保險精算第二版習習題及答案

1、保險精算（第二版） 第一章：利息的基本概念 練 習 題1已知，如果在0時投資100元，能在時刻5積累到180元，試確定在時刻5投資300元，在時刻8的積累值。2(1)假設(shè)A(t)=100+10t, 試確定。(2)假設(shè)，試確定 。 3已知投資500元，3年后得到120元的利息，試分別確定以相同的單利利率、復(fù)利利率投資800元在5年后的積累值。 4已知某筆投資在3年后的積累值為1000元，第1年的利率為 ，第2年的利率為，第3年的利率為 ，求該筆投資的原始金額。5確定10000元在第3年年末的積累值:(1)名義利率為每季度計息一次的年名義利率6%。 (2)名義貼現(xiàn)率為每4年計息一次的年名義貼現(xiàn)率6

2、%。 6設(shè)m1，按從大到小的次序排列。7如果，求10 000元在第12年年末的積累值。、8已知第1年的實際利率為10%，第2年的實際貼現(xiàn)率為8%，第3年的每季度計息的年名義利率為6%，第4年的每半年計息的年名義貼現(xiàn)率為5%，求一常數(shù)實際利率，使它等價于這4年的投資利率。9基金A以每月計息一次的年名義利率12%積累，基金B(yǎng)以利息強度積累，在時刻t (t=0)，兩筆基金存入的款項相同，試確定兩基金金額相等的下一時刻。10. 基金X中的投資以利息強度(0t20), 基金Y中的投資以年實際利率積累；現(xiàn)分別投資1元，則基金X和基金Y在第20年年末的積累值相等，求第3年年末基金Y的積累值。11. 某人19

3、99年初借款3萬元，按每年計息3次的年名義利率6%投資，到2004年末的積累值為（ ）萬元。 A. 7.19 B. 4.04 C. D. 12.甲向銀行借款1萬元，每年計息兩次的名義利率為6%，甲第2年末還款4000元，則此次還款后所余本金部分為（ ）元。 225 213 C.7 136 987第二章：年金練習題1證明。2某人購買一處住宅，價值16萬元，首期付款額為A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付10年。年計息12次的年名義利率為% 。計算購房首期付款額A。3. 已知 , , , 計算 。4某人從50歲時起，每年年初在銀行存入5000元，共存10年，自60歲起，每年年初從銀行提

4、出一筆款作為生活費用，擬提取10年。年利率為10%，計算其每年生活費用。5年金A的給付情況是：110年，每年年末給付1000元；1120年，每年年末給付2000元；2130年，每年年末給付1000元。年金B(yǎng)在110年，每年給付額為K元；1120年給付額為0；2130年，每年年末給付K元，若A與B的現(xiàn)值相等，已知，計算K。 6 化簡 ，并解釋該式意義。 7. 某人計劃在第5年年末從銀行取出17 000元，這5年中他每半年末在銀行存入一筆款項，前5次存款每次為1000元，后5次存款每次為2000元，計算每年計息2次的年名義利率。 8. 某期初付年金每次付款額為1元，共付20次，第k年的實際利率為，

5、計算V(2)。 9. 某人壽保險的死亡給付受益人為三個子女，給付形式為永續(xù)年金，前兩個孩子第1到n年每年末平分所領(lǐng)取的年金，n年后所有的年金只支付給第三個孩子，若三個孩子所領(lǐng)取的年金現(xiàn)值相等,那么v=( ) A. B. C. D. 11. 延期5年連續(xù)變化的年金共付款6年，在時刻t時的年付款率為,t時刻的利息強度為1/(1+t),該年金的現(xiàn)值為（ ） .54 C 第三章：生命表基礎(chǔ)練習題1給出生存函數(shù)，求： (1)人在50歲60歲之間死亡的概率。 (2)50歲的人在60歲以前死亡的概率。 (3)人能活到70歲的概率。 (4)50歲的人能活到70歲的概率。 2. 已知Pr5T(60)6=，PrT

6、(60)5=，求。 3. 已知，求。 4. 設(shè)某群體的初始人數(shù)為3 000人，20年內(nèi)的預(yù)期死亡人數(shù)為240人，第21年和第22年的死亡人數(shù)分別為15人和18人。求生存函數(shù)s(x)在20歲、21歲和22歲的值。 5. 如果,0x100, 求=10 000時，在該生命表中1歲到4歲之間的死亡人數(shù)為（ ）。 6. 已知20歲的生存人數(shù)為1 000人，21歲的生存人數(shù)為998人，22歲的生存人數(shù)為992人，則為（ ）。 A. 0.008 B. C. D. 第四章：人壽保險的精算現(xiàn)值練 習 題 1. 設(shè)生存函數(shù)為 (0x100)，年利率=，計算(保險金額為1元)： (1)躉繳純保費的值。 (2)這一保

7、險給付額在簽單時的現(xiàn)值隨機變量Z的方差Var(Z)。 2 設(shè)年齡為35歲的人，購買一張保險金額為1 000元的5年定期壽險保單，保險金于被保險人死亡的保單年度末給付，年利率i=，試計算： (1)該保單的躉繳純保費。 (2)該保單自35歲39歲各年齡的自然保費之總額。 (3)(1)與(2)的結(jié)果為何不同為什么（1）法一：查生命表代入計算：法二：查換算表（2）（3） 3. 設(shè), , , 試計算： （1） 。 （2） 。改為求 4 試證在UDD假設(shè)條件下： (1) 。 (2) 。 5 (x)購買了一份2年定期壽險保險單，據(jù)保單規(guī)定，若(x)在保險期限內(nèi)發(fā)生保險責任范圍內(nèi)的死亡，則在死亡年末可得保險金

8、1元， ，試求。 6已知， 。 7 現(xiàn)年30歲的人，付躉繳純保費5 000元，購買一張20年定期壽險保單，保險金于被保險人死亡時所處保單年度末支付，試求該保單的保險金額。解：其中查（2000-2003）男性或者女性非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)生命表中數(shù)據(jù)帶入計算即可，或者i=以及（2000-2003）男性或者女性非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)生命表換算表帶入計算即可。例查（2000-2003）男性非養(yǎng)老金業(yè)務(wù)生命表中數(shù)據(jù) 8 考慮在被保險人死亡時的那個年時段末給付1個單位的終身壽險，設(shè)k是自保單生效起存活的完整年數(shù)，j是死亡那年存活的完整年的時段數(shù)。 (1) 求該保險的躉繳純保費 。 (2) 設(shè)每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布，證

9、明 。 9 現(xiàn)年35歲的人購買了一份終身壽險保單，保單規(guī)定：被保險人在10年內(nèi)死亡，給付金額為15 000元；10年后死亡，給付金額為20 000元。試求躉繳純保費。躉交純保費為其中所以躉交純保費為 10年齡為40歲的人，以現(xiàn)金10 000元購買一份壽險保單。保單規(guī)定：被保險人在5年內(nèi)死亡，則在其死亡的年末給付金額30 00元；如在5年后死亡，則在其死亡的年末給付數(shù)額R元。試求R值。 11 設(shè)年齡為50歲的人購買一份壽險保單，保單規(guī)定：被保險人在70歲以前死亡，給付數(shù)額為3 000元；如至70歲時仍生存，給付金額為1 500元。試求該壽險保單的躉繳純保費。該躉交純保費為：其中查生命表或者相應(yīng)的

10、換算表帶入計算即可。 12 設(shè)某30歲的人購買一份壽險保單，該保單規(guī)定：若(30)在第一個保單年計劃內(nèi)死亡，則在其死亡的保單年度末給付5000元，此后保額每年增加1000元。求此遞增終身壽險的躉繳純保費。該躉交純保費為：其中查生命表或者相應(yīng)的換算表帶入計算即可。 13 某一年齡支付下列保費將獲得一個n年期儲蓄壽險保單： (1)1 000元儲蓄壽險且死亡時返還躉繳純保費，這個保險的躉繳純保費為750元。 (2)1 000元儲蓄壽險，被保險人生存n年時給付保險金額的2倍，死亡時返還躉繳純保費，這個保險的躉繳純保費為800元。 若現(xiàn)有1 700元儲蓄壽險，無保費返還且死亡時無雙倍保障，死亡給付均發(fā)生

11、在死亡年末，求這個保險的躉繳純保費。解：保單1)精算式為 保單2)精算式為 求解得，即 14 設(shè)年齡為30歲者購買一死亡年末給付的終身壽險保單，依保單規(guī)定：被保險人在第一個保單年度內(nèi)死亡，則給付10 000元；在第二個保單年度內(nèi)死亡，則給付9700元；在第三個保單年度內(nèi)死亡，則給付9400元；每年遞減300元，直至減到4000元為止，以后即維持此定額。試求其躉繳純保費。 15. 某人在40歲投保的終身死亡險，在死亡后立即給付1元保險金。其中，給定,0x110。利息力=。Z表示保險人給付額的現(xiàn)值，則密度等于（ ） A. 0.24 B. 0.27 C. D. 16. 已知在每一年齡年UDD假設(shè)成立

12、，表示式( ) A. B. C. D. 解： 17. 在x歲投保的一年期兩全保險，在個體（x）死亡的保單年度末給付b元，生存保險金為e元。保險人給付額現(xiàn)值記為Z, 則Var(Z)=( ) A. B. C. D. 解：第五章：年金的精算現(xiàn)值練 習 題 1 設(shè)隨機變量TT(x)的概率密度函數(shù)為(t0)，利息強度為 。試計算精算現(xiàn)值 。 2設(shè) , , 。試求：（1）；（2） 。 3 某人現(xiàn)年50歲，以10000元購買于51歲開始給付的終身生存年金，試求其每年所得年金額。 4 某人現(xiàn)年23歲，約定于36年內(nèi)每年年初繳付2 000元給某人壽保險公司，如中途死亡，即行停止，所繳付款額也不退還。而當此人活到

13、60歲時，人壽保險公司便開始給付第一次年金，直至死亡為止。試求此人每次所獲得的年金額。解：其中查生命表或者相應(yīng)的換算表帶入計算即可。 習題5將參考課本P87例5.4.1現(xiàn)年35歲的人購買如下生存年金，且均于每月初給付，每次給付1000元，設(shè)年利率i=6%，求下列年金的精算現(xiàn)值。（1） 終身生存年金。其中若查90-93年生命表換算表則 5 某人現(xiàn)年55歲，在人壽保險公司購有終身生存年金，每月末給付年金額250元，試在UDD假設(shè)和利率6%下，計算其精算現(xiàn)值。解：其中 6 在UDD假設(shè)下，試證： (1) 。 (2) 。 （3） 。 7 試求現(xiàn)年30歲每年領(lǐng)取年金額1200元的期末付終身生存年金的精算

14、現(xiàn)值，且給付方法為：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。（1）解：（2）其中（3）其中（4）其中 8 試證： (1) (2) 。 (3) 。 (4) 。 9 很多年齡為23歲的人共同籌集基金，并約定在每年的年初生存者繳納R元于此項基金，繳付到64歲為止。 到65歲時，生存者將基金均分，使所得金額可購買期初付終身生存年金，每年領(lǐng)取的金額為3 600元。試求數(shù)額R。 10 Y是x歲簽單的每期期末支付1的生存年金的給付現(xiàn)值隨機變量，已知 ， ，求Y的方差。 11 某人將期末延期終身生存年金1萬元遺留給其子，約定延期10年，其子現(xiàn)年30歲，求此年金的精算現(xiàn)值。 12 某人現(xiàn)年35歲，購買

15、一份即付定期年金，連續(xù)給付的年金分別為10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，試求其精算現(xiàn)值。 13. 給定，。已知在每一年齡年UDD假設(shè)成立， 則是（ ） A. 1548 B. 15.51 C. D. 14. 給定, , 利息強度，則=（ ） A. 0.005 B. 0.010 C. D. 15. 對于個體（x）的延期5年的期初生存年金，年金每年給付一次，每次1元，給定： , 年金給付總額為S元（不計利息），則P（）值為（ ） A. B. 0.81 C. D. 第六章：期繳純保費與營業(yè)保費 練 習 題 1. 設(shè)，利息強度為常數(shù)，求 與Var(L)。 2. 有兩份壽險保單，一

16、份為(40)購買的保額2 000元、躉繳保費的終身壽險保單，并且其死亡保險金于死亡年末給付；另一份為(40)購買的保額1 500元、年繳保費P的完全離散型終身壽險保單。已知第一份保單的給付現(xiàn)值隨機變量的方差與第二份保單在保單簽發(fā)時的保險人虧損的方差相等，且利率為6%，求P的值。 3 已知 。 4 已知 。 5 已知L為(x)購買的保額為1元、年保費為的完全離散型兩全保險，在保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機變量，計算Var(L)。 6 已知x 歲的人服從如下生存分布： (0x105)，年利率為6。對(50)購買的保額1 000元的完全離散型終身壽險，設(shè)L為此保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機變量，且P(L0)

17、= 。求此保單的年繳均衡純保費的取值范圍。 7. 已知 ，其中為保險人對1單位終身壽險按年收取的營業(yè)保費。求保險人至少應(yīng)發(fā)行多少份這種保單才能使這些保單的總虧損為正的概率小于等于。這里假設(shè)各保單相互獨立，且總虧損近似服從正態(tài)分布，Pr（）=，Z為標準正態(tài)隨機變量。 8. 。 9 。 10已知 。 11 已知x歲的人購買保額1000元的完全離散型終身壽險的年保費為50元，L是在保單簽發(fā)時保險人的虧損隨機變量。 (1)計算EL。 (2)計算Var(L)。 (3)現(xiàn)考察有100份同類保單的業(yè)務(wù)，其面額情況如下：面額(元) 保單數(shù)(份) 1 80 4 20 假設(shè)各保單的虧損獨立，用正態(tài)近似計算這個業(yè)務(wù)

18、的盈利現(xiàn)值超過18 000元的概率。 12 (x)購買的n年限期繳費完全離散型終身壽險保單，其各種費用分別為：銷售傭金為營業(yè)保費的6%；稅金為營業(yè)保費的4%；每份保單的第1年費用為30元，第2年至第n年的費用各為5元；理賠費用為15元。 且 ，保額b以萬元為單位，求保險費率函數(shù)R(b)。 13. 設(shè) 。 A. B. 0.071 C. D. 14. 已知。 A. B. 0.0203 C. D. 15. 設(shè)=( ) A. 0.005 B. 0.006 C. D. 第七章：準備金 練 習 題 1. 對于(x)購買的躉繳保費、每年給付1元的連續(xù)定期年金，t時保險人的未來虧損隨機變量為： 計算和。 2

19、當。 3 已知。 4 假設(shè)在每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布，判斷下面等式哪些正確： （1）（2） （3） 5. 假設(shè)在每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布， 且，求 。 6 已知計算。 7 一種完全離散型2年期兩全保險保單的生存給付為1000元，每年的死亡給付為1000元加上該年年末的純保費責任準備金，且利率i=6%， （k=0，1）。計算年繳均衡純保費P。 8 已知，求。 9 25歲投保的完全連續(xù)終身壽險，L為該保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機變量，已知計算。 10 已知 ， 計算 。 11 已知計算。 12 已知，求的值。 13 對30歲投保、保額1元的完全連續(xù)終身壽險，L為保單簽發(fā)時的保險人虧損隨機變量

20、，且，計算。 14 一 種完全連續(xù)型20年期的1單位生存年金，已知死亡服從分布：(x75)，利率，且保費連續(xù)支付20年。設(shè)投保年齡為35歲，計算此年金在第10年年末的純保費準備金。 15 已知，求 。 16 對于完全離散型保額，1單位的2年期定期壽險應(yīng)用某種修正準備金方法，已知，求。 17. 個體（x）的繳費期為10年的完全離散終身壽險保單，保額為1 000元，已知,年均衡凈保費為元，第9年底的凈準備金為元，則=( ) A. B. 31.92 C. D. 18. 已知,則 ( ) A. 21 B. 22 C. 23 D. 24第八章：保單現(xiàn)金價值與紅利練 習 題 1. 證明式（8.1.7）和式

21、（）。 2. 證明表8.1.3和表中的調(diào)整保費表達式。 3. 根據(jù)表8.1.3和表中的各種情況，計算第1年的費用補貼。 4. (x)的單位保額完全連續(xù)終身壽險在k年末轉(zhuǎn)為不喪失現(xiàn)金價值。 設(shè) ，分別按繳清保險與展期保險給出剛改變后的保險的未來損失方差與原保險在時間k的未來損失方差之比。 5. 已知用1941年規(guī)則計算。 6. 向(30)發(fā)行的1單位完全連續(xù)20年期兩全保險，在第10年年末中止，并且那時還有一筆以為抵押的貸款額L尚未清償，用躉繳純保費表達： (1)在保額為1-L的展期保險可展延到原期滿時的情況下，期滿時的生存給付金額E。 (2)轉(zhuǎn)為第(1)小題中展期保險與生存保險后5年時的責任準

22、備金。 7 考慮(x)投保的繳費期為n的n年期兩全保險，保險金為1單位，支付基礎(chǔ)為完全離散的。在拖欠保費的情況下，被保險人可選擇： (1)減額繳清終身壽險。 (2)期限不超過原兩全保險的展期定期保險以及x+n歲時支付的減額生存保險。在時間t的解約金為 ，它可用來購買金額為b的繳清終身壽險，或用于購買金額為1的展期保險以及x+n歲時的生存支付。設(shè)，用，及表示。 8 設(shè)。 證明：決定自動墊繳保費貸款期長短的方程可寫成H(t)0，其中。 9 在人壽保險的早期，一家保險公司的解約金定為 ， 式中，G為相應(yīng)年齡的毛保費；為始于x+k歲并到繳費期結(jié)束為止的期初生存年金值，h在實際中取。如果終身壽險保單的毛

23、保費按1980年規(guī)則取為調(diào)整保費，并且與都小于，h=，驗證以上給出的解約金為 10. 生存年金遞推關(guān)系為 , (1) 如果實際的經(jīng)驗利率是h+1，經(jīng)驗生存概率是x+h，則年金的遞推關(guān)系為 式中，為生存者份額的變化。證明并解釋 (2)如果年末的年金收入調(diào)整為年初的倍，其中 用 及 表示。 11. 證明式(8.4.12)、式和式。 12. 在1941年法則中，若 ,則 =（ ） A. 0.036 B. 0.046 C. D. 13. (30)投保20年期生死兩全保險，若 ,利用1941年法則求得 時的調(diào)整保費為（ ） A. B. 0.0626 C. D. 第九章：現(xiàn)代壽險的負債評估練 習 題 1.

24、在例9.2.1中將第1年到第5年的保證利率改為9%，求0到第10年的現(xiàn)金價值及第4年的準備金。 2. 在例9.2.3中將保證利率改為：前3年為8% ，3年以后為4% ，重新計算表、表和表。 3.在例9.2.5中，若保證利率：第1年到第5年為%，以后為4%，求0到第5保單年度的準備金。 4. 考慮固定保費變額壽險，其設(shè)計是公平設(shè)計且具有下列性質(zhì): 男性：35歲；AIR=4%；最大允許評估利率：6%；面值(即保額)：10 000元；在第5保單年度的實際現(xiàn)金價值為6 238元；在第5保單年度的表格現(xiàn)金價值為5 316元。且已知，相關(guān)資料如下表。 單位：元 435 6436 7440 9635 163

25、6 0640 5 求：(1)第5保單年度的基礎(chǔ)準備金；(2)用一年定期準備金和到達年齡準備金求第5保單年度的GMDB準備金。 5. 已知某年金的年保費為1 000元；預(yù)先附加費用為3%；保證利率為第1年到第3年8%，以后4%；退保費為5/4/3/2/1/0%；評估利率為7%。假設(shè)為年繳保費年金，第1年末的準備金為（ ） A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035 6. 在上題中，如果本金為可變動保費年金，保單簽發(fā)時繳費1 000元，第2年保費于第1年末尚未支付，則第1年年末的準備金為（ ） A. 1005 B. 1015 C. 1025 D. 1035第十章：風險投資和風險

26、理論練習題1. 現(xiàn)有一種2年期面值為1 000的債券，每年計息兩次的名義息票率為8%，每年計息兩次的名義收益率為6%，則其市場價格為（ ）元。 B. 1028.765 C. D. 2. 假設(shè)X是扔五次硬幣后“國徽”面朝上的次數(shù)，然后再同時扔X個骰子，設(shè)Y是顯示數(shù)目的總合，則Y的均值為（ ）A B. C. D . 3. 現(xiàn)有一種六年期面值為500的政府債券，其息票率為6%，每年支付，如果現(xiàn)行收益率為5%，那么次債券的市場價值為多少如果兩年后的市場利率上升為8%，那么該債券的市場價值又是多少4. 考慮第3題中的政府債券，在其他條件不變的情況下，如果六年中的市場利率預(yù)測如下： ：5% ：6% ：8%

27、 ：7% ：6% ：10%那么該債券的市場價值是多少5. 計算下述兩種債券的久期： （1）五年期面值為2 000元的公司債券，息票率為6%，年收益率為10%； （2）三年期面值為1 000元的政府債券，息票率為5%，年收益率為6%。6. 某保險公司有如下的現(xiàn)金流支付模型，試計算包含報酬率。年份012現(xiàn)金流205207. 某保險人一般在收到保費八個月后支付索賠，其系統(tǒng)風險是30%，無風險利率為%，費用率為35%，市場組合的期望回報是20%，那么該保險人的期望利潤率是多少 8. 某保險人的息稅前收入是億元，凈利息費用為300萬元，公司的權(quán)益值為50億元，稅率為30%，試求股本收益率。9. 某建筑物

28、價值為a，在一定時期內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的概率為。如果發(fā)生火災(zāi)，建筑物發(fā)生的損失額服從0到a的均勻分布。計算在該時期內(nèi)損失發(fā)生的均值和方差。10. 如果短期局和風險模型中的理賠次數(shù)N服從二項分布B（n , p）,而P服從0到1的均勻分布,利用全概率公式計算：（1）N的均值，（2）N的方差。11. 如果S服從參數(shù)，個別賠款額1，2，3概率分別為，的復(fù)合泊松分布，計算S不小于3的概率。12. 若破產(chǎn)概率為，試確定和R。13 設(shè)盈余過程中的理賠過程S（t）為復(fù)合泊松分布，其中泊松參數(shù)為，個別理賠額C服從參數(shù)為的指數(shù)分布，C = 4 ，又設(shè)L為最大聚合損失，為初始資金并且滿足= ，試確定。第一章1. 元2. （

29、1） 3 4（2） 3. 1 元 1 元4. 元5 （）11 956 （）12 2856. 7. 20 元8. 69. 210. 11. B12. A第二章1. 略 2. 80 元3 99 4. 12 元5. 1 800 元 6. 略7 % 8. 9. A 10. B第三章1. (1) 95 (2) 96 (3) 86 (4) 892. 583. 41 5714. (1) (2) (3) 5. B6. C第四章 1. (1) (2) 2. (1) 元 （2）元 （3）略3. (1) (2) 4. 略5. 0.54 6. 7. 283 元 8. 略9 2 元 10. 71 元11. 元 12. 3 元13. 元 14. 元15. D 16. C17. B第五章1. 15.38 2. (1) (2) 3. 793元 4. 25 元5. 36 元 6. 略7. (1) 18 元 （2） 18 元 （3）18 元 （4） 18 元8. 略 9. 元10. 106 11. 83 元 12. 46.43