反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 反響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析反響控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析一、穩(wěn)定性的概念和定義一、穩(wěn)定性的概念和定義二、穩(wěn)定的充要條件二、穩(wěn)定的充要條件三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)四、勞斯判據(jù)的特殊情況四、勞斯判據(jù)的特殊情況五、勞斯判據(jù)的運用五、勞斯判據(jù)的運用 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的問題，是系統(tǒng)正常義務(wù)的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實際運轉(zhuǎn)中，總會遭到外界和內(nèi)部一些要素的擾動，例如負(fù)載或能源的動搖、環(huán)境條件的改動、系統(tǒng)參數(shù)的變化等。假設(shè)系統(tǒng)不穩(wěn)定，當(dāng)它遭到擾動時，系統(tǒng)中各物理量就會偏離其平衡義務(wù)點，并且越偏越遠，即使擾動消逝了，也不可以恢復(fù)原來的平衡外形。一、穩(wěn)定性的概念和定義一、穩(wěn)定性的

2、概念和定義 假設(shè)系統(tǒng)遭到擾動后，偏離了原來的平衡外形，而當(dāng)擾動取假設(shè)系統(tǒng)遭到擾動后，偏離了原來的平衡外形，而當(dāng)擾動取消后，系統(tǒng)又可以逐漸恢復(fù)到原來的外形，那么稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，消后，系統(tǒng)又可以逐漸恢復(fù)到原來的外形，那么稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，或具有穩(wěn)定性的。否那么稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性?；蚓哂蟹€(wěn)定性的。否那么稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，或不具有穩(wěn)定性。0AAAfABBA( )a( )b( )c圖圖3-21 3-21 小球的穩(wěn)定性小球的穩(wěn)定性二、穩(wěn)定的充要條件二、穩(wěn)定的充要條件 假設(shè)系統(tǒng)初始條件為零，對系統(tǒng)加上理想單位脈沖假設(shè)系統(tǒng)初始條件為零，對系統(tǒng)加上理想單位脈沖信號信號 ，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖

3、過渡函數(shù)，系統(tǒng)的輸出就是線性系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù) ， 就相當(dāng)于擾動信號作用下輸出偏離原平衡外形的就相當(dāng)于擾動信號作用下輸出偏離原平衡外形的情況。假設(shè)當(dāng)情況。假設(shè)當(dāng) 時，脈沖過渡函數(shù)時，脈沖過渡函數(shù) 收斂于收斂于系統(tǒng)原平衡義務(wù)點，即下式成立：系統(tǒng)原平衡義務(wù)點，即下式成立：( ) t( )g t( )g tt ( )g tlim( )0tg t那么線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。那么線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。( )( ) ( )C sG s R s( )( )C sG s( )( )c tg tlim ( )0tc t(3-38)(3-38) 設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)為：設(shè)系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)為：( )( )( )M ssD s(

4、3-39)(3-39)( )0D S 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為: :12,ns ss 設(shè)特征根互不相等，系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)可改寫如下：設(shè)特征根互不相等，系統(tǒng)閉環(huán)傳送函數(shù)可改寫如下：閉環(huán)特征根為閉環(huán)特征根為:1( )( )( )niiiAM ssD ss s(3-40)(3-40) 那么系統(tǒng)脈沖呼應(yīng)的拉氏變換為：那么系統(tǒng)脈沖呼應(yīng)的拉氏變換為：1( )( )niiiAC sss s(3-41)(3-41)得系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)為呼應(yīng)得系統(tǒng)的脈沖過渡函數(shù)為呼應(yīng)1( )( )ins tiig tc tAe(3-42)(3-42)1lim ( )lim0instittig tAe(1)(1)假設(shè)

5、假設(shè) 為實數(shù)為實數(shù)is由式由式(3-38)(3-38)假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定假設(shè)系統(tǒng)穩(wěn)定lim0is titAe0is (2)(2)假設(shè)假設(shè) 為復(fù)為復(fù)數(shù)數(shù)isiiisj發(fā)散發(fā)散0is 0i0) tsinjBtcosA(elim) t ( glimn1iiiiititt0)t(sineClimn1iiitiit線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是它的一切特征根都具有件是它的一切特征根都具有負(fù)實部或都位于負(fù)實部或都位于S S平面的左半平面的左半平面，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。平面，那么系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)(3)假設(shè)特征根為假設(shè)特征根為k k個實根，個實根，r r個復(fù)數(shù)根，個復(fù)數(shù)根，0i0ip )tsin(e

6、AeC) t (giir1itiitipk1ii例例4 4 一個單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為一個單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳送函數(shù)為( )(21)kG sss試闡明系統(tǒng)能否穩(wěn)定。試闡明系統(tǒng)能否穩(wěn)定。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為( )( )1( )G ssG s(21)kssk22kssk2( )20D sssk1,21184ks 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)三、代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)勞斯判據(jù)1. 1. 系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定性的初步判別必要條件設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下規(guī)范方式：設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為如下規(guī)范方式：1011( )nnnnD sa sasa s a

7、0(3-43)(3-43)2. 2. 勞斯穩(wěn)定判據(jù)勞斯穩(wěn)定判據(jù)0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg11120211311aabaaa直至其他 項均為零。ib03111aabaaa 670421511aabaaa 1311211aacbbb 1521311aacbbb1731411aacbbb 1nga按此規(guī)律不斷計算到按此規(guī)律不斷計算到n -1n -1行為止。行為止。調(diào)查陣列表第一列系數(shù)的符號。假假設(shè)勞斯陣調(diào)查陣列表第一列系數(shù)的符號。假假設(shè)勞斯陣列表中第一列系

8、數(shù)均為正數(shù)，那么該系統(tǒng)是穩(wěn)列表中第一列系數(shù)均為正數(shù)，那么該系統(tǒng)是穩(wěn)定的定的; ;假假設(shè)第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，那么系統(tǒng)不穩(wěn)假假設(shè)第一列系數(shù)有負(fù)數(shù)，那么系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且第一列系數(shù)符號的改動次數(shù)等于在右定，并且第一列系數(shù)符號的改動次數(shù)等于在右半平面上根的個數(shù)。半平面上根的個數(shù)。結(jié)論：結(jié)論：例例5 5 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為432( )D sssss 612116 0試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的一切系數(shù)均為正實數(shù)特征方程的一切系數(shù)均為正實數(shù)4 1 12 6s3 6 11s261 6

9、 6s1455 6s0 6 s第一列的第一列的系數(shù)都為系數(shù)都為正數(shù)，系正數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)定統(tǒng)穩(wěn)定例例6 6 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為432( )1930D sssss110試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布情況。試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)閉環(huán)特征方程根的分布情況。(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :解：解：(1)(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條系統(tǒng)特征方程的系數(shù)不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。件。4 1 -12 30s3 1 11s2 -30 30 s1 12 s0 30 s有兩個根位于有兩個根位于s平面的右半平面平面的右半平面練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為54

10、320sssss3256試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)能否穩(wěn)定，假設(shè)不穩(wěn)定，那么試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)能否穩(wěn)定，假設(shè)不穩(wěn)定，那么確定確定具有正實部根的個數(shù)。具有正實部根的個數(shù)。答案：答案：系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定, ,有兩個有兩個根具有正實部根具有正實部, ,即有即有兩個根位于兩個根位于s s平面的平面的右半平面右半平面四、勞斯判據(jù)的特殊情況四、勞斯判據(jù)的特殊情況、勞斯表中某一行第一列元素為零，其他不為零或不、勞斯表中某一行第一列元素為零，其他不為零或不全為零，這時可用一個很小的正數(shù)來替代這個零，全為零，這時可用一個很小的正數(shù)來替代這個零，然后繼續(xù)勞斯陣列表的運算。假設(shè)第一列元素不改動符然后繼續(xù)勞斯陣列表的運

11、算。假設(shè)第一列元素不改動符號，那么系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，否那么不穩(wěn)定。號，那么系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，否那么不穩(wěn)定。2 0 16 s解：解：(1)(1)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。系統(tǒng)特征方程的系數(shù)滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。例例7 7 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。432( )34126D sssss 04 1 4 16s3 3 12s148 12- 0s0 16 s2 16 s第一列第一列為零為零(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個根且有兩個根具有正實部具有正實部練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定

12、性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。432( )221Dsssss 0432101112212201sssss系統(tǒng)不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且有兩個根且有兩個根具有正實部具有正實部、假設(shè)勞斯陣列表中某一行設(shè)為第、假設(shè)勞斯陣列表中某一行設(shè)為第k k行的一切系數(shù)均為零，行的一切系數(shù)均為零，那么闡明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點對稱的根。那么闡明在根平面內(nèi)存在一些大小相等，并且關(guān)于原點對稱的根。(3)(3)解輔助方程，得到一切數(shù)值一樣、符號相異的根。解輔助方程，得到一切數(shù)值一樣、符號相異的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素構(gòu)成輔助方程，輔助方程的最高階行元素構(gòu)成輔助方程，輔助方程的最高階次為次為(

13、n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次數(shù)遞降的次數(shù)遞降2 2。(2)(2)將輔助方程對將輔助方程對s s求導(dǎo)，其系數(shù)作為全零行的元素，求導(dǎo)，其系數(shù)作為全零行的元素，繼續(xù)完成勞斯表。繼續(xù)完成勞斯表。(2)(2)列寫勞斯陣列表如下列寫勞斯陣列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的一切系數(shù)均為正實數(shù)特征方程的一切系數(shù)均為正實數(shù)例例8 8 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為65432( )2812201616Dsssssss0判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3 0 0s3 8 24 s18 3s0 16 s5 2 12 16s6 1 8 20 16s4 2 12 16s42( )212

14、16F sss2 6 16 s解輔助方程得解輔助方程得: :1,22sj3,42sj例例9 9 系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為5433312ssss2+9s -40判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。假設(shè)不穩(wěn)定，那么確定具有正實判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。假設(shè)不穩(wěn)定，那么確定具有正實部根的個數(shù)。部根的個數(shù)。5433210134391 20001 21 891 225 001 2sssssss42( )3912F sss543238ssss 2+6s -40 練習(xí)練習(xí) 系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程為為543321013426800081 2381 0 0038sssssss42( )268F sss五、五、 勞斯判據(jù)的運用勞斯判

15、據(jù)的運用運用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)能否穩(wěn)定，即系統(tǒng)的運用勞斯判據(jù)不僅可以判別系統(tǒng)能否穩(wěn)定，即系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且也可檢驗系統(tǒng)能否有一定的穩(wěn)定裕絕對穩(wěn)定性，而且也可檢驗系統(tǒng)能否有一定的穩(wěn)定裕量，即相對穩(wěn)定性。另外勞斯判據(jù)還可用來分析系統(tǒng)量，即相對穩(wěn)定性。另外勞斯判據(jù)還可用來分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。參數(shù)對穩(wěn)定性的影響和鑒別延滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 如圖3-22所示，令 即把虛軸左移 。將上式代入系統(tǒng)的特征方程式，得以z為變量的新特征方程式，然后再檢驗新特征方程式有幾個根位于新虛軸(垂直線 )的右邊。假設(shè)一切根均在新虛軸的左邊新勞斯陣列式第一列均為正數(shù)，那么說系統(tǒng)具有穩(wěn)定裕量

16、 。1s1sz 111. 1. 穩(wěn)定裕量的檢驗穩(wěn)定裕量的檢驗j00圖圖3-22 3-22 穩(wěn)定裕量穩(wěn)定裕量 11zs例例10 10 檢驗特征方程式檢驗特征方程式320sss 210134能否有根在右半平面，并檢驗有幾個根在直線能否有根在右半平面，并檢驗有幾個根在直線s = -s = -的的右邊。右邊。 (1) (1)特征方程式系數(shù)都為正實數(shù)特征方程式系數(shù)都為正實數(shù), ,滿足穩(wěn)定的必要條件滿足穩(wěn)定的必要條件(2)(2)列勞斯陣列表列勞斯陣列表3 2 13 s1 12.2 s0 4 s2 10 4 s第一列無符號改第一列無符號改動，故沒有根在動，故沒有根在S S平面右半平面。平面右半平面。解解令令

17、s= z-1s= z-1，代入特征方程式，得，代入特征方程式，得32(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 2即即32410zzz 2那么新的勞斯陣列表那么新的勞斯陣列表3 2 -1 z1 -0.5 z0 -1 z2 4 -1 z從表中可看出，第從表中可看出，第一列符號改動一次，一列符號改動一次，故有一個根在直線故有一個根在直線s= -1s= -1即新座標(biāo)即新座標(biāo)虛軸的右邊，因虛軸的右邊，因此穩(wěn)定裕量不到此穩(wěn)定裕量不到1 1。2. 2. 分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響分析系統(tǒng)參數(shù)對穩(wěn)定性的影響設(shè)一單位反響控制系統(tǒng)如圖設(shè)一單位反響控制系統(tǒng)如圖3-233-23所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的所示，求使系統(tǒng)穩(wěn)定的k k的范圍的范圍圖圖3-233-231s)(sC)(sR(1)(5)kss( )( )( )(1)()C sKsR ss ssK5320sssK65解解(1)系統(tǒng)的傳送函數(shù)為：系統(tǒng)的傳送函數(shù)為：特征方程為：特征方程為：(2)(2)列勞斯陣列表列勞斯陣列表系數(shù)都為正實數(shù)系數(shù)都為正實數(shù)