指導(dǎo)下，確定整個論文

9、的思路，列出論文提綱；5 .撰寫畢業(yè)論文；6 .上交論文初稿；7 .反復(fù)修改論文；10/118 .論文定稿.方法與措施：通過到圖書館，上網(wǎng)等查閱收集資料，參考相關(guān)內(nèi)容.在老師指導(dǎo)下，歸納整理各類問題.四、參考文獻(xiàn)1S.Banach.SurlesoperationsdanslesensemblesabstraitsetleurapplicationausequationsintegrelesJ.Fund.Math.,1922,3:133181.2L.E.J.Brouwer,UberAbbildungvonManigfaltigkeitenJ.Math.Ann.,1912,71:97114.3B.

10、Halpern.FixedpointsofnonexpansivemapsJ.Bull.Amer.Math.Soc.(N.S.).,1967,73:957961.4A.Moudafi.ViscosityapproximationmethodsforfixedpointproblemsJ.J.Math.Anal.Appl.,2000,241:4655.5W.R.Mann.MeanvaluemethodsiniterationJ.Proc.Amer.Math.Soc.,1953,4:506510.6X.L.Qin,Y.F.Su,M.J.Shang.StrongconvergenceofthecompositeHalperniterationJ.J.Math.Anal.Appl.,2008,339:9961002.7S.Ishikawa.Fixedpo