數(shù)值分析教案

1、數(shù)值分析教案土建學(xué)院工程力學(xué)系年月、課程基本信息1、課程英文名稱：Numerical Analysis2、課程類別：專業(yè)基礎(chǔ)課程3、課程學(xué)時：總學(xué)時324、學(xué)分： 25、先修課程：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、C 語言6、適用專業(yè)：工程力學(xué)二、課程的目的與任務(wù)：數(shù)值分析是工程力學(xué)專業(yè)的重要理論基礎(chǔ)課程，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支。 其主要任務(wù)是介紹進行科學(xué)計算的理論方法，即在計算機上對來自科學(xué)研究和工程實際中的數(shù)學(xué)問題進行數(shù)值計算和分析的理論和方法。通過本課程的學(xué)習(xí)， 不僅使學(xué)生初步掌握數(shù)值分析的基本理論知識，而且使學(xué)生具備一定的科學(xué)計算的能力、分析問題和解決問題的能力，為學(xué)習(xí)后繼課程以及將來從事科學(xué)計算

2、、計算機應(yīng)用和科學(xué)研究等工作奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。三、課程的基本要求：1 掌握數(shù)值分析的常用的基本的數(shù)值計算方法2掌握數(shù)值分析的基本理論、分析方法和原理3 能利用計算機解決科學(xué)和工程中的某些數(shù)值計算應(yīng)用問題，增強學(xué)生綜合運用知識的能力4 了解科學(xué)計算的發(fā)展方向和應(yīng)用前景四、教學(xué)內(nèi)容、要求及學(xué)時分配：（一 ） 理論教學(xué)：引論 （ 2 學(xué)時）第一講（1-2 節(jié)）1教學(xué)內(nèi)容：數(shù)值分析 （ 計算方法 ） 這門課程的形成背景及主要研究內(nèi)容、研究方法、主要特點；算法的有關(guān)概念及要求；誤差的來源、意義、及其有關(guān)概念。數(shù)值計算中應(yīng)注意的一些問題。2重點難點：算法設(shè)計及其表達法；誤差的基本概念。數(shù)值計算中應(yīng)注意的

3、一些問題。3教學(xué)目標：了解數(shù)值分析的基本概念；掌握誤差的基本概念：誤差、 相對誤差、誤差限、相對誤差限、有效數(shù)字；理解有效數(shù)字與誤差的關(guān)系。學(xué)會選用相對較好的數(shù)值計算方法。A 算法B 誤差典型例題第一章 插值方法（4 學(xué)時）第二講（3-4 節(jié)）1 .教學(xué)內(nèi)容：代數(shù)插值多項式的存在唯一性；Lagrange 插值及其誤差估計。差商、 差分的概念與性質(zhì)，Newton 插值公式及其余項。2重點難點：Lagrange 插值基函數(shù)、插值公式的構(gòu)造、插值余項。差商表、差分表，Newton 插值公式的構(gòu)造。3教學(xué)目標：了解插值問題的背景及提法、代數(shù)插值多項式的存在唯一性；掌握Lagrange 插值基函數(shù)及其構(gòu)

4、造法。1 問題的提出2 拉格朗日查值公式3 插值余項典型例題第三講（5-6 節(jié)）教學(xué)內(nèi)容：重點難點：差商表、差分表，Newton 插值公式的構(gòu)造。教學(xué)目標：理解差商、差分的定義及其性質(zhì)，掌握Newton 插值公式及其余項。4 牛頓插值公式5 埃爾米特插值典型例題第四講（7-8 節(jié)）1教學(xué)內(nèi)容：曲線擬合的概念、直線擬合、多項式擬合、正則方程組。2重點難點：擬合曲線的類型、正則方程組的建立、擬合多項式的求解。3教學(xué)目標：了解曲線擬合的概念、對給出的一組數(shù)據(jù)點，能判斷其擬合曲線的類型、建立相應(yīng)的正則方程組、求得擬合多項式6 曲線擬合的最小二乘法典型例題第二章 數(shù)值積分與數(shù)值微分（6 學(xué)時）第五講（9

5、-10 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：代數(shù)精度的概念、插值型的求積公式、牛頓-柯特斯公式、數(shù)值積分的誤差估計。2重點難點：代數(shù)精度的概念、插值型的求積公式、牛頓-柯特斯公式、數(shù)值積分的誤差估計。3教學(xué)目標：了解代數(shù)精度的概念、掌握插值型的求積公式、牛頓-柯特斯公式；對給出的一組數(shù)據(jù)點，能正確使用插值型的求積公式、牛頓-柯特斯公式進行數(shù)值計算，并能夠進行誤差分析。1機械求積2牛頓柯特斯公式典型例題第六講（11-12 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：梯形法的遞推化、龍貝格公式、龍貝格算法程序設(shè)計2重點難點：龍貝格算法的思想、龍貝格算法加速的過程、龍貝格算法程序設(shè)計3教學(xué)目標：了解梯形法的遞推化的方法、掌握龍貝格算法的加速過

6、程、能利用變步長的梯形法和龍貝格公式計算實際問題、編寫龍貝格算法程序3龍貝格算法典型例題第七講（13-14 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：通過對高斯公式的定義的講解，介紹什么是高斯公式、什么是高斯點、什么是高斯求積系數(shù)；然后對高斯點的基本特性進行分析分析，推導(dǎo)出節(jié)點是高斯點的充分必要條件，從而引導(dǎo)出幾種求高斯點的方法及勒讓德多項式。從微分的定義出發(fā)，用差商引導(dǎo)出幾個微分的數(shù)值方法；再對中心差商公式，介紹一種加速的方法；然后利用插值公式，推導(dǎo)出插值型的數(shù)值微分公式并進行誤差估計。2重點難點：高斯點的基本特性、正交多項式、高斯點的計算3教學(xué)目標：理解高斯公式的定義、掌握高斯點的基本特性、能利用梯形法的遞推化的

7、方法、掌握龍貝格算法的加速過程、能利用勒讓德多項式得出幾個低階的高斯公式并能利用高斯公式解決實際問題。了解差商公式及插值型求導(dǎo)公式，并能利用它們進行數(shù)值微分的計算。4 高斯公式5數(shù)值微分典型例題第三章 常微分方程數(shù)值解（4 學(xué)時）第八講（15-16 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：Euler 方法： Euler 公式，單步顯式公式極其局部截斷誤差；后退Euler 公式，單步隱式公式極其局部截斷誤差；梯形公式，預(yù)測校正公式與改進Euler 公式。2重點難點：Euler 公式，預(yù)測校正公式與改進Euler 公式3教學(xué)目標：了解歐拉方法的幾何意義、對給出的初值問題，能利用Euler 公式，改進Euler 公式進行

8、微分方程數(shù)值求解1歐拉法2改進歐拉法典型例題第九講（17-18 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：龍格 -庫塔方法：龍格-庫塔方法的設(shè)計思想、二階龍格-庫塔方法、三階龍格-庫塔方法、四階龍格-庫塔方法、變步長的龍格-庫塔方法；亞當(dāng)姆斯方法：亞當(dāng)姆斯格式、亞當(dāng)姆斯預(yù)報 -效正系統(tǒng)、誤差分析。2重點難點：龍格-庫塔方法的設(shè)計思想；各階龍格-庫塔方法系數(shù)的確定。3教學(xué)目標：理解龍格-庫塔方法的設(shè)計思想，熟悉二階龍格-庫塔方法的推導(dǎo)，能利用龍格-庫塔方法進行微分方程數(shù)值求解。了解亞當(dāng)姆斯格式。3 龍格庫塔法4亞當(dāng)姆斯典型例題第四章 方程求根的迭代法（4 學(xué)時）第十講（19-20 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：首先， 簡單介紹二分

9、法；然后講解迭代法的設(shè)計思想、通過對同一方程的不同迭代格式的計算結(jié)果的分析，推導(dǎo)出迭代收斂性定理及局部迭代迭代收斂性定理。然后對收斂速度進行分析。講解迭代加速的方法，并介紹埃特金加速算法的程序設(shè)計。2重點難點：牛頓迭代法及局部收斂性、迭代法及收斂性定理3教學(xué)目標：了解歐拉方法的幾何意義、對給出的初值問題，能利用Euler 公式，改進Euler 公式進行數(shù)值求解1二分法2迭代法的概念典型例題第十一講（21-22 節(jié)）2 教學(xué)內(nèi)容：首先介紹牛頓迭代公式及其幾何意義，分析其收斂速度；然后利用牛頓迭代公式推導(dǎo)出開方公式，并分析其收斂速度；講解牛頓下山法的基本思想及下山因子的選取。最后介紹牛頓迭代法的程

10、序設(shè)計。2重點難點：牛頓迭代法及局部收斂性、牛頓下山法及下山因子的選取3教學(xué)目標：掌握牛頓迭代法，能利用牛頓迭代法進行方程求根的數(shù)值計算。并能夠編制相應(yīng)的應(yīng)用程序。3牛頓法典型例題第五章 線性方程組的迭代法（2 學(xué)時）第十二講（23-24 節(jié)）3 教學(xué)內(nèi)容：首先通過例子介紹解線性方程組的迭代法的基本思想；然后介紹雅可比迭代公式及其程序設(shè)計；介紹高斯-塞德爾迭代公式；超松馳迭代法及其程序設(shè)計；以及迭代公式的矩陣表示。2重點難點：雅可比迭代法、高斯塞德爾迭代法、超松馳迭代法3教學(xué)目標：掌握三種迭代公式，能利用這三種迭代公式進行線性方程組的迭代求解，并編制相應(yīng)的應(yīng)用程序。1雅可比迭代法4 高斯塞德爾

11、迭代法3超松馳迭代法典型例題第六章 線性方程組的直接法（4 學(xué)時）第十三講（25-26 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：線性方程組白消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的計算過程；三種消去法的程序設(shè)計。2重點難點：約當(dāng)消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法3教學(xué)目標：了解線性方程組的解法；掌握約當(dāng)消去法、Gauss 消去法、Gauss 列主元素消去的基本思想；能利用這三種消去法對線性方程組進行求解，并編制相應(yīng)的應(yīng)用程序。1、約當(dāng)消去法2、Gauss消去法3、Gauss列主元素消去法典型例題第十四講（27-28 節(jié)）1 教學(xué)內(nèi)容：三對角方程組及其解的唯一性定理、追趕法的計算公式、追

12、趕法的代數(shù)基礎(chǔ)。2重點難點：唯一性定理、追趕法的計算公式、追趕法的代數(shù)基礎(chǔ)3教學(xué)目標：了解追趕法的基本思想、掌握追趕法的計算公式，能運用追趕法對線性方程組進行求解。1、三對角方程組2、追趕法的計算公式3、追趕法的代數(shù)基礎(chǔ)典型例題第十五講（29-30 節(jié)）總復(fù)習(xí)(二)實驗教學(xué):實驗一、二 插值方法(4學(xué)時)(1) 實驗?zāi)康模?1) 學(xué)會拉格朗日插值、牛頓插值等基本方法(2) 設(shè)計出相應(yīng)的算法，編制相應(yīng)的函數(shù)子程序(3) 會用這些函數(shù)解決實際問題2 .實驗內(nèi)容(1)設(shè)計拉格朗日插值算法，編制并調(diào)試相應(yīng)的函數(shù)子程序(2)設(shè)計牛頓插值算法，編制并調(diào)試相應(yīng)的函數(shù)子程序(3)給定函數(shù)四個點的數(shù)據(jù)如下：X1

13、.12.33.95.1Y3.8874.2764.6512.117試用拉格朗日插彳1確定函數(shù)在x=2.101 , 4.234處的函數(shù)值。(4)已知/ 1J4 2,J9 3,用牛頓插值公式求 J5的近似值。3 .實驗原理寫出本次實驗所用算法的算法步驟敘述或畫出算法程序框圖4 .實驗環(huán)境及實驗文件存檔名寫出實驗環(huán)境及實驗文件存檔名5 .實驗結(jié)果及分析輸出計算結(jié)果，CPU時間，結(jié)果分析和小結(jié)等。實驗三數(shù)值微積分(2學(xué)時)1 .實驗?zāi)康模?1)學(xué)會復(fù)化梯形、復(fù)化辛浦生求積公式的應(yīng)用(2)學(xué)會數(shù)值微分方法的應(yīng)用(3)設(shè)計出相應(yīng)的算法，編制相應(yīng)的函數(shù)子程序(4)會用這些函數(shù)解決實際問題2 .實驗內(nèi)容(1)設(shè)

14、計復(fù)化梯形公式求積算法，編制并調(diào)試相應(yīng)的函數(shù)子程序(2)設(shè)計復(fù)化辛浦生求積算法，編制并調(diào)試相應(yīng)的函數(shù)子程序(3)設(shè)計一種數(shù)值微分算法，編制并調(diào)試相應(yīng)的函數(shù)子程序(4)分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛浦生公式計算定積分1 sin x0 xdx取 n=2, 4, 8, 16,精確解為 0.94608313、實驗原理寫出本次實驗所用算法的算法步驟敘述或畫出算法程序框圖4 .實驗環(huán)境及實驗文件存檔名寫出實驗環(huán)境及實驗文件存檔名5 .實驗結(jié)果及分析輸出計算結(jié)果，CPU時間，結(jié)果分析和小結(jié)等。實驗四 估計水塔白水流量(2學(xué)時)1 .實驗?zāi)康模?1)學(xué)會對實際問題的分析方法(2)學(xué)會利用所學(xué)的知識解決實際問題(3

15、)設(shè)計出相應(yīng)的算法，編制相應(yīng)的應(yīng)用程序2 .實驗內(nèi)容某居民區(qū)，其自來水是有一個圓柱形水塔提供，水塔高 12.2m,塔的直徑為17.4m,水 塔是由水泵根據(jù)水塔中的水位自動加水，一般水泵每天工作兩次。 按照設(shè)計，當(dāng)水塔中的水位降低至最低水位，約 8.2m時，水泵自動啟動加水。當(dāng)水位升至最高水位，約 10.8m時， 水泵停止工作。下表給出了某一天的測量記錄，測量了28個時刻的數(shù)據(jù)，但由于水泵正向水塔供水，由3個時刻無法測量到水位(表中為一)。時刻00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位9.6779.4799.3089.1258.9828.814.8.686時刻7.0067

16、.9288.9679.98110.92510.94512.032水位8.5258.3888.220一一10.82010.500時刻12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662時刻19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220一10.82010.59110.35410.180試建立數(shù)學(xué)模型，計算居民的用水速度和日總用水量。3、實驗原理寫出本次實驗所用算法的算法步驟敘述或畫出算法程序框圖4 .實驗環(huán)境及實驗文件存檔名寫出實

17、驗環(huán)境及實驗文件存檔名6 .實驗結(jié)果及分析輸出計算結(jié)果，CPU時間，結(jié)果分析和小結(jié)等。實驗五常微分方程的數(shù)值解法(2學(xué)時)1 .實驗?zāi)康模?1)學(xué)會顯式歐拉公式的使用(2)學(xué)會二階龍格-庫塔方法的使用(3)設(shè)計出相應(yīng)的算法，編制相應(yīng)的函數(shù)子程序(4)會用這些函數(shù)解決實際問題2 .實驗內(nèi)容(1)分別取 h=0.05, N=10; h=0.025, N=20; h=0.01 , N=50,用顯式歐拉方法求 解微分方程初值問題：y'=-50y, y(0)=10（ 2）某跳傘者在t=0 時刻從飛機上跳出，假設(shè)初始時刻的垂直速度為0，且跳傘者垂直下落。已知空氣阻力為F=cv2,其中c為常數(shù)，v為垂直速度，向下方方向為正。寫 出 此 跳 傘 者 的 速 度 滿 足 的 微 分 方 程 ； 若 此 跳 傘 者 的 質(zhì) 量 為M=70kg， 且 已 知c=0.27kg/m ，利用二階龍格-庫塔公式計算t<=20s 的速度（取h=0.1s ）3 、 實驗原理寫出本次實驗所用算法的算法步驟敘述或畫出算法程序框圖4實驗環(huán)境及實驗文件存檔名寫出實驗環(huán)境及實驗文件存檔名4 、 實驗結(jié)果及分析