固定收益證券的估值定價(jià)與計(jì)算ppt課件

1、第第 一節(jié)一節(jié) 模型及基態(tài)性質(zhì)模型及基態(tài)性質(zhì)v一、模型一、模型v二、單電子本征態(tài)和本征能量二、單電子本征態(tài)和本征能量v三、基態(tài)和基態(tài)的能量三、基態(tài)和基態(tài)的能量本節(jié)主要內(nèi)容：本節(jié)主要內(nèi)容： 自由電子氣自由電子氣( (自由電子費(fèi)米氣體自由電子費(fèi)米氣體) )：自由的、：自由的、無相互作用的無相互作用的 、遵從泡利原理的電子氣。、遵從泡利原理的電子氣。 一、索末菲模型1.1 1.1 模型及基態(tài)性質(zhì)模型及基態(tài)性質(zhì)1 1忽略金屬中電子和離子實(shí)之間的相互作用忽略金屬中電子和離子實(shí)之間的相互作用 自由電子假設(shè)自由電子假設(shè) (free electron (free electron approximation)

2、approximation)2 2 忽略金屬中電子和電子之間的相互作用忽略金屬中電子和電子之間的相互作用 獨(dú)立電子假設(shè)獨(dú)立電子假設(shè) (independent electron (independent electron approximation)approximation) 3 3 價(jià)電子速度服從費(fèi)米價(jià)電子速度服從費(fèi)米狄拉克分布狄拉克分布自由電自由電 子費(fèi)米氣體子費(fèi)米氣體 （free electron Fermi gas)free electron Fermi gas) 4 4 不考慮電子和金屬離子之間的碰撞不考慮電子和金屬離子之間的碰撞 (No collision) (No collisi

3、on) 由索末菲的假定由索末菲的假定, ,金屬晶體盡管是復(fù)雜的金屬晶體盡管是復(fù)雜的多體系統(tǒng)多體系統(tǒng), ,但是對(duì)于其中的價(jià)電子來說但是對(duì)于其中的價(jià)電子來說, ,每一個(gè)每一個(gè)價(jià)電子都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的波函數(shù)價(jià)電子都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的波函數(shù), ,該波函數(shù)可由該波函數(shù)可由量子力學(xué)中單電子的定態(tài)薛定諤方程得到量子力學(xué)中單電子的定態(tài)薛定諤方程得到. .下下面我們首先利用量子力學(xué)原理討論溫度為零時(shí)面我們首先利用量子力學(xué)原理討論溫度為零時(shí)單電子的本征態(tài)和本征能量單電子的本征態(tài)和本征能量, ,并由此討論電子并由此討論電子氣的基態(tài)和基態(tài)能量氣的基態(tài)和基態(tài)能量. . 二、單電子本征態(tài)和本征能量二、單電子本征態(tài)和本征能量建立單電

4、子的運(yùn)動(dòng)方程建立單電子的運(yùn)動(dòng)方程-薛定諤方程薛定諤方程處理該問題的思路：處理該問題的思路：選擇一個(gè)研究對(duì)象選擇一個(gè)研究對(duì)象 - - 簡(jiǎn)單金屬固體簡(jiǎn)單金屬固體利用索末菲模型利用索末菲模型 - - 單電子問題單電子問題求解薛定諤方程求解薛定諤方程-本征態(tài)和本征能量本征態(tài)和本征能量 由自由電子氣體模型，由自由電子氣體模型， N 個(gè)原子和個(gè)原子和N 個(gè)電子個(gè)電子的多體問題轉(zhuǎn)化為單電子問題。的多體問題轉(zhuǎn)化為單電子問題。 自由電子數(shù)目為：自由電子數(shù)目為：N 為計(jì)算方便為計(jì)算方便,設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為設(shè)金屬是邊長(zhǎng)為 L 的立方體，的立方體，內(nèi)有內(nèi)有N個(gè)原子，一個(gè)原子提供個(gè)原子，一個(gè)原子提供1個(gè)價(jià)電子。個(gè)價(jià)電子。

5、則金屬的體積則金屬的體積: V=L3 按照量子力學(xué)假設(shè)，單電子的狀態(tài)用波函按照量子力學(xué)假設(shè)，單電子的狀態(tài)用波函數(shù)數(shù) 描畫描畫, ,且滿足薛定諤方程。且滿足薛定諤方程。( )r 其中：其中：V(r)為電子在金屬中的勢(shì)能，為電子在金屬中的勢(shì)能，為電為電子的本征能量子的本征能量 對(duì)邊長(zhǎng)為對(duì)邊長(zhǎng)為L(zhǎng) 的立方體，在自由電子氣體模型下的立方體，在自由電子氣體模型下可設(shè)勢(shì)阱的深度是無限的。取坐標(biāo)軸沿著立方可設(shè)勢(shì)阱的深度是無限的。取坐標(biāo)軸沿著立方體的三個(gè)邊，則粒子勢(shì)能可表示為：體的三個(gè)邊，則粒子勢(shì)能可表示為：1.1.薛定諤方程及其解薛定諤方程及其解LzyxzyxV ,0; 0),(LzyxzyxzyxV ,

6、0,),(以及以及22( )( )( )2V rrrm 在自由電子模型下，由于忽略了電子和離在自由電子模型下，由于忽略了電子和離子實(shí)、電子和電子之間的相互作用，所以金屬子實(shí)、電子和電子之間的相互作用，所以金屬內(nèi)部的相互作用勢(shì)能可取為零。內(nèi)部的相互作用勢(shì)能可取為零。因而薛定諤方程變?yōu)椋阂蚨Χㄖ@方程變?yōu)椋?2( )( )2rrm - - 電子的本征能量電子的本征能量 -電子的波函數(shù)電子的波函數(shù)(是電子位矢是電子位矢 的函數(shù)的函數(shù))r C 為歸一化常數(shù)為歸一化常數(shù)由正交歸一化條件：由正交歸一化條件： 這和電子在自由空間運(yùn)動(dòng)的方程一樣，方這和電子在自由空間運(yùn)動(dòng)的方程一樣，方程有平面波解：程有平面波解

7、：22()()2rrm( )ik rkrCe2( )1kVrdr31,CVVL 所以，波函數(shù)可寫為：所以，波函數(shù)可寫為：1( )ik rkreV 為波矢，其方向?yàn)槠矫娌ǖ膫鞑シ较驗(yàn)椴ㄊ?，其方向?yàn)槠矫娌ǖ膫鞑シ较騥 的大小與電子的德布羅意波長(zhǎng)的關(guān)系為：的大小與電子的德布羅意波長(zhǎng)的關(guān)系為：k2k把波函數(shù)把波函數(shù)1( )ik rkreV得到電子的本征能量：得到電子的本征能量：2. 2. 電子的動(dòng)量電子的動(dòng)量代入薛定諤方程代入薛定諤方程222km)(22222zyxkkkm 將動(dòng)量算符將動(dòng)量算符作用于電子的波函數(shù)得：作用于電子的波函數(shù)得： pi 所以所以 也是動(dòng)量算符的本征態(tài)也是動(dòng)量算符的本征態(tài) 3.

8、 3. 電子的速度電子的速度1)( )()(ik rkkierVirkr 確定的動(dòng)量確定的動(dòng)量 電子處在電子處在1( )ik rkreV態(tài)時(shí)，電子有態(tài)時(shí)，電子有pkpkvmm相應(yīng)的能量相應(yīng)的能量:22222212122kkmmvmm 邊界條件的選取，既要考慮電子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)邊界條件的選取，既要考慮電子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情況表面和內(nèi)部）；又要考慮數(shù)學(xué)上可解。情況表面和內(nèi)部）；又要考慮數(shù)學(xué)上可解。4. 4. 波矢波矢 的取值的取值k波矢波矢 的取值應(yīng)由邊界條件來確定的取值應(yīng)由邊界條件來確定k 即電子的能量和動(dòng)量都有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，但是即電子的能量和動(dòng)量都有經(jīng)典對(duì)應(yīng)，但是, ,經(jīng)典中的平面波矢經(jīng)典中的平面波矢 可取

9、任意實(shí)數(shù)，對(duì)于電子可取任意實(shí)數(shù)，對(duì)于電子來說，波矢來說，波矢 應(yīng)取什么值呢？應(yīng)取什么值呢？kk常用邊界條件常用邊界條件 人們廣泛使用的是周期性邊界條件人們廣泛使用的是周期性邊界條件periodic boundary condition),又稱為波恩又稱為波恩-卡門卡門Born-von Karman)邊條件邊條件周期性邊界條件周期性邊界條件駐波邊界條件駐波邊界條件, , , , , ,x y zxy zx yLzx yzx y zx y zLL亦即：顯然，對(duì)于一維顯然，對(duì)于一維()( )xLx 一維情形下，相當(dāng)于首尾相接成環(huán)，從而一維情形下，相當(dāng)于首尾相接成環(huán)，從而既有有限尺寸，又消除了邊界的存

10、在。既有有限尺寸，又消除了邊界的存在。 三維情形，可想象成三維情形，可想象成L3的立方體在三個(gè)方的立方體在三個(gè)方向平移，填滿了整個(gè)空間，從而當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)向平移，填滿了整個(gè)空間，從而當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來，而是進(jìn)入相對(duì)表動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來，而是進(jìn)入相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)波函數(shù)為行波，表示當(dāng)一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)到表面時(shí)并不被反射回來，而是離開金屬，同時(shí)必有一并不被反射回來，而是離開金屬，同時(shí)必有一個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來。個(gè)同態(tài)電子從相對(duì)表面的對(duì)應(yīng)點(diǎn)進(jìn)入金屬中來。 周期性邊條件恰好滿足上述行波的特點(diǎn)，周期性邊條件恰好滿足上

11、述行波的特點(diǎn)，表明了選取該邊條件的合理性表明了選取該邊條件的合理性 將周期性邊界條件代入電子的波函數(shù)得：將周期性邊界條件代入電子的波函數(shù)得：, , , , , ,x Lyzxyzxy Lzxyzxyz Lxyz 111LikLikLikZYxeee2;2;2;xxyyzznkLnkLnkL1( )ik rkreVWhere the quantity nx, ny, nz are any integer222km)(22222zyxkkkm 以波矢以波矢 的三個(gè)分量的三個(gè)分量 為坐標(biāo)軸為坐標(biāo)軸的空間稱為波矢空間或的空間稱為波矢空間或 空間?？臻g。kk,xyzk kk5. 波矢空間波矢空間( -s

12、pace)和和 空間的態(tài)密度空間的態(tài)密度kk 所以，周期性邊條件的選取，導(dǎo)致了波矢所以，周期性邊條件的選取，導(dǎo)致了波矢 取值的量子化，從而，單電子的本征能量也取取值的量子化，從而，單電子的本征能量也取分立值，形成能級(jí)。分立值，形成能級(jí)。k nx, ny, nz 取值為整數(shù)，意味著波矢取值為整數(shù)，意味著波矢 取值是取值是量子化的。量子化的。k金屬中自由電子波矢：金屬中自由電子波矢：nx, ny, nz 取值為任意整數(shù)取值為任意整數(shù) 由于波矢由于波矢 取值是量子化的，它是描述金屬取值是量子化的，它是描述金屬中單電子態(tài)的適當(dāng)量子數(shù)，所以，在中單電子態(tài)的適當(dāng)量子數(shù)，所以，在 空間中空間中許可的許可的

13、值是用分立的點(diǎn)來表示的。每個(gè)點(diǎn)表值是用分立的點(diǎn)來表示的。每個(gè)點(diǎn)表示一個(gè)允許的單電子態(tài)。示一個(gè)允許的單電子態(tài)。kkk 所以，代表點(diǎn)單電子態(tài)在所以，代表點(diǎn)單電子態(tài)在 空間是均空間是均勻分布的。勻分布的。kLnk,Lnk,Lnkzzyyxx222 由波矢的取值特點(diǎn)，可以看出：由波矢的取值特點(diǎn)，可以看出：1) 1) 在波矢空間每個(gè)在波矢空間每個(gè)( (波矢波矢) )狀態(tài)代表點(diǎn)占有的狀態(tài)代表點(diǎn)占有的 體積為：體積為：(2) (2) 波矢空間狀態(tài)密度波矢空間狀態(tài)密度( (單位體積中的狀態(tài)代單位體積中的狀態(tài)代 表點(diǎn)數(shù)表點(diǎn)數(shù)):):3322(22(2 )xyzkkkLLLVLk 333312(2 )()18kL

14、VkL三、基態(tài)和基態(tài)能量三、基態(tài)和基態(tài)能量 前面得到了索末菲模型下單電子的本征態(tài)前面得到了索末菲模型下單電子的本征態(tài)和本征能量，那么，如何得到系統(tǒng)的基態(tài)和和本征能量，那么，如何得到系統(tǒng)的基態(tài)和基態(tài)能量呢？基態(tài)能量呢？1.N 1.N 個(gè)電子的基態(tài)、費(fèi)米球、費(fèi)米面?zhèn)€電子的基態(tài)、費(fèi)米球、費(fèi)米面電子的分布滿足：能量最小原理電子的分布滿足：能量最小原理 和和 泡利不泡利不相容原理相容原理我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：381kVk 考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反考慮到每個(gè)波矢狀態(tài)代表點(diǎn)可容納自旋相反的兩個(gè)電子，的兩個(gè)電子，則單位相體積可容納的電子數(shù)為：則單位相體積可容納的

15、電子數(shù)為： 我們已知自由電子費(fèi)米氣體的單電子能級(jí)的我們已知自由電子費(fèi)米氣體的單電子能級(jí)的能量能量(本征能）本征能）332284kVV N電子的基態(tài)電子的基態(tài)(T=0K)，可從能量最低的，可從能量最低的 =0 態(tài)開始，從低到高，依次填充而得到態(tài)開始，從低到高，依次填充而得到,每個(gè)每個(gè) 態(tài)態(tài)兩個(gè)電子。兩個(gè)電子。kk在在 空間中，具有相同能量的代表點(diǎn)所構(gòu)成的空間中，具有相同能量的代表點(diǎn)所構(gòu)成的面稱為等能面，顯然，由上式可知，等能面為面稱為等能面，顯然，由上式可知，等能面為球面。球面。( ( 一定）一定）k222222( )()22xyzkkkkkmm22222xyzmkkk由于由于N很大，在很大，在

16、 空間中，空間中，N個(gè)電子的占據(jù)區(qū)個(gè)電子的占據(jù)區(qū)最后形成一個(gè)球，即所謂的費(fèi)米球最后形成一個(gè)球，即所謂的費(fèi)米球Fermi sphere)。k費(fèi)米球相對(duì)應(yīng)的半徑稱為費(fèi)米波矢費(fèi)米球相對(duì)應(yīng)的半徑稱為費(fèi)米波矢Fermi wave vector).用用 kF 來表示。來表示。 在在k空間中，把空間中，把N個(gè)電子的占據(jù)區(qū)和非占據(jù)區(qū)個(gè)電子的占據(jù)區(qū)和非占據(jù)區(qū)分開的界面叫做費(fèi)米面分開的界面叫做費(fèi)米面(Feimi surface) 基態(tài)時(shí)基態(tài)時(shí)(T=0k)(T=0k)，電子填充的最高能級(jí)，電子填充的最高能級(jí), ,稱為費(fèi)稱為費(fèi)米能級(jí)米能級(jí) F F基態(tài)時(shí)基態(tài)時(shí)(T=0k)(T=0k)，N N個(gè)電子填滿整個(gè)費(fèi)米球，所個(gè)電

17、子填滿整個(gè)費(fèi)米球，所以：以：334238FkNV所以，費(fèi)米波矢所以，費(fèi)米波矢 kF 為為:n為電子密度為電子密度 從而，相關(guān)的電子的費(fèi)米能量從而，相關(guān)的電子的費(fèi)米能量F 、費(fèi)米動(dòng)量、費(fèi)米動(dòng)量 pF、費(fèi)米速度、費(fèi)米速度 F、費(fèi)密溫度、費(fèi)密溫度TF等都可以表示等都可以表示為電子密度為電子密度n的函數(shù)的函數(shù),這也就是前面我們所提到這也就是前面我們所提到的自由電子氣體模型可用電子密度的自由電子氣體模型可用電子密度n來描述，來描述，而且，而且，n是僅有的一個(gè)獨(dú)立參量的原因。是僅有的一個(gè)獨(dú)立參量的原因。334238FkNV32233FNknV 對(duì)于給定的金屬對(duì)于給定的金屬,價(jià)電子密度是已知的價(jià)電子密度是已

18、知的.由此由此,我我們可以求得具體的費(fèi)米波矢、費(fèi)米能量、費(fèi)米們可以求得具體的費(fèi)米波矢、費(fèi)米能量、費(fèi)米速度、費(fèi)米溫度等速度、費(fèi)米溫度等.計(jì)算結(jié)果顯示費(fèi)米波矢一般計(jì)算結(jié)果顯示費(fèi)米波矢一般在在108cm-1量級(jí)量級(jí),費(fèi)米能量為費(fèi)米能量為1.515 eV、費(fèi)米、費(fèi)米速度在速度在108 cm/s量級(jí)、費(fèi)米溫度在量級(jí)、費(fèi)米溫度在105 K量級(jí)量級(jí).222223(3);22FFknmm;FFFFFFBkpkvTmk由此，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能量為：由此，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能量為：22022FkkkVEuVm 考慮到電子數(shù)密度很大考慮到電子數(shù)密度很大, ,因而上述求和可過渡到因而上述求和可過渡到

19、積分積分. .3(2 )kV 31(2 )kV2. 2. 基態(tài)能量基態(tài)能量 自由電子氣體的基態(tài)能量自由電子氣體的基態(tài)能量E E，可由費(fèi)密球內(nèi)，可由費(fèi)密球內(nèi)所有單電子能級(jí)的能量相加得到。所有單電子能級(jí)的能量相加得到。2222FkkkEm因子因子2 2源于泡利原理源于泡利原理變?yōu)榉e分得：變?yōu)榉e分得：2223250221018FFkkkkEmdukVm24dkk dk代入代入將將31(2 )kV22022Fk kkVEuVm得：得：2032228FkkkEukVm所以，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能為：所以，單位體積自由電子氣體的基態(tài)能為：考慮到：考慮到：得到：得到：2250101FkEumV3223

20、3FNknV2202FFkm 和和2500210135FFkEunmV 由此可得每個(gè)電子的平均能量為：由此可得每個(gè)電子的平均能量為：2500210135FFkEunmV035FnVNEE 上述求解是在上述求解是在 空間進(jìn)行的，涉及到矢量積空間進(jìn)行的，涉及到矢量積分，在一些實(shí)際問題中，比較麻煩，為此，分，在一些實(shí)際問題中，比較麻煩，為此，人們常把對(duì)人們常把對(duì) 的積分化為對(duì)能量的積分，從的積分化為對(duì)能量的積分，從而引入能態(tài)密度。而引入能態(tài)密度。kk3.3.能態(tài)密度能態(tài)密度(1)(1)定義定義: : 若在能量若在能量EE+dE 范圍內(nèi)存在范圍內(nèi)存在 N個(gè)單電子個(gè)單電子態(tài)，則能態(tài)密度態(tài)，則能態(tài)密度N(

21、E)定義為：定義為： 0()limENdNN EEdE 能量能量E附近單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單附近單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單電子態(tài)數(shù)，稱為能態(tài)密度電子態(tài)數(shù)，稱為能態(tài)密度 教材中引入的是單位體積的能態(tài)密度，即單教材中引入的是單位體積的能態(tài)密度，即單位體積樣品中，單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的位體積樣品中，單位能量間隔內(nèi)，包含自旋的單電子態(tài)數(shù)，用單電子態(tài)數(shù)，用g()表示。表示。 顯然，能量顯然，能量 +d +d 范圍內(nèi)存在的范圍內(nèi)存在的單電子態(tài)數(shù)為：?jiǎn)坞娮討B(tài)數(shù)為： 對(duì)于費(fèi)米球內(nèi)的自由電子來說，在對(duì)于費(fèi)米球內(nèi)的自由電子來說，在k k空間中空間中 +d +d 的等能面球殼，分別對(duì)應(yīng)的等能面球殼，分別

22、對(duì)應(yīng)k k k+d k. k+d k.( )dNVgd 下面計(jì)算自由電子氣體模型下單位體積的下面計(jì)算自由電子氣體模型下單位體積的能態(tài)密度。能態(tài)密度。思緒：利用在思緒：利用在k k空間中波矢密度公式，考慮泡空間中波矢密度公式，考慮泡利原理，求得能量間隔在利原理，求得能量間隔在d d 內(nèi)的單電子態(tài)內(nèi)的單電子態(tài)數(shù)目數(shù)目dN dN 即可。即可。k空間中，空間中，k k+d k對(duì)應(yīng)的體積：對(duì)應(yīng)的體積：24dkk dk我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：我們已知在波矢空間狀態(tài)密度：381kVk所以，能量間隔在所以，能量間隔在d d 內(nèi)的單電子態(tài)數(shù)目?jī)?nèi)的單電子態(tài)數(shù)目dN dN 為：為： 由自由電子的本征能量公式：由

23、自由電子的本征能量公式：23248NkddVk1221;(2)dkkmdmk222km 所以：所以：又：又：所以，單位體積的能態(tài)密度：所以，單位體積的能態(tài)密度：1132223(2)mddNV(d)dVgN23211321( )(2)gm12( )gC132231(2)Cm與電子本征能量與電子本征能量 的平方根成正的平方根成正比比. 能態(tài)密度與系統(tǒng)的維度有關(guān)，上述結(jié)果僅能態(tài)密度與系統(tǒng)的維度有關(guān)，上述結(jié)果僅是三維自由電子氣的結(jié)果，如果是一維自由電是三維自由電子氣的結(jié)果，如果是一維自由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)閮蓚€(gè)等能點(diǎn)；二維自子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)閮蓚€(gè)等能點(diǎn)；二維自由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)榈饶芫€，

24、相應(yīng)的由電子氣系統(tǒng)，則等能面變?yōu)榈饶芫€，相應(yīng)的能態(tài)密度為能態(tài)密度為: :一維自由電子的能態(tài)密度：一維自由電子的能態(tài)密度：( )1/g( )gC與電子本征能量與電子本征能量 的平方的平方根成反比根成反比.二維自由電子的能態(tài)密度：二維自由電子的能態(tài)密度： 從統(tǒng)計(jì)物理的角度出發(fā)從統(tǒng)計(jì)物理的角度出發(fā), ,低能激發(fā)態(tài)被熱運(yùn)動(dòng)低能激發(fā)態(tài)被熱運(yùn)動(dòng)激發(fā)的概率比高能激發(fā)態(tài)大得多激發(fā)的概率比高能激發(fā)態(tài)大得多. .如果低能激發(fā)如果低能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度大態(tài)的能態(tài)密度大, ,體系的熱漲落就強(qiáng)體系的熱漲落就強(qiáng), ,相應(yīng)的有相應(yīng)的有序度降低或消失序度降低或消失, ,不易出現(xiàn)有序相不易出現(xiàn)有序相. .也就是說也就是說, ,低

25、低能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度的大小影響著體系的有序能激發(fā)態(tài)的能態(tài)密度的大小影響著體系的有序度和相變度和相變. . 三維自由電子體系三維自由電子體系, ,在低能態(tài)的能態(tài)在低能態(tài)的能態(tài)密度趨于零密度趨于零, ,因而低溫下所引起的熱漲落極小因而低溫下所引起的熱漲落極小, ,體系可具有長(zhǎng)程序體系可具有長(zhǎng)程序; ;對(duì)一維自由電子體系來說，對(duì)一維自由電子體系來說，在低能態(tài)的能態(tài)密度很大在低能態(tài)的能態(tài)密度很大, ,而且隨能量的降低而而且隨能量的降低而趨于無窮趨于無窮, ,因而低溫下所引起的熱漲落極大，導(dǎo)因而低溫下所引起的熱漲落極大，導(dǎo)致一維體系不具長(zhǎng)程序致一維體系不具長(zhǎng)程序. . 利用單位體積的能態(tài)密度，同樣可求得

26、自利用單位體積的能態(tài)密度，同樣可求得自由電子氣在基態(tài)時(shí)的總能量由電子氣在基態(tài)時(shí)的總能量E(E(費(fèi)米球內(nèi)所有單費(fèi)米球內(nèi)所有單電子能級(jí)和和基態(tài)時(shí)每個(gè)電子的平均能量。電子能級(jí)和和基態(tài)時(shí)每個(gè)電子的平均能量?；鶓B(tài)能量：基態(tài)能量：00( )FgVEd05020122()5FFCCVdV25210FkVm 二維自由電子體系的能態(tài)密度是常數(shù)二維自由電子體系的能態(tài)密度是常數(shù), ,介于一介于一維和三維中間維和三維中間, ,體系可具有準(zhǔn)長(zhǎng)程序體系可具有準(zhǔn)長(zhǎng)程序, ,而且極易而且極易出現(xiàn)特殊相變出現(xiàn)特殊相變, ,導(dǎo)致新的物理現(xiàn)象導(dǎo)致新的物理現(xiàn)象. .如二維電子如二維電子氣系統(tǒng)中的量子霍爾效應(yīng)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)象氣系統(tǒng)中的

27、量子霍爾效應(yīng)、分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)等現(xiàn)象. . 這和前面的計(jì)算結(jié)果一致。這和前面的計(jì)算結(jié)果一致。 類似的基態(tài)時(shí)每個(gè)電子的平均能量為：（同類似的基態(tài)時(shí)每個(gè)電子的平均能量為：（同學(xué)們課下自己推算）（學(xué)們課下自己推算）（See P8)See P8)由此可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)由此可以看出即使在絕對(duì)零度時(shí)電子仍有相當(dāng)大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。大的平均能量，這與經(jīng)典的結(jié)果是截然不同的。00000( )/(5)3FFFEgVdgVdN 按照經(jīng)典的自由電子氣體按照經(jīng)典的自由電子氣體Drude)Drude)的模型，的模型，電子在電子在T=0T=0時(shí)的平均能量為零。時(shí)的平均能量為零。 在統(tǒng)計(jì)物理

28、中，把體系與經(jīng)典行為的偏離，在統(tǒng)計(jì)物理中，把體系與經(jīng)典行為的偏離，稱為簡(jiǎn)并性稱為簡(jiǎn)并性(degeneracy). (degeneracy). 因此，在因此，在T=0KT=0K時(shí)，時(shí)，金屬自由電子氣是完全簡(jiǎn)并的。金屬自由電子氣是完全簡(jiǎn)并的。系統(tǒng)簡(jiǎn)并性的判據(jù)是：系統(tǒng)簡(jiǎn)并性的判據(jù)是： 0FBk T因此因此, ,只要溫度比費(fèi)米溫度低很多只要溫度比費(fèi)米溫度低很多, ,電子氣就電子氣就是簡(jiǎn)并的是簡(jiǎn)并的. .由于費(fèi)米能量在幾個(gè)電子伏特由于費(fèi)米能量在幾個(gè)電子伏特, ,而而室溫下的熱擾動(dòng)能大約為室溫下的熱擾動(dòng)能大約為0.0260.026電子伏特電子伏特, ,所所以室溫下電子氣也是高度簡(jiǎn)并的以室溫下電子氣也是高度簡(jiǎn)并的. .需要指出需要指出的是這里電子氣簡(jiǎn)并的概念與量子力學(xué)中的的是這里電子氣簡(jiǎn)并的概念與量子力學(xué)中的簡(jiǎn)并毫無關(guān)系簡(jiǎn)并毫無關(guān)系, ,量子力學(xué)中的簡(jiǎn)并通常指不量子力學(xué)中的簡(jiǎn)并通常指不同狀態(tài)對(duì)應(yīng)相同能量的情形同狀態(tài)對(duì)應(yīng)相同能量的情形. . 利用利用N電子系統(tǒng)的能量表示式可以導(dǎo)出