§2.1一維隨機(jī)變量及其分布ppt課件

1、2.1 一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布劉妍麗主講劉妍麗主講隨機(jī)變量離散型非離散型連續(xù)型混合型奇異型）分布分布列密度函數(shù)分布函數(shù)一、一維隨機(jī)變量一、一維隨機(jī)變量l1、符號(hào)表示：用大寫字母、符號(hào)表示：用大寫字母X,Y,Z,表示；表示；l隨機(jī)變量的取值用小寫字母隨機(jī)變量的取值用小寫字母x,y,z,表示。表示。l2、引入作用：把隨機(jī)事件數(shù)量化、引入作用：把隨機(jī)事件數(shù)量化l3、定義：實(shí)值函數(shù)、定義：實(shí)值函數(shù)X= ,使樣本空間使樣本空間 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)l4、分類：、分類：l 離散型：取值有限個(gè)或無限可列個(gè)離散型：取值有限個(gè)或無限可列個(gè)l 非離散型非離散型 連續(xù)型：取值充滿區(qū)間連續(xù)型：取值充滿區(qū)間l 混

2、合型：既非離散型又非連混合型：既非離散型又非連續(xù)型續(xù)型)(wXR)(wX舉例說明隨機(jī)變量的定義舉例說明隨機(jī)變量的定義l研究產(chǎn)品，有放回抽樣。研究產(chǎn)品，有放回抽樣。l 一次檢驗(yàn)的產(chǎn)品不合格率為一次檢驗(yàn)的產(chǎn)品不合格率為p.l（1一個(gè)產(chǎn)品。一個(gè)產(chǎn)品。X表示不合格品數(shù)，則取值為表示不合格品數(shù)，則取值為0,1l（2兩個(gè)產(chǎn)品。兩個(gè)產(chǎn)品。X表示不合格品數(shù)，則取值為表示不合格品數(shù)，則取值為0,1,2X01P1-ppX012P2002)1 ()(ppC1112)1 ()(ppC0222)1 ()(ppCl三個(gè)產(chǎn)品。三個(gè)產(chǎn)品。 X表示不合格品數(shù)，則取值為表示不合格品數(shù)，則取值為0,1,2,3ln個(gè)產(chǎn)品。個(gè)產(chǎn)品。

3、X表示不合格品數(shù)，則取值為表示不合格品數(shù)，則取值為0,1,2,3,nl這就是二項(xiàng)分布常見的離散分布）這就是二項(xiàng)分布常見的離散分布）X0123P3003)1 ()(ppC2113)1 ()(ppC1223)1 ()(ppC0333)1 ()(ppCnippCiXPiniin,.,1 , 0,)1 ()()(二、分布函數(shù)二、分布函數(shù)l1、DEF lX的分布函數(shù)的分布函數(shù)l可以看作可以看作 的概率累加的概率累加l所有區(qū)間的概率都可以用所有區(qū)間的概率都可以用Xx的概率表示出來的。的概率表示出來的。l2、分布函數(shù)的運(yùn)算、分布函數(shù)的運(yùn)算),()(xXPxFX,(xabxxxRxabxxx )(aXP )(

4、aXP)0()()()(aFaFaXPaXP)0()0()()(aFbFaXPbXP)() 0()()(aFbFaXPbXP)()()()(aFbFaXPbXP) 0(1)(1bFbXP)(1)(1bFbXP)(aF)0()0(aFaXP )(aXP)(bXaP)(bXaP)(bXaP )(bXP )(bXP3、分布函數(shù)的性質(zhì)、分布函數(shù)的性質(zhì)l（1單調(diào)性單調(diào)性l由單調(diào)性得，由單調(diào)性得，l即即)()(,2121xFxFxx則若1x2x則,21xx 21xXxX)()(21xXPxXP)()(21xFxFl（2有界性：有界性：l 根據(jù)概率的非負(fù)性，得到根據(jù)概率的非負(fù)性，得到1)(0 xF)()(x

5、XPxF1)(0 xF0)()()(PXPF1)()()(PXPF)()()()()()(limlimlimlimxFnFnXPnXPXPFxnnn)()()()()()(limlimlimlimxFnFnXPnXPXPFxnnn0)(F1)(F)(limxFx)(limxFxl（3右連續(xù)性：右連續(xù)性：l證明：證明：)()0(,000 xFxFx)1()0()0(000limnxXPxXPxFn.3 , 2 , 1;10iixxi令)()( )()()(lim11111nniiiiiixFxFxFxFxXxP)0()1()()(000limlimxFnxXPxFxFnnn)()()()(111

6、001iiixXxPxXxPxFxF例例2.1.1 構(gòu)造分布函數(shù)構(gòu)造分布函數(shù))(xF)(xXPrx 0X解：令X表示此點(diǎn)到圓心的距離，則取值0,rrxr122rx2)(rx95941)32(1)32(rFrXP 幾何概率9532)32(222rrrrXP例例2.1.2 判斷是否為分布函數(shù)判斷是否為分布函數(shù)l（1）2arctan1)(xxFxxF(x)102121單調(diào)性)()(,2121xFxFxx則有界性1)(; 0)(; 1)(0FFxF右連續(xù)性)()0(,000 xFxFx左連續(xù)性)()0(,000 xFxFx（Cauchy柯西分布F(x)是分布函數(shù)。是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。單調(diào)有界的

7、連續(xù)函數(shù)xccxxF10)()()(,2121xFxFxx則1)(; 0)(; 1)(0FFxF)()0(,000 xFxFx（2）c1xF(x)單調(diào)性有界性右連續(xù)性F(x)是分布函數(shù)。是離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。單調(diào)有界的右連續(xù)階梯函數(shù)單點(diǎn)分布單點(diǎn)分布（3）11102100)(xxxxxFxF(x)01211)()(,2121xFxFxx則1)(; 0)(; 1)(0FFxF)()0(,000 xFxFx單調(diào)性有界性右連續(xù)性F(x)是分布函數(shù)。但X既不是離散型也不是連續(xù)型三、分布列三、分布列離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量l1、DEFl列表描述列表描述 ,.,.,2 , 1,)(nipxXPii

8、XP.1x2xnx1p2pnpl2、性質(zhì)、性質(zhì)l（1非負(fù)性非負(fù)性l（2正則性正則性l例例2.1.30ip1ip用于判定是否為分布列3、常見計(jì)算、常見計(jì)算l（1分布列分布列l(wèi)（2分布列分布列ip分布函數(shù)xxiipxXPxF)()(例例2.1.4概率bxaiipbXaP)(l（3分布函數(shù)分布函數(shù)l（4分布函數(shù)分布函數(shù))(xF分布列)0()()()()(iiiiiixFxFxXPxXPxXPp例例2.1.4概率)()()(aFbFbXaP常見分布常見分布l單點(diǎn)分布單點(diǎn)分布lX取值單點(diǎn)取值單點(diǎn)l分布列分布列 PX=c）=1l分布函數(shù)分布函數(shù) F(x)=01XcXc 其它例子其它例子:例例2.1.5l解

9、：令解：令X表示首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)，取值為表示首次遇到紅燈前已通過的路口數(shù)，取值為0,1,2,3。l因?yàn)槊總€(gè)信號(hào)燈顯示紅燈信號(hào)的時(shí)間相等，所以因?yàn)槊總€(gè)信號(hào)燈顯示紅燈信號(hào)的時(shí)間相等，所以P紅燈）紅燈）=P綠燈）綠燈）=1/2l法一：根據(jù)古典概率法一：根據(jù)古典概率l法二：根據(jù)獨(dú)立性法二：根據(jù)獨(dú)立性lAi=“第第i個(gè)信號(hào)燈紅燈個(gè)信號(hào)燈紅燈”，i=1,2,3lP(X=0)=P(A1)=1/2X0123P21221122211122211141)()()() 1(2121APAPAAPXP81)()()()()2(321321APAPAPAAAPXP81)()()()() 3(321321AP

10、APAPAAAPXP四、密度函數(shù)四、密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量l1、DEFl 則則p(x)為密度函數(shù)。為密度函數(shù)。l2、性質(zhì)、性質(zhì)l（1非負(fù)性非負(fù)性l（2正則性正則性l xdxxpxF)()(0)(xp1)()(dxxpF判定是否為密度函數(shù)判定是否為密度函數(shù)l3、常見計(jì)算、常見計(jì)算l（1） （3）l l（2） （4）)()(xFxpxdxxp)()()(xpxF)(xF)()(bXaPxpbadxxp)()()(bXaPxF)()(aFbF例例1.2.7 均勻分布均勻分布l解：解：112)()(1ccdxdxxpF21celsexxp01121)(1111212110)(1xxxdx

11、xxFx) 1 , 1(UX2111x)(xp例例2.1.8 三角分布三角分布21211222221)2()(102)(00)(10121202xxxxxxdxxxdxdxxpxxxdxdxxpxxFxxxxx)2 , 0( simponX210 x)(xpelsexxxxxp021210)(五、比較離散型與連續(xù)型五、比較離散型與連續(xù)型密度函數(shù)單調(diào)有界、連續(xù)函數(shù)連續(xù)型（ 是階段點(diǎn)）其它情況為0分布列單調(diào)有界、右連續(xù)、階梯函數(shù)離散型區(qū)間的概率點(diǎn)的概率特有分布描述分布函數(shù)取值,.,21nxxx),(baip)(xpxxiipxF)(xdxxpxF)()()(ixXP)0()(iixFxFix0)0

12、()(iixFxF0)()()(aFbFbXaPbxaiipbadxxp)()0()(iixFxF)(xF六、運(yùn)用六、運(yùn)用l例例2.1.10解：解：X表示壽命，那么表示壽命，那么elsexxxp010001000)(232|10001000)1500() 1 (150015002xdxxXP811632)1500()15004()2(4444XPCP小時(shí)只壽命都大于8180311)15004(1)150014()3(4小時(shí)只壽命都小于等于小時(shí)只壽命大于只中至少有PP433/22/1)1500()2000()1500|2000() 1500|2000()4(XPXPXXPP小時(shí)一只壽命大于小時(shí)壽

13、命大于例例2.1.11l解：解：X表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，取值表示這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，取值0， a）axaxkxxxF1000)(akkxaFaF1,1)()0(即axaxaxxxF1000)(), 0(aUXelseaxaxFxp001)()(例例2.1.12elsexxxpX0104)(30)() 1 ( aXP，X則為連續(xù)型隨機(jī)變量)()(, 1)()(axPaXPaXPaXP而403421)(adxxaXPa8409. 05 . 04a411431|405. 0)()2(bxdxxbXPbb9873. 095. 04b440133144)()(aadxxdxxaXPaXPaaaaatxaFdttp

14、dttpdxxpaF)(1)()()()(習(xí)題習(xí)題2.1 16題題 P(x)偶函數(shù)的分布函數(shù)的特殊性質(zhì)偶函數(shù)的分布函數(shù)的特殊性質(zhì)l（1）adxxpaFaF0)(5 .0)(1)(aax)(xp)()()(, 0)0(aXPaX，PxpX，PX偶函數(shù)而連續(xù)型21)0(XPaaadxxpdxxpdxxpdxxpaF000)(21)()()()(1)(2)|(|aFaXP)(1 2)|(|aFaXP1)(2)()()()()|(|aFdxxpdxxpdxxpdxxpaXPaaaa（2）（3）aax)(xp)(1 2)1)(2(1)|(|1)|(|aFaFaXPaXP例例2.1.3 擲兩顆骰子擲兩顆骰

15、子l(1)令令X為點(diǎn)數(shù)之和，則為點(diǎn)數(shù)之和，則X取值取值2,3,12X23456789101112P3613612C3613C3614C3615C3616C3615C3614C3613C3612C361因?yàn)榭倲?shù)確定，只須定第一顆骰子的可能性，則第二顆骰子就確定了。l（2令令Y為點(diǎn)為點(diǎn)6的個(gè)數(shù)，則的個(gè)數(shù)，則Y取值為取值為0,1,22 , 1 , 0,)65()61()(22iCiYPiiiY012P2002)65()61(C1112)65()61(C0222)65()61(Cl（3令令Z為最大點(diǎn)數(shù)，則為最大點(diǎn)數(shù)，則Z取值為取值為1,2,3,4,5,6Z123456P6,.,2 , 1,6) 1()(222iiiiZP222601 222612 222623 222634 222645 222656 例例2.1.4 由分布列求分布函數(shù)，求概率由分布列求分布函數(shù)，求概率X-123P0.250.50.25