同濟大學材料力學扭轉(zhuǎn)課件

1、16-1 扭轉(zhuǎn)概念和工程實例扭轉(zhuǎn)概念和工程實例第第1616章章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)16-2 自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計算自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計算16-3 關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)16-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力16-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強度和剛度計算扭轉(zhuǎn)強度和剛度計算16-6 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)16-1 16-1 扭轉(zhuǎn)概念和工程實例扭轉(zhuǎn)概念和工程實例1 1、螺絲刀桿工作時受扭、螺絲刀桿工作時受扭。 Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶一、扭轉(zhuǎn)的工程實例一、扭轉(zhuǎn)的工程實例2 2、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時受扭。、汽車方向盤的轉(zhuǎn)動軸工作時

2、受扭。3 3、機器中的傳動軸工作時受扭。、機器中的傳動軸工作時受扭。二、扭轉(zhuǎn)的概念二、扭轉(zhuǎn)的概念受力特點：受力特點：桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力桿兩端作用著大小相等、方向相反的力偶，且力 偶作用面垂直于桿的軸線。偶作用面垂直于桿的軸線。變形特點：變形特點：桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。桿任意兩截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿主要發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的桿軸軸。Am Me主動力偶主動力偶阻抗力偶阻抗力偶em右右 圖圖m)(NnNnNm95491030330)(nmmdtdmdtmddtdWN一、外力偶矩計算一、外力偶矩計算 設(shè)：設(shè)：軸的轉(zhuǎn)速軸的轉(zhuǎn)速 n 轉(zhuǎn)分轉(zhuǎn)分 (rmin)

3、，其中其中某一輪傳輸?shù)墓β誓骋惠唫鬏數(shù)墓β蕿椋簽椋?N 千瓦千瓦( KW ） 實際作用于該輪的外力偶矩實際作用于該輪的外力偶矩 m ，則，則16-2 16-2 自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計算自由扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力計算外力偶矩計算式外力偶矩計算式mm0, 0mTmx T1 1、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力（截面法）（截面法）xmmmT Tx取右段為研究對象：取右段為研究對象：0, 0TmmxmT 取左段為研究對象：取左段為研究對象：二、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力二、扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 圓軸受扭時其橫截面上的圓軸受扭時其橫截面上的內(nèi)力內(nèi)力偶矩偶矩稱為稱為扭矩扭矩，用符號，用符號T 表示。表示。2 2、

4、扭矩的符號規(guī)定、扭矩的符號規(guī)定：按右手螺旋法則判斷按右手螺旋法則判斷。 右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若右手的四指代表扭矩的旋轉(zhuǎn)方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向其矢量方向與截面的外法線方向相同與截面的外法線方向相同，則扭矩規(guī)定為正值，反之為，則扭矩規(guī)定為正值，反之為負值。負值。T+T T3 3、內(nèi)力圖（扭矩圖）：、內(nèi)力圖（扭矩圖）： 表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形表示構(gòu)件各橫截面扭矩沿軸線變化的圖形。扭矩圖作法：同軸力圖：扭矩圖作法：同軸力圖：例例 已知：一傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入，主動輪輸入 N1=500kW，從，從動輪

5、輸出動輪輸出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW，試繪制扭矩圖。，試繪制扭矩圖。nA B C Dm2 m3 m1 m4 15.9(kN.m)m)(N1015.930050095499549311nNm4.78(kN.m)m)(N 1078. 4300150954995493232nNmm6.37(kN.m)m)(N10 37. 630020095499549344nNm求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）解：計算外力偶矩解：計算外力偶矩nNm9549n =300r/min，輸入，輸入 N1=500kW，輸出輸出 N2=150kW，N3=150kW，N4=200kW

6、nA B C Dm2 m3 m1 m4nm2 m3 m1 m433A B C D1122T1T2T39.56xT（kN.m）4.786.37 , 0 , 0322mmTmx , 0, 0m34xTm0 , 021mTmx繪制扭矩圖繪制扭矩圖BC段為危險截面。段為危險截面。m43m2m2mmkN78. 4 21 mT1-1截面：截面：2 - 2截面：截面：mkN56. 9 322mmT3 - 3截面：截面：mkN37. 6T43 m（m軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩軸單位長度內(nèi)的扭力偶矩）例例 試分析圖示軸的扭矩試分析圖示軸的扭矩)(xlmT 表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（表示扭矩沿桿件軸線變化的圖線（

7、T-x 曲線）扭矩圖曲線）扭矩圖截面法求扭矩截面法求扭矩T1 1、實驗：、實驗：16-3 關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)一、一、薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的應(yīng)力 薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒軸的扭轉(zhuǎn)0101rt , r0為平均半徑）(壁厚壁厚實驗實驗變形規(guī)律變形規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的計算公式。應(yīng)力的計算公式。2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動 了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變

8、成了平行四邊形。3 3、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：直角角度的改變量、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：直角角度的改變量 。認為剪應(yīng)力沿壁厚均勻認為剪應(yīng)力沿壁厚均勻分布分布, ,而且方向垂直于其半徑方向。而且方向垂直于其半徑方向。3 3、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：直角角度的改變量、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）：直角角度的改變量 。4 4、定性分析橫截面上的應(yīng)力、定性分析橫截面上的應(yīng)力, 0（1 1）00（2 2）因為圓周上剪應(yīng)變相同，所以剪因為圓周上剪應(yīng)變相同，所以剪( (切）應(yīng)力沿圓周均勻分布切）應(yīng)力沿圓周均勻分布。（3 3）0,Dt Dt5 5、切應(yīng)力的計算公式：、切應(yīng)力的計算公式： dA 對圓心的矩對圓心的矩 d dAr0 02.2

9、020200trtdrrdATAtrT202d 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應(yīng)力計算式橫截面上的切應(yīng)力計算式二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)二、關(guān)于切應(yīng)力的若干重要性質(zhì)1 1、剪切虎克定律、剪切虎克定律l為扭轉(zhuǎn)角為扭轉(zhuǎn)角lr0即即lr0做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗可得做薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗可得T 縱軸縱軸 TtrT202psblr0橫軸橫軸剪切虎克定律剪切虎克定律,pG)1 (2EG在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力在彈性范圍內(nèi)切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系。與切應(yīng)變成正比關(guān)系。psb從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體從受扭的薄壁圓筒表面處截取一微小的正六面體單元體單元體zyddzxddxyzabOcddxd

10、ydz 0yF0zM自動滿足自動滿足0 xF且由于yzxxzydddddd存在存在得得2 2、切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理Me Me 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理 單元體在其兩對互相單元體在其兩對互相垂直的平面上只有切應(yīng)力垂直的平面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為而無正應(yīng)力的狀態(tài)稱為純純剪切應(yīng)力狀態(tài)剪切應(yīng)力狀態(tài)。dabcxyzabOcddxdydz 在相互垂直的兩個面上，切在相互垂直的兩個面上，切應(yīng)力總是成對出現(xiàn)，并且大小應(yīng)力總是成對出現(xiàn)，并且大小相相等，等，方向同時指向或同時背離兩方向同時指向或同時背離兩個面的交線。個面的交線。一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力（超靜定問題）一、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上

11、的應(yīng)力（超靜定問題）幾何關(guān)系：幾何關(guān)系：由實驗找出變形規(guī)律由實驗找出變形規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)變的變化規(guī)律物理關(guān)系：物理關(guān)系：由應(yīng)變的變化規(guī)律由應(yīng)變的變化規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律應(yīng)力的分布規(guī)律靜力關(guān)系靜力關(guān)系：由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系由橫截面上的扭矩與應(yīng)力的關(guān)系應(yīng)力的計算公式。應(yīng)力的計算公式。一）、幾何關(guān)系一）、幾何關(guān)系：1 1、實驗：、實驗：16-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律： 圓周線圓周線形狀、大形狀、大小、間距不變，各圓周小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一線只是繞軸線轉(zhuǎn)動了一個不同的角度。個不同的角度。2 2、變形規(guī)律：、變形規(guī)律：圓

12、周線圓周線形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動形狀、大小、間距不變，各圓周線只是繞軸線轉(zhuǎn)動 了一個不同的角度。了一個不同的角度。縱向線縱向線傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。傾斜了同一個角度，小方格變成了平行四邊形。3 3、平面假設(shè)：、平面假設(shè)：變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大變形前的橫截面，變形后仍為平面，且形狀、大 小、間距不變，半徑仍為直線。小、間距不變，半徑仍為直線。4 4、定性分析橫截面上的應(yīng)力、定性分析橫截面上的應(yīng)力00（1）00（2） 因為同一圓周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)因為同一圓周上切應(yīng)變相同，所以同一圓周上切應(yīng)力大小相等，并且方向垂直于其半徑

13、方向。力大小相等，并且方向垂直于其半徑方向。5 5、切應(yīng)變的變化規(guī)律：、切應(yīng)變的變化規(guī)律：dxRddxDDtgtgxdddxdd取楔形體取楔形體O1O2ABCD 為研究對象為研究對象微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)變形變形 d DD D bbA ADA點處的切應(yīng)變點處的切應(yīng)變a點處的切應(yīng)變點處的切應(yīng)變dxd二）物理關(guān)系：二）物理關(guān)系： 彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)PmaxG GdxdG方向垂直于半徑。方向垂直于半徑。d / / dx扭轉(zhuǎn)角變化率扭轉(zhuǎn)角變化率 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布（實心截面）（實心截面）（空心截面）（空心截面）dxddxdG三）靜力關(guān)系：三）靜力關(guān)系：AdAATAdAIApd2令xGI Tpdd

14、 代入物理關(guān)系式代入物理關(guān)系式 得：得：xGdd pIT圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的切應(yīng)力計算式。圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的切應(yīng)力計算式。pGITx dd dAdAdAAxGAddd 2AxGAddd2OA扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)變形計算式變形計算式dxdG?dxd橫截面上橫截面上 PPPWTITITmaxmaxmax抗扭截面模量抗扭截面模量，整個圓軸上整個圓軸上等直桿：等直桿：PWTmaxmax三、公式的使用條件：三、公式的使用條件：1 1、等直的圓軸，、等直的圓軸， 2 2、彈性范圍內(nèi)工作。、彈性范圍內(nèi)工作。I Ip p截面的極慣性矩截面的極慣性矩，單位：，單位：二、圓軸中二、圓軸中max的確定的確定44,

15、 mmm.,33mmm單位單位：maxpPIW PWpIT圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的切應(yīng)力計算式圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的切應(yīng)力計算式: :四、圓截面的極慣性矩四、圓截面的極慣性矩 Ip 和抗扭截面系數(shù)和抗扭截面系數(shù)WpAAId2p162/3ppddIW)d2(202d324dd2dA2/04)4(2d實心圓截面：實心圓截面：Odd223pd2DdI4344pp116162/DDdDDIW空心圓截面：空心圓截面：d2dA4432dD 44132DDdDdOd注意：對于空心圓截面注意：對于空心圓截面33p16dDW44p32dDIDdOdmN1993605 . 795509550nNmmN199

16、 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .37261maxDITPACAC外MPa8 .46Pa108 .462DIT62PCBCBmax外解：（解：（1 1）計算外力偶矩、扭矩）計算外力偶矩、扭矩由截面法（2 2）計算極慣性矩）計算極慣性矩 , AC, AC段和段和CBCB段段橫截面的極慣性矩分別為橫截面的極慣性矩分別為 （3 3）計算應(yīng)力）計算應(yīng)力 minr/360n，kW5 . 7Ncm3Dcm2d例例 AB軸傳遞的功率為軸傳遞的功率為，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速 。 如圖所示，軸如圖所示，軸AC段為實心圓截面，段為實心圓截面，CB段為空心圓截面

17、。段為空心圓截面。已知已知。試計算試計算AC以及以及CB段的最大切應(yīng)力。段的最大切應(yīng)力。1 1、強度條件、強度條件：2 2、強度條件應(yīng)用、強度條件應(yīng)用：1 1）校核強度）校核強度: : .)1 (16,16433空心空心實心實心DDWP16-5 16-5 扭轉(zhuǎn)變形扭轉(zhuǎn)變形 扭轉(zhuǎn)強度和剛度計算扭轉(zhuǎn)強度和剛度計算PWTmaxmax PWmaxT2 2）設(shè)計截面尺寸）設(shè)計截面尺寸: :3 3）確定外載荷）確定外載荷: :maxTPWm一、一、 扭轉(zhuǎn)強度計算扭轉(zhuǎn)強度計算max maxpmax WT pmaxmaxWT 等截面圓軸等截面圓軸: :變截面圓軸變截面圓軸: :例例 已知已知 T =1.5 k

18、N . m， = 50 MPa，試根據(jù)強度條件設(shè)，試根據(jù)強度條件設(shè)計實心圓軸與計實心圓軸與 = 0.9 的空心圓軸。的空心圓軸。解：解：1. 1. 確定實心圓軸直徑確定實心圓軸直徑 316dT 316 Td mm 54 d實心軸?。簃 5350.0Pa)10(50)mN101.5(16363 max 163maxdT 2. 2. 確定空心圓軸內(nèi)、外徑確定空心圓軸內(nèi)、外徑 )1 (1643DT mm 3 .76)1 (1634TDmm7 .68 Dd mm 68 mm 76 dD，?。?. 3. 重量比較重量比較%5 .394)(4222ddD空心軸遠比空心軸遠比實心軸輕實心軸輕43p116DW

19、 已知已知 T=1.5 kN . m， = 50 MPa，試試根據(jù)強度條件根據(jù)強度條件設(shè)計實心圓軸與設(shè)計實心圓軸與 = = 0.9 的空心圓軸。的空心圓軸。mm 54 d實心軸取：解：1. 計算扭矩作扭矩圖計算扭矩作扭矩圖例 R050 mm的的薄壁圓管，左、右薄壁圓管，左、右段的壁厚段的壁厚分別為分別為 d d1 1 5 5 mm，d d2 2 4 4 mm，m = 3500 N . m/m，l = 1 m， 50 MPa，試校核圓管強度。試校核圓管強度。2. 2. 強度校核強度校核危險截面：危險截面：1202d d RTAA 2202d d RTBB 截面截面 A 與與 BMPa 6 .442120 d d RmlMPa 9 .2722220 d d Rml圓管強度足夠圓管強度足夠 R050