第02章運(yùn)算方法和運(yùn)算器(3定點(diǎn)乘法運(yùn)算)

1、第二章第二章 運(yùn)算方法和運(yùn)算器運(yùn)算方法和運(yùn)算器* *數(shù)據(jù)的表示方法數(shù)據(jù)的表示方法* *定點(diǎn)和浮點(diǎn)加減運(yùn)算定點(diǎn)和浮點(diǎn)加減運(yùn)算* *定點(diǎn)乘運(yùn)算定點(diǎn)乘運(yùn)算* *定點(diǎn)除運(yùn)算定點(diǎn)除運(yùn)算* *定點(diǎn)運(yùn)算器的組成定點(diǎn)運(yùn)算器的組成 1.1.串行加法器的優(yōu)劣分析串行加法器的優(yōu)劣分析 不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡單；不需要很多器件，硬件結(jié)構(gòu)簡單； 速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時(shí)間至少是加法操速度太慢，執(zhí)行一次乘法操作的時(shí)間至少是加法操 作的作的n n倍；倍； 由于乘法操作大約占全部算術(shù)運(yùn)算的由于乘法操作大約占全部算術(shù)運(yùn)算的1/31/3，故采用，故采用高速乘法部件是非常必要的。高速乘法部件是非常必要的。 2.3.3 2

2、.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 設(shè)設(shè)n n位位被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示被乘數(shù)和乘數(shù)用定點(diǎn)小數(shù)表示( (定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用定點(diǎn)整數(shù)也同樣適用) ) 被乘數(shù)被乘數(shù) x x 原原x xf f . . x xn n1 1 x x1 1x x0 0 乘數(shù)乘數(shù) y y 原原y yf f . . y yn n1 1 y y1 1y y0 0 則乘積則乘積 z z 原原( (x xf fy yf f) )(0. (0. x xn n1 1 x x1 1x x0 0)(0. )(0. y yn n1 1 y y1 1y y0 0) ) 式中，式中，x xf f為被乘數(shù)符號(hào)，為被乘數(shù)符號(hào)， y yf f為乘

3、數(shù)符號(hào)。為乘數(shù)符號(hào)。 2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法2.2.乘法的手工算法乘法的手工算法(2) (2) 習(xí)慣方法求乘積的運(yùn)算過程：習(xí)慣方法求乘積的運(yùn)算過程： 設(shè)設(shè)0.1101,0.1101,0.10110.1011 0. 1 1 0 1 (x) 0. 1 0 1 1 (y) 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0+ 1 1 0 10. 1 0 0 0 1 1 1 1 (z)解解:(1) :(1) 乘積符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則乘積符號(hào)的運(yùn)算規(guī)則： 同號(hào)相乘為正，異號(hào)相乘為負(fù)。同號(hào)相乘為正，異號(hào)相乘為負(fù)。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法3.3.不帶符號(hào)的陣列乘法器不

4、帶符號(hào)的陣列乘法器設(shè)有兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù)設(shè)有兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù) Aam1a1a0 , Bbn1b1b0它們的數(shù)值分別為它們的數(shù)值分別為a和和b,即：即： 10101010102222njminjnmkkkjijijjmiiipbabaabp)()( )(2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法m-1a ai2ii0n-1b bj2jj0在二進(jìn)制乘法中在二進(jìn)制乘法中,被乘數(shù)被乘數(shù)A與乘數(shù)與乘數(shù)B相乘相乘,產(chǎn)生產(chǎn)生mn位乘積位乘積P： Ppmn1p1p0 乘積乘積P 的數(shù)值為的數(shù)值為: am-1 am-2 a1 a0 ) bn-1 b1 b0 am-1b0 am-2b0 a1b

5、0 a0b0 am-1b1 am-2b1 a1b1 a0b1 . . . . . .+) am-1bn-1 am-2bn-1 a1bn-1 a0bn-1pm+n-1 pm+n-2 pm+n-3 pn-1 p1 p0(1) (1) 習(xí)慣方法運(yùn)算過程：習(xí)慣方法運(yùn)算過程：2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法(2) (2) 并行乘法器并行乘法器 這種乘法器要實(shí)現(xiàn)這種乘法器要實(shí)現(xiàn)n n位位n n位時(shí)位時(shí), , 需要需要n n( (n n1)1)個(gè)全加器和個(gè)全加器和n n2 2個(gè)個(gè)“與與”門。門。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法

6、令令T Ta a為為“與門與門”的傳輸延遲時(shí)間，的傳輸延遲時(shí)間，T Tf f為全加器為全加器( (FA)FA)的進(jìn)位傳輸延遲時(shí)間，假定的進(jìn)位傳輸延遲時(shí)間，假定用用2 2級(jí)級(jí)“與非與非”（2 2T T）邏輯來實(shí)現(xiàn)邏輯來實(shí)現(xiàn)FAFA的進(jìn)的進(jìn)位鏈功能，那么就有：位鏈功能，那么就有：T Ta a T Tf f 2 2T T陣列乘法器延遲時(shí)間陣列乘法器延遲時(shí)間2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法BiCi&Ai&Ci+1&ACiBiCiAiBiACiBiCiAiBiCi+1 2TC1C2C32T2T3T3TCn-1Cn2T3TS0S1S2Sn-1ta( (n-1)n-1

7、)2 2T T3 3T T3T3TT Tm m T Ta a ( (n n2) 2) 6T 6T 3T 3T T Tf f (n-2) (n-2) T Tf f + 3T+ 3T 2 2T T( (n n2)2)6 6T T 3T 3T 2T 2T (n-2) (n-2) 2T + 3T2T + 3T (8 (8n n6)6)T T最壞情況下延遲途徑最壞情況下延遲途徑, ,即是沿著矩陣即是沿著矩陣P P4 4垂直線和最下面垂直線和最下面的一行。因而得的一行。因而得n n位位n n位不帶符號(hào)的陣列乘法器總的乘位不帶符號(hào)的陣列乘法器總的乘法時(shí)間為：法時(shí)間為： 例例16 16 已知兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)

8、制整數(shù)已知兩個(gè)不帶符號(hào)的二進(jìn)制整數(shù) A A 11011, 11011,B B 10101, 10101, 求每一部分乘積項(xiàng)求每一部分乘積項(xiàng)a ai ib bj j 的值與的值與p p9 9p p8 8p p0 0的值。的值。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 1 1 0 1 1 = A (2710) 1 0 1 0 1 = B (2110) 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 + 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 = P解解: a4b01 a3b01 a2b00 a1b01 a0b01 a4b10 a3b10

9、a2b10 a1b10 a0b10 a4b21 a3b21 a2b20 a1b21 a0b20 a4b30 a3b30 a2b30 a1b30 a0b30 a4b41 a3b41 a2b40 a1b41 a0b41 Pp9p8p7p6p5p4p3p2p1p01000110111 (56710)2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法4.4.帶符號(hào)的陣列乘法器帶符號(hào)的陣列乘法器(1) (1) 對(duì)對(duì)2 2求補(bǔ)器電路求補(bǔ)器電路例例1 1： 對(duì)對(duì)10101010求補(bǔ)。求補(bǔ)。 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0例例2 2： 對(duì)對(duì)10111011求補(bǔ)。求補(bǔ)。 1 0 1 1 0 1

10、 0 0 1 0 1 0 1方法（變補(bǔ)）：方法（變補(bǔ)）：從數(shù)的最右端從數(shù)的最右端a a0 0開始開始, ,由右向左由右向左, , 直到找出直到找出第一個(gè)第一個(gè)“1”,“1”,例如例如a ai i1, 01, 0i in n。這樣這樣, , a ai i以左的每一個(gè)輸入以左的每一個(gè)輸入位都求反位都求反, , 即即1 1變變0, 0, 0 0變變1 1。2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 1 0 1 0 0 1 1 0 12.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法E=0 E=0 則則 a ai i* * = = a ai iE=1 E=1 則則 a ai i* * = = a

11、ai i 變補(bǔ)變補(bǔ) 用這種對(duì)用這種對(duì)2 2求補(bǔ)器來轉(zhuǎn)換一個(gè)求補(bǔ)器來轉(zhuǎn)換一個(gè)( (n n1)1)位帶符號(hào)位帶符號(hào)的數(shù)，所需的總時(shí)間延遲為：的數(shù)，所需的總時(shí)間延遲為： t tTCTCn n2 2T T5 5T T(2(2n n5)5)T T 其中每個(gè)掃描級(jí)需其中每個(gè)掃描級(jí)需2 2T T延遲，而延遲，而5 5T T則是由于則是由于“與與”門和門和“異或異或”門引起的。門引起的。延遲時(shí)間：延遲時(shí)間：2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法(2) (2) 帶符號(hào)的陣列乘法器帶符號(hào)的陣列乘法器2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法包括求補(bǔ)級(jí)的乘法器又稱為包括求補(bǔ)級(jí)的乘法器又稱為符號(hào)求補(bǔ)的

12、陣列乘法器。符號(hào)求補(bǔ)的陣列乘法器。 在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個(gè)求補(bǔ)器在這種邏輯結(jié)構(gòu)中，共使用三個(gè)求補(bǔ)器: : 兩個(gè)算前求補(bǔ)器兩個(gè)算前求補(bǔ)器 作用是：將兩個(gè)操作數(shù)作用是：將兩個(gè)操作數(shù)A A和和B B在被不帶符號(hào)的乘法在被不帶符號(hào)的乘法陣列陣列( (核心部件核心部件) )相乘以前，先變成正整數(shù)。相乘以前，先變成正整數(shù)。 算后求補(bǔ)器算后求補(bǔ)器 作用則是：當(dāng)兩個(gè)輸入操作數(shù)的符號(hào)不一致時(shí)，作用則是：當(dāng)兩個(gè)輸入操作數(shù)的符號(hào)不一致時(shí)， 把運(yùn)算結(jié)果變成帶符號(hào)的數(shù)把運(yùn)算結(jié)果變成帶符號(hào)的數(shù)( (補(bǔ)碼補(bǔ)碼) )結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu): :2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 設(shè)設(shè)A A= =a an na an n

13、-1-1a a1 1a a0 0和和B B= =b bn nb bn n-1-1b b1 1b b0 0均為用定點(diǎn)均為用定點(diǎn)表示的表示的( (n n1)1)位帶符號(hào)整數(shù)。位帶符號(hào)整數(shù)。在必要的求補(bǔ)操作以后，在必要的求補(bǔ)操作以后，A A和和B B的碼值輸送給的碼值輸送給n nn n位不帶符號(hào)的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生位不帶符號(hào)的陣列乘法器，并由此產(chǎn)生2 2n n位的乘位的乘積積: : A AB BP PP P2 2n n1 1P P1 1P P0 0p p2 2n na an nb bn n 其中其中P P2 2n n為符號(hào)位。為符號(hào)位。運(yùn)算：運(yùn)算：2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法

14、帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器用于原碼乘法帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器用于原碼乘法 在原碼乘法中，算前求補(bǔ)和算后求補(bǔ)都不需要，在原碼乘法中，算前求補(bǔ)和算后求補(bǔ)都不需要，因?yàn)檩斎霐?shù)據(jù)都是立即可用的。因?yàn)檩斎霐?shù)據(jù)都是立即可用的。 例例 設(shè)設(shè)x=+15x=+15，y= -13y= -13，用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘用帶求補(bǔ)器的原碼陣列乘法求出乘積法求出乘積x x* *y=y=？ 解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)為原碼：解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)為原碼： xx原原= =0 01111 1111 yy原原= =1 111011101 因符號(hào)單獨(dú)考慮，所以：因符號(hào)單獨(dú)考慮，所以： | |X|=1111X|=1111，|y|=

15、1101|y|=11012.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 + 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 符號(hào)位運(yùn)算：符號(hào)位運(yùn)算：0 0 1=11=1 加上乘積符號(hào)位加上乘積符號(hào)位1 1，得：，得： x x* *yy原原= =1 11100001111000011 換算成二進(jìn)制數(shù)真值是換算成二進(jìn)制數(shù)真值是: : X X* *Y=(-11000011)Y=(-11000011)2 2=(-195)=(-195)10 10 十進(jìn)制乘法驗(yàn)證：十進(jìn)制乘法驗(yàn)證： 15 15* *（-13-13）= -19

16、5= -1952.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器用于補(bǔ)碼乘法需使用求補(bǔ)器。帶求補(bǔ)級(jí)的陣列乘法器用于補(bǔ)碼乘法需使用求補(bǔ)器。 例例 設(shè)設(shè)x=15x=15，y=-13y=-13，用帶求補(bǔ)器的補(bǔ)碼陣列乘法器用帶求補(bǔ)器的補(bǔ)碼陣列乘法器求出乘積求出乘積x x* *y=y=？并用十進(jìn)制乘法進(jìn)行驗(yàn)證。并用十進(jìn)制乘法進(jìn)行驗(yàn)證。 解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)用補(bǔ)碼表示：解：設(shè)最高位為符號(hào)位，輸入數(shù)據(jù)用補(bǔ)碼表示： xx補(bǔ)補(bǔ)=01111 =01111 yy補(bǔ)補(bǔ)=10011 =10011 乘積符號(hào)位運(yùn)算：乘積符號(hào)位運(yùn)算：X X0 0 Y Y0 0= 0 = 0 1=1 1=1 表示乘

17、積表示乘積為負(fù)的。為負(fù)的。 算前求補(bǔ)器輸出為算前求補(bǔ)器輸出為 | |X|=1111X|=1111，|y|=1101|y|=11012.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法2.3.3 2.3.3 原碼并行乘法原碼并行乘法 201122niiinnaaN補(bǔ)碼與真值轉(zhuǎn)換公式補(bǔ)碼與真值轉(zhuǎn)換公式: : 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1+ 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 因乘積為負(fù)的，所以算后求補(bǔ)器輸出因乘積為負(fù)的，所以算后求補(bǔ)器輸出時(shí)應(yīng)按負(fù)數(shù)求補(bǔ)碼的變換方法將結(jié)果變?yōu)闀r(shí)應(yīng)按負(fù)數(shù)求補(bǔ)碼的變換方法將結(jié)果變?yōu)椋? 1 0 0 0 0 1 1

18、1 1 0 0 0 0 1 1補(bǔ)補(bǔ)=00111101 =00111101 并在最并在最高位加上乘積符號(hào)高位加上乘積符號(hào)1 1，最后得補(bǔ)碼的乘積值，最后得補(bǔ)碼的乘積值 ： x x* *yy補(bǔ)補(bǔ)= = 1 10011110100111101。利用補(bǔ)碼與真值換算公式，補(bǔ)碼二進(jìn)制數(shù)真值是利用補(bǔ)碼與真值換算公式，補(bǔ)碼二進(jìn)制數(shù)真值是X X* *Y=Y=-1-1* *2 28 8+1+1* *2 25 5+1+1* *2 24 4+1+1* *2 23 3+1+1* *2 22 2+1+1* *2 20 0=(-195)=(-195)10 10 十進(jìn)制數(shù)乘法驗(yàn)證：十進(jìn)制數(shù)乘法驗(yàn)證： X X* *Y= 15Y

19、= 15* *（-13-13）= -195= -1952.3.4 2.3.4 補(bǔ)碼并行乘法補(bǔ)碼并行乘法1.1.補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換公式補(bǔ)碼與真值的轉(zhuǎn)換公式 補(bǔ)碼乘法因符號(hào)位參與運(yùn)算補(bǔ)碼乘法因符號(hào)位參與運(yùn)算, ,可以完成可以完成補(bǔ)碼數(shù)的補(bǔ)碼數(shù)的“直接直接”乘法乘法, ,而不需要求補(bǔ)級(jí)而不需要求補(bǔ)級(jí)（節(jié)省時(shí)間）。這種直接的方法排除了較（節(jié)省時(shí)間）。這種直接的方法排除了較慢的對(duì)慢的對(duì)2 2求補(bǔ)操作求補(bǔ)操作, ,因而大大加速了乘法過因而大大加速了乘法過程。程。 202niiia 20211niiia)(N= an-1=0 (N補(bǔ)補(bǔ)為正為正) an-1=1 (N補(bǔ)補(bǔ)為負(fù)為負(fù)) 現(xiàn)考慮一個(gè)定點(diǎn)補(bǔ)碼整數(shù)現(xiàn)考慮一

20、個(gè)定點(diǎn)補(bǔ)碼整數(shù) N N 補(bǔ)補(bǔ)a an n1 1a an n2 2a a1 1a a0 0，其中其中 a an n1 1是符號(hào)位。是符號(hào)位。 根據(jù)根據(jù) N N 補(bǔ)補(bǔ)的符號(hào)，補(bǔ)碼數(shù)的符號(hào)，補(bǔ)碼數(shù) N N 補(bǔ)補(bǔ)和真值和真值N N的關(guān)系，可以表示成：的關(guān)系，可以表示成：2.3.4 2.3.4 補(bǔ)碼并行乘法補(bǔ)碼并行乘法 將負(fù)權(quán)因數(shù)將負(fù)權(quán)因數(shù) -2-2n n-1-1強(qiáng)加到符號(hào)位強(qiáng)加到符號(hào)位a an n-1-1上，可以把上上，可以把上述方程組中的兩個(gè)位置表達(dá)式合并成下面的統(tǒng)一形式：述方程組中的兩個(gè)位置表達(dá)式合并成下面的統(tǒng)一形式： 201122niiinnaaN121212011 niiinnaaN)()(以

21、上兩式是等價(jià)的。以上兩式是等價(jià)的。2.3.4 2.3.4 補(bǔ)碼并行乘法補(bǔ)碼并行乘法 例例19 19 已知已知: : N N 補(bǔ)補(bǔ) 01101, - 01101, -N N 補(bǔ)補(bǔ)10011, 10011, 求求 N N 補(bǔ)補(bǔ), -, -N N 補(bǔ)補(bǔ)具有的數(shù)值。具有的數(shù)值。2.3.4 2.3.4 補(bǔ)碼并行乘法補(bǔ)碼并行乘法 解解: : N N 補(bǔ)補(bǔ)01101 01101 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為：N N0 02 24 41 12 23 31 12 22 20 02 21 11 12 20 0 ( (13)13)1010 N N 補(bǔ)補(bǔ)10011 10011 具有的數(shù)值為：具有的數(shù)值為： N N1 1

22、2 24 40 02 23 30 02 22 21 12 21 11 12 20 0 (-13)(-13)1010類型類型 邏輯符號(hào)邏輯符號(hào)操作操作0類類加法器加法器 X Y) ZCS X Y) Z C(S)2類類加法器加法器XY) Z (C)S 3類類加法器加法器 X Y)Z(C)(S)1類類加法器加法器 這種加法器通過把正權(quán)或負(fù)權(quán)加到輸入這種加法器通過把正權(quán)或負(fù)權(quán)加到輸入/ /輸出端，輸出端，可以歸納出四類加法單元?？梢詺w納出四類加法單元。2.2.一般化的全加器形式一般化的全加器形式對(duì)對(duì)0 0類、類、3 3類全加器而言有：類全加器而言有：S SXYZXYZXYZXYZXYZXYZXYZXY

23、ZC CXYXYYZYZZXZX0類類加法器加法器 X Y) ZCS3類類加法器加法器 X Y)Z(C)(S)一位全加器真值表一位全加器真值表輸入輸入輸出輸出XiYiZiSiCi10000000110010100110110010101011100111111四類全加器的邏輯方程式四類全加器的邏輯方程式 X Y) Z C(S)2類類加法器加法器XY) Z (C)S 1類類加法器加法器對(duì)對(duì)1類、類、2類全加器類全加器,則有則有SXYZXYZXYZXYZCXYXZYZ3.3.直接補(bǔ)碼陣列乘法器直接補(bǔ)碼陣列乘法器利用混合型全加器可以構(gòu)成直接補(bǔ)碼數(shù)陣列乘利用混合型全加器可以構(gòu)成直接補(bǔ)碼數(shù)陣列乘法器。法器。設(shè)被乘數(shù)設(shè)被乘數(shù)A A和乘數(shù)和乘數(shù)B B是兩個(gè)是兩個(gè)5 5位二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)，即：位二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)，即： A A( (a a4 4)