曲線積分ppt課件

1、1積分區(qū)域積分區(qū)域積分區(qū)域積分區(qū)域定積分定積分二重積分二重積分三重積分三重積分D曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分一型：對(duì)弧長(zhǎng)一型：對(duì)弧長(zhǎng)二型：對(duì)坐標(biāo)二型：對(duì)坐標(biāo)一型：對(duì)面積一型：對(duì)面積二型：對(duì)坐標(biāo)二型：對(duì)坐標(biāo)Stokes 公式公式高斯公式高斯公式格林公式格林公式2第一型第一型(對(duì)弧長(zhǎng)對(duì)弧長(zhǎng))第二型第二型(對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo))兩型之間兩型之間的關(guān)系的關(guān)系規(guī)范方式規(guī)范方式物理意義物理意義計(jì)算方法計(jì)算方法類似處類似處不同處不同處曲線積分曲線積分 Lsyxfd),( Lszyxfd),( LyQxPdd, 0),( yxf當(dāng)當(dāng)zRyQxPLddd LLsQPyQxP)dcoscos(dd ),( ),(上上

2、為有向曲線弧為有向曲線弧其中其中Lyxyx .),(處處切切向向量量的的方方向向角角點(diǎn)點(diǎn)yx LyQxPWdd )()( tytxL ：設(shè)曲線設(shè)曲線 t1.都是化曲線積分為都是化曲線積分為 定積分計(jì)算。定積分計(jì)算。2.都要把曲線表示式都要把曲線表示式 代入被積函數(shù)。代入被積函數(shù)。tttsd)()(d22 積分下限積分下限 上限上限ttxd)(d ttyd)(d L方向：從方向：從AB積分下限為起點(diǎn)積分下限為起點(diǎn)A的的 t 值值上限為終點(diǎn)上限為終點(diǎn) B的的 t 值值此處下限是此處下限是 , 上限是上限是.1. 第第型、第型、第型曲線積分的比較型曲線積分的比較. ),( d),(MyxfsyxfL

3、件的質(zhì)量件的質(zhì)量的曲線型構(gòu)的曲線型構(gòu)線密度為線密度為表示表示 .所作的功所作的功到點(diǎn)到點(diǎn)從點(diǎn)從點(diǎn)沿沿BALL指曲線指曲線 AB QPF, 表表示示力力3第一型第一型(對(duì)面積對(duì)面積)第二型第二型(對(duì)坐標(biāo)對(duì)坐標(biāo))兩型之間兩型之間的關(guān)系的關(guān)系規(guī)范方式規(guī)范方式物理意義物理意義計(jì)算方法計(jì)算方法曲面積分曲面積分 Szyxfd),(. ),( d),(, 0),( MzyxfSzyxfzyxf殼的質(zhì)量殼的質(zhì)量的空間曲面薄的空間曲面薄面密度為面密度為表示表示當(dāng)當(dāng) yxzyxRxzzyxQzyzyxPdd),(dd),(dd),( 指空間曲面指空間曲面 cos, coscos ，其中其中.方方向向余余弦弦指指定

4、定一一側(cè)側(cè)的的法法線線向向量量的的為為曲曲面面 ),(yxzz ：設(shè)設(shè)曲曲面面 面面投投影影區(qū)區(qū)在在且且xOy 則則 上上側(cè)側(cè)yxzyxRdd),( 為有向曲面為有向曲面yxRxzQzyPdddddd , xyD域域?yàn)闉?xyDyxyxzzyxzyxfdd1),(,22 xyDyxyxzyxRdd),(, ),(yxzz ：設(shè)有向曲面設(shè)有向曲面 下側(cè)下側(cè)yxzyxRdd),( xyDyxyxzyxRdd),(, SRQPd)coscoscos( 則則. Szyxfd),( 2. 第第型、第型、第型曲面積分的比較型曲面積分的比較V 表表示示在在速速度度場(chǎng)場(chǎng) 側(cè)的流體的流量。側(cè)的流體的流量。指定一

5、指定一曲面曲面時(shí)間內(nèi)流向有向時(shí)間內(nèi)流向有向單位單位中中 , RQP4處置處置平面的曲線積分與二重積分的聯(lián)絡(luò)平面的曲線積分與二重積分的聯(lián)絡(luò)3. 格林公式格林公式 DLyxyPxQyQxPdd)(ddLDDLl DlLyxyPxQyQxPyQxPdd)(dddd(逆逆)(順順)圍圍成成由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線平平面面上上閉閉區(qū)區(qū)域域LDxOy . 11),(),( . 2CyxQyxPD 函函數(shù)數(shù)上上在在那么有那么有其中其中 L 是是 D 的整個(gè)正向邊境曲線的整個(gè)正向邊境曲線.假設(shè)：假設(shè)：特殊情況特殊情況(D是復(fù)連通的是復(fù)連通的)下，格林公式成為：下，格林公式成為：, yPxQD 內(nèi)又有內(nèi)

6、又有若在若在(逆逆)(逆逆) lLyQxPyQxPdddd 則則問題。問題。54. 平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題平面曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題; (1)是是單單連連通通區(qū)區(qū)域域平平面面區(qū)區(qū)域域 D;dd (2)(有有關(guān)關(guān)與與終終點(diǎn)點(diǎn)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，只只與與起起點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線積積分分BAyQxPABL 內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立；在在DxQyP (3). ddd),( (4)yQxPuyxuD 使使內(nèi)內(nèi)存存在在二二元元函函數(shù)數(shù)在在 ; 0dd (1) LyQxPLD上上的的積積分分為為零零，即即內(nèi)內(nèi)任任何何一一閉閉路路沿沿1),(),( (2)CyxQyxPD 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)在在：則則下下面面的的四四個(gè)個(gè)命命

7、題題等等價(jià)價(jià).假設(shè)其中一個(gè)成立，另外三個(gè)也成立。假設(shè)其中一個(gè)成立，另外三個(gè)也成立。等價(jià)的意義是：等價(jià)的意義是：設(shè)設(shè)65. 高斯公式高斯公式曲面積分與三重積分的聯(lián)絡(luò)曲面積分與三重積分的聯(lián)絡(luò) yxRxzQzyPVzRyQxPddddddd)( . 1圍成；圍成；由分片光滑的閉曲面由分片光滑的閉曲面空間閉區(qū)域空間閉區(qū)域 .),(),(),( . 21CzyxRzyxQzyxP 函函數(shù)數(shù)上上在在那么有那么有其中其中 是是 的整個(gè)邊境曲面的外側(cè)的整個(gè)邊境曲面的外側(cè).假設(shè)：假設(shè)： SRQPd)coscoscos( . ),( cos,cos,cos處處外外法法向向的的方方向向余余弦弦在在點(diǎn)點(diǎn)是是zyx .

8、處置處置問題問題.76.曲面積分與曲面無關(guān)的條件曲面積分與曲面無關(guān)的條件. ; (1)是是空空間間二二維維單單連連通通區(qū)區(qū)域域G. 0 (3)內(nèi)內(nèi)恒恒成成立立在在GzRyQxP 無無關(guān)關(guān)，與與所所取取的的曲曲面面 dddddd (1)yxRxzQzyP.),(),(),( (2)1CzyxRzyxQzyxPG 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)在在：內(nèi)內(nèi)下下面面的的三三個(gè)個(gè)命命題題等等價(jià)價(jià)則則在在 G設(shè)設(shè)的的只只與與 邊邊界界曲曲線線有有關(guān)關(guān)；;0,dddddd (2)中中任任一一閉閉曲曲面面是是其其中中GyxRxzQzyP .8;.7. Stokes 公式公式曲線積分與曲面積分的聯(lián)絡(luò)曲線積分與曲面積分的聯(lián)絡(luò) .

9、1閉閉曲曲線線，為為分分段段光光滑滑的的空空間間有有向向假設(shè)：假設(shè)：向向曲曲面面，為為邊邊界界的的分分片片光光滑滑的的有有是是以以 處置處置問題問題 97. Stokes 公式公式曲線積分與曲面積分的聯(lián)絡(luò)曲線積分與曲面積分的聯(lián)絡(luò) yxyPxQxzxRzPzyzQyRdd)(dd)(dd)( . 1閉閉曲曲線線，為為分分段段光光滑滑的的空空間間有有向向 . 2內(nèi)內(nèi)，在在內(nèi)內(nèi)的的空空間間區(qū)區(qū)域域在在包包含含曲曲面面 那么有那么有假設(shè)：假設(shè)：向向曲曲面面，為為邊邊界界的的分分片片光光滑滑的的有有是是以以 .的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手法法則則的的正正向向與與 .),(),(),(1CzyxRzyxQzy

10、xP 函函數(shù)數(shù) RyQxPdzdd處置處置問題問題.或或記記為為 RQPzyxyxxzzydddddd. dzdd RyQxP. 10*8 空間曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題空間曲線積分的四個(gè)等價(jià)命題.; (1)是是一一維維單單連連通通區(qū)區(qū)域域空空間間區(qū)區(qū)域域 G與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)，內(nèi)內(nèi)曲曲線線積積分分在在 )(ddd (2)ABLzRyQxPG內(nèi)恒成立；內(nèi)恒成立；在在，GyRzQzPxRxQyP (3) . dddd),( (4)zRyQxPuzyxuG 使使內(nèi)存在函數(shù)內(nèi)存在函數(shù)在在; 0ddd (1) LzRyQxPLG的的積積分分為為零零，即即內(nèi)內(nèi)任任一一閉閉曲曲線線沿沿.),(),(),(

11、(2)1CzyxRzyxQzyxPG 內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)在在：則則下下面面的的四四個(gè)個(gè)命命題題等等價(jià)價(jià)設(shè)設(shè);有有關(guān)關(guān)與與終終點(diǎn)點(diǎn)BA只只與與起起點(diǎn)點(diǎn).11;.9. 散度散度 的的散散度度。記記為為 設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA zRyQxPA div ),(),( zyxzyxAzRyQxP在在點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為向向量量場(chǎng)場(chǎng)則則數(shù)數(shù)量量函函數(shù)數(shù) 例：例：).div(gradgrad,),(2uuCzyxfu和和求求設(shè)設(shè) 解：解：,gradzyxfffu .)div(gradzzyyxxfffu .1210. 旋

12、度旋度 設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)在在空空間間直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系里里，. ),(),(),(),(kzyxRjzyxQizyxPzyxA 稱為向量場(chǎng)稱為向量場(chǎng)向量向量 )()()(kyPxQjxRzPizQyR ),(),(處處的的旋旋度度。記記為為在在點(diǎn)點(diǎn)zyxzyxA rotRQPzyxkjiA 例：例：.rot, ,222AzxyzxyA求求設(shè)設(shè) 解：解：,222zxRyzQxyP ,2 yzQRzy 由輪序?qū)ΨQ性，由輪序?qū)ΨQ性，.,.2rotxyzxyzA 13_._),( )(),( )4(則則曲曲線線質(zhì)質(zhì)量量為為上上任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的密密度度已已知知平平面面曲曲線線yx ttyytx x

13、 ._ ),(),( )1(所所作作的的功功為為到到點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)從從沿沿平平面面有有向向曲曲線線，則則已已知知變變力力BACFjyxQiyxPF ._ ),(),(),( )2(所所作作的的功功為為到到點(diǎn)點(diǎn)從從點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線沿沿空空間間，則則若若變變力力BACFkzyxRjzyxQizyxPF ._ ),(),(),( )3(的的流流量量為為內(nèi)內(nèi)流流過過曲曲面面單單位位時(shí)時(shí)間間，則則流流體體在在若若流流速速 kzyxRjzyxQizyxPV11.曲線積分和曲面積分的運(yùn)用曲線積分和曲面積分的運(yùn)用: 填空填空. AByQxPWdd ABzRyQxPWddd yxRxzQzyPdddddd ttytxty

14、txMd)()()(),(22.14;.二二 以下計(jì)算對(duì)嗎？以下計(jì)算對(duì)嗎？.,: ,dd . 122233所圍區(qū)域所圍區(qū)域?yàn)闉檎蛘蛴酶窳止接?jì)算用格林公式計(jì)算LDayx LxyyxL 解：解： yxyxxyyxDL d)d(3dd2233 aD yxyPxQ)(322 a 34 yxaD dd32 x0yL 上上，定定義義在在區(qū)區(qū)域域因因?yàn)闉镈yx)(322 .0222ayx .上上不不是是定定義義在在曲曲線線 L正正確確解解法法是是： rrryxyxDD dd3d)d(3222 . 234a .以上解法對(duì)嗎？以上解法對(duì)嗎？.15;. xyDyxzyxszyxIddd2222二二2. 22

15、22222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：解：a 型型。屬屬于于第第的的積積分分是是對(duì)對(duì)球球面面面面積積因因?yàn)闉?I , I正正確確解解法法是是： yxyxaayxayxIxyD dd22222222 .以上解法對(duì)嗎？以上解法對(duì)嗎？.d 22 szyxI計(jì)計(jì)算算Dxyyozx21 1 2,:2221yxaz .ddd222yxyxaas ,:2222yxaz ,:222ayxDxy .ddd222yxyxaas xyDyxyxaayxayxdd)(22222222,:222ayxDxy . 0 .16;.0)dd(dd xyx

16、yDDyxzyxzI二二3. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：解：a 是是對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分，因因?yàn)闉?I代代入入。應(yīng)應(yīng)將將),(yxzz xyDyxyxaIdd222.以上解法對(duì)嗎？以上解法對(duì)嗎？.dd yxzI計(jì)計(jì)算算Dxyyozx 1 2,:2221yxaz ,:2222yxaz .化化成成二二重重積積分分時(shí)時(shí)， xyDyxyxa)dd(222 xyDyxyxadd2222型型。屬屬于于第第II arrra022 2 0dd2 .3 43a 17;. xyxyDDyxyyxyI)dd(dd0)

17、dd(dd xyxyDDyxyyxyI二二4. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面，的外側(cè)表面，：球面：球面解：解：a ，也也是是對(duì)對(duì)坐坐標(biāo)標(biāo)的的曲曲面面積積分分 I代代入入。已已經(jīng)經(jīng)將將 ),(yyxzz .以上解法對(duì)嗎？以上解法對(duì)嗎？.dd yxyI計(jì)算計(jì)算Dxyyozx 1 2,:2221yxaz ,:2222yxaz .化化成成二二重重積積分分時(shí)時(shí)，型型。屬屬于于第第II取上側(cè)；取上側(cè)；取下側(cè)取下側(cè). 0 18;.52 34dddazyxaI 二二5. 2222222ayxxOyDazyxxy 平面上的圓域：平面上的圓域：為為的外側(cè)表面

18、，的外側(cè)表面，：球面：球面解：解：a rrrI ddd sin22.以上解法對(duì)嗎？以上解法對(duì)嗎？.dddddd 222 xzyzzyxyyxzxI計(jì)算計(jì)算yozx.222zyxRQPzyx 使使用用高高斯斯公公式式時(shí)時(shí)，函函數(shù)數(shù) arr04 0 20ddsind .5 45a . 所所圍圍球球體體是是球球面面其其中中 上上。上上，不不是是球球面面定定義義在在球球體體 正正確確解解法法是是：19;.組成的分段光滑曲線。組成的分段光滑曲線。的直線段的直線段與連接點(diǎn)與連接點(diǎn)間的劣弧間的劣弧之之圓介于點(diǎn)圓介于點(diǎn)是以原點(diǎn)為圓心的單位是以原點(diǎn)為圓心的單位，BCCBABBALsyxL)2 , 1(,)1 ,

19、 0(),0 , 1( d)( . 1 線線。組組成成的的有有向向分分段段光光滑滑曲曲的的線線段段到到上上從從點(diǎn)點(diǎn)與與直直線線的的有有向向弧弧段段到到上上從從點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 . 22 部部分分。的的第第一一卦卦限限介介于于是是曲曲面面， 402 d)(1 . 32222 zyxzSSyxzzS部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd . 422 yhzyxzSzyxyS三 判別積分的類型并計(jì)算4個(gè)20 022200222002220022202222d d)D( ; d d)C( d d)

20、B( ; dd)A( ._ dd )3(RRRRyxzIRzyxSRRRS的的下下半半球球面面的的下下側(cè)側(cè)，則則是是.d)D( ;d2)C( ;d)B( ; d )A( ._d)0 , 0()1 , 1( )1(1001201102 yyxxyxyxyxBAxyLL的的一一段段弧弧，則則到到從從點(diǎn)點(diǎn)為為曲曲線線 36)D( ; 36)C( ; 18)B( ; 18)A( ._ d)3(d)( 9)4()1( )2(22 LyyxxxyyxL則則線線，按按順順時(shí)時(shí)針針方方向向的的邊邊界界曲曲是是圓圓域域四四 課堂練習(xí)課堂練習(xí). 1. 單項(xiàng)選擇題單項(xiàng)選擇題BCB212. 計(jì)算題計(jì)算題所所作作的的功

21、功。力力方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)一一周周，試試求求場(chǎng)場(chǎng)的的逆逆時(shí)時(shí)針針的的作作用用下下，沿沿著著圓圓周周在在場(chǎng)場(chǎng)力力的的點(diǎn)點(diǎn)，力力場(chǎng)場(chǎng)中中設(shè)設(shè)有有平平面面力力場(chǎng)場(chǎng) 4 )1(4)1(41 )1(222222FyxFMjyxxiyxyF . )0( )()()( )2(22233233RyxRzkRzjRyiRxA的的上上側(cè)側(cè)的的流流量量面面通通過過上上半半球球求求流流速速場(chǎng)場(chǎng) d 1)(ed )e(e3 d ),( )( )1( 2 ),( d 1)(ed )e(e3 )( 0)0( ),( )( 1 )3(2o2oyxxxyyuyxuxyxuxOyyxxxyyxxxxxxxx ，使使，求求出出一一個(gè)

22、個(gè)函函數(shù)數(shù)題題得得到到的的利利用用的的全全微微分分。平平面面上上某某一一函函數(shù)數(shù)是是使使，求求上上連連續(xù)續(xù)可可微微，且且在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)22前往首頁.23組組成成的的分分段段光光滑滑曲曲線線。的的直直線線段段與與連連接接點(diǎn)點(diǎn)的的劣劣弧弧之之間間圓圓介介于于點(diǎn)點(diǎn)是是以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓心心的的單單位位，BCCBABBALsyxL)2 , 1(, )1 , 0(),0 , 1( d)( oxyA(1,0)B(0,1)C(1,2)解解 Lsyxd)( BCAByxsyx)ds(d)(三三1.其中，其中， tytxABsincos: d )()(d22ttytxs 1 : x yBC dt d )(1

23、d2xxys d 2 x )ds( Lyx d210 x 22 . d)sin(cos2 ttt24線。線。組成的有向分段光滑曲組成的有向分段光滑曲的線段的線段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)與直線與直線的有向弧段的有向弧段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)是曲線是曲線，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C (1,4)解解三三2.1 BCABL. 212d)211(xxxx4121 21 xx 49 . 12d41x也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：25線。線。組成的有向分段光滑曲組成的有向分段光滑曲的線段的線段到到上從點(diǎn)上從

24、點(diǎn)與直線與直線的有向弧段的有向弧段到到上從點(diǎn)上從點(diǎn)是曲線是曲線，BCCByABBAxyLyxxyL)4 , 1(4 )4 , 2()1 , 1( d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)D解解1 CAL Dyxxy dd)11(22. yxxyy12241d)11(d 先先 x 4122123d)1(yyyy43 L d1d143 CAyxxy d14314 y 49 .三三2.26oxyz的的第第一一卦卦限限部部分分。介介于于是是曲曲面面， 402 d)(1 2222 zyxzSSyxzzS4解解三三3.Dxy2 :22yxzS dd1d22yxzzzyx dd122yx

25、yx d)1(22 SSzyx原原式式 dd1322 xyDyxyx 08:22 zyxDxy其其中中： 220220d13drrr 原原式式用平面極坐標(biāo)用平面極坐標(biāo) 2202220)d(1123drr 220232)(12 r 13 .2227部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzSzyxySoxyz解解類型：類型：II 型曲面積分型曲面積分三三4.S由第一卦限和第二卦限中的錐面由第一卦限和第二卦限中的錐面S1和和S2構(gòu)成構(gòu)成.221:yzxS 其上側(cè)在其上側(cè)在yOz平面的投影為負(fù)；平面的投影為負(fù)；其上側(cè)在其上側(cè)在yOz平面的投影為正平面的投影為正.222:y

26、zxS 21SSS yzDzyyyzdd22 yzDzyyyzdd222hyzohz = yDyz yzDzyyyzdd)(22Dyz 圖形？圖形？ y先先. 64h .S1S2. dd20220 zhyyzyz.也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：28部部分分。上上側(cè)側(cè)的的是是曲曲面面，0 )0( dd22 yhzyxzSzyxySoxyz解解類型：類型：II 型曲面積分型曲面積分需補(bǔ)助側(cè)面需補(bǔ)助側(cè)面S 右側(cè)和半圓頂面右側(cè)和半圓頂面S半圓下側(cè)半圓下側(cè). SSSvxPd半半圓圓 xyDyxyxhyd)d(22hhDxy 圖形？圖形？ 極坐標(biāo)極坐標(biāo). 64h . )d(d sin02 0 hrrhr 三三4. vyd hyxDzyxyxy22dddS xyDS半半圓圓，又因又因 0dd Szyxy，半圓半圓 0dd Szyxy. 6dd4hzyxy