現(xiàn)代光學(xué)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)ppt課件

1、第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1 1第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3.1光波的標(biāo)量衍射理論3.2衍射問題的頻率域分析3.3基爾霍夫衍射公式的近似3.4透鏡的變換特性3.5光學(xué)成像系統(tǒng)的空間變換特性3.6光學(xué)成像系統(tǒng)的頻率特性及其傳遞函數(shù)3.7實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)3.8相干成像和非相干成像的比較第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2 23.1光波的標(biāo)量衍射理論3.1.1光衍射的數(shù)理基礎(chǔ)1. 衍射概述索末菲把“不能用反射或折射來解釋的、光線對直線光路的任何偏離定義為衍射。衍射是波動(dòng)光學(xué)的普遍現(xiàn)象，幾何光學(xué)認(rèn)為光按直線傳播是衍射理論的“短波長近似。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3 31818年，菲涅耳綜合惠更斯原理和干涉原理，認(rèn)為次級

2、波源是彼此相干的，由此得到惠更斯-菲涅耳原理： 波前上任何一個(gè)未受阻擋的點(diǎn)，都可以看做一個(gè)次級波源，在其后空間任一點(diǎn)P處的光振動(dòng)則是這些次級波源產(chǎn)生的次級波相干疊加的結(jié)果,其數(shù)學(xué)表達(dá)式為 (3.1-1)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4 4圖 3.1-1惠更斯-菲涅耳原理示意圖第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5 52. 亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程是討論基爾霍夫衍射積分定理的物理基礎(chǔ)。根據(jù)1.1節(jié)的知識，光波場中P點(diǎn)在t時(shí)刻的光振動(dòng)用復(fù)值標(biāo)量函數(shù)u(P,t)表示，對于單色光場，有 (3.1-2)式中: U(P)為光波場中P點(diǎn)的復(fù)振幅； 為光波的時(shí)間頻率。根據(jù)電磁場理論，光波場中的每一個(gè)無源點(diǎn)上，光振動(dòng)u(P,t)滿足

3、波動(dòng)方程 (3.1-3)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6 6式中: c為光在真空中的速度; 為拉普拉斯算符。把式(3.1-2)代入式(3.1-3)，得到自由空間單色光場滿足的波動(dòng)方程為 (3.1-4)式中: k=2/c=2/為波矢量的大小。該式稱為亥姆霍茲方程。這表明自由空間傳播的任何單色光波的復(fù)振幅必然滿足亥姆霍茲方程。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7 73. 格林定理格林定理是基爾霍夫衍射積分定理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。格林定理表述為設(shè)V是封閉曲面S所包圍的體積，P是空間任一點(diǎn)，U(P)和G(P)為兩個(gè)位置坐標(biāo)的任意復(fù)函數(shù)，如果U(P)、 G(P)及其一階、二階偏微商在S上和S內(nèi)都單值、連續(xù)，則有 (3.1-5)第3

4、章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8 83.1.2基爾霍夫衍射公式1. 基爾霍夫積分定理為了應(yīng)用格林定理，取如圖3.1-2所示的積分面S，S包圍的體積為V。令觀察點(diǎn)P在封閉曲面S內(nèi)，選擇格林函數(shù)G為以P點(diǎn)為中心，向外發(fā)散的單位振幅的球面波函數(shù)，它在空間任一點(diǎn)P處的復(fù)振幅為 (3.1-6)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)9 9圖 3.1-2積分曲面的選取第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)10 10式中: r為P與P間的距離。由于函數(shù)G(P)在P點(diǎn)的值為無窮大，因此為滿足格林定理的要求，把P點(diǎn)從V內(nèi)去掉。為此，以P點(diǎn)為中心，以為半徑做小球面S，這樣在以S和S包圍的體積V上應(yīng)用格林定理，有 (3.1-7)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)11 11

5、在V中,G和U都滿足亥姆霍茲方程把上式代入式(3.1-7)，得到第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)12 12于是式(3.1-7)簡化為或 (3.1 -8) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)13 13在S面上，n與r處處反向，有故 (3.1-9)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)14 14令0，則有 (3.1-10)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)15 15式中: 為S面對P點(diǎn)所張開的立體角。將式(3.1-10)代入式(3.1-8)得 (3.1-11)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)16 162. 基爾霍夫衍射公式現(xiàn)在討論無限大不透明屏幕上透光孔所引起的衍射問題。衍射裝置如圖3.1-3所示，從點(diǎn)源P0發(fā)出的單色光波，傳播并通過不透明屏S上的一個(gè)小孔

6、，在屏后的P點(diǎn)觀察。假設(shè)開孔的線度、P0點(diǎn)和P點(diǎn)到孔的距離遠(yuǎn)大于波長，P0和P到上任一點(diǎn)P1的矢徑分別為r0和r。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)17 17圖 3.1-3平面屏衍射裝置示意圖 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)18 18為了應(yīng)用基爾霍夫積分定理求P點(diǎn)的復(fù)振幅，選擇包圍P點(diǎn)閉合曲面S由三部分組成： 開孔部分S； 屏幕后表面部分面積S1； 以P點(diǎn)為中心，半徑為R的部分球面SR。由基爾霍夫積分定理得到光場中P的復(fù)振幅為 (3.1-12)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)19 191) 索末菲輻射條件和SR上的積分對于SR面上的積分，由于基爾霍夫積分定理中積分面的選擇的任意性，可以假定R， 則SR為趨于無限大的半球殼。

7、考慮到U和G在SR面上都按1/R隨R的增大而減小，所以，R時(shí)，在SR面上被積函數(shù)趨于零，但同時(shí)積分面的面積SR按R2增大，故不能直接認(rèn)為SR面上的積分為零。下面具體討論SR面上的積分。當(dāng)R很大時(shí)，在SR面上有 (3.1-13)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2020因而 (3.1-14)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)21 21式中: 為SR 對P點(diǎn)所張開的立體角。因?yàn)閨eikR|在SR 上有界，所以只要滿足條件 (3.1-15)在SR上的積分就等于零。我們稱式(3.1-15)為索末菲輻射條件。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2222索末菲輻射條件在有限大小光源照明的條件下都能滿足。簡單證明如下： 首先設(shè)照明光源為點(diǎn)光源，

8、由圖3.1-3可知，當(dāng)R時(shí)，就SR面上光場復(fù)振幅而言，P0和P間的距離以及屏幕的影響都可以忽略不計(jì)，于是SR面上光場復(fù)振幅可近似取為第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2323將其代入式(3.1-15)等號左面得到第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)24242) 基爾霍夫邊界條件及其衍射公式在忽略了SR面上的積分之后，要求解P點(diǎn)的復(fù)振幅，仍需要知道S和S1上的光場復(fù)振幅分布U以及。為此基爾霍夫提出以下兩個(gè)邊界條件： (1) 在透光孔面上，光場復(fù)振幅分布U及其微商與沒有屏幕時(shí)完全相同； (2) 在屏幕的背光面上，光場復(fù)振幅分布U及其微商恒為零。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2525應(yīng)用基爾霍夫邊界條件，式(3.1-12)可簡化為

9、(3.1-16)寫成一般形式為 (3.1-17)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2626根據(jù)衍射裝置給定的條件r0, r； k=2/1/r0, 1/r。對于S面上點(diǎn)P1可得第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2727同理第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2828將以上各式代入式(3.1-17)，整理后得 (3.1-18)或者寫成 (3.1-19)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)2929對于近軸點(diǎn)光源照明近軸衍射孔的情況，n和r0的夾角很小，在S面上各點(diǎn)都近似有cos(n,r0)1，則式(3.1-19)可改寫為 (3.1-20)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)30303. 巴比涅原理設(shè)有一個(gè)衍射屏，衍射孔為0，在衍射場中P點(diǎn)產(chǎn)生確定的光波復(fù)振幅U0(

10、P)。若把衍射孔分為1和2兩部分，并且1的透光部分正好是2的不透光部分(這樣的兩個(gè)屏稱為互補(bǔ)屏)，三者關(guān)系可表示為1+2=0，如圖3.1-4所示。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)31 31圖 3.1-4巴比涅原理第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3232對于上述衍射屏，應(yīng)用基爾霍夫衍射公式可得即 (3.1-21)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3333巴比涅原理在研究光的夫瑯和費(fèi)衍射中非常有用，比如用平行光照明衍射屏，并在透鏡的焦平面上觀察衍射光分布,只要0足夠大，則除了焦點(diǎn)之外，其余部分有U0(P)=0，由巴比涅原理，除去該點(diǎn)之外有 (3.1-22)相應(yīng)光強(qiáng)分布為 (3.1-23)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)34343.1.3瑞

11、利-索末菲衍射公式索末菲通過巧妙地選擇格林函數(shù)G，排除了邊界條件中對U和同時(shí)規(guī)定為零的要求，從而克服了基爾霍夫理論的不自恰性。在解決了SR上的積分之后，式(3.1-12)簡化為 (3.1-24)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3535索末菲選擇的格林函數(shù)為 (3.1-25)或 (3.1-26)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3636式(3.1-25)和式(3.1-26)均由兩項(xiàng)組成，第一項(xiàng)仍為中心在觀察點(diǎn)P的單位球面波函數(shù)，第二項(xiàng)為中心在P對衍射屏的鏡像點(diǎn)P的單位球面波函數(shù)，r和r分別為P和P到空間任一點(diǎn)的矢徑。兩個(gè)單位球面波具有相同的波長(和波矢大小k)，相位相反或相同，如圖3.1-5所示。第3章 傅里葉光學(xué)基

12、礎(chǔ)3737圖 3.1-5平面衍射屏的索末菲理論第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3838對于式(3.1-25)表示的格林函數(shù)有 (3.1-27)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)3939考慮到P和P的鏡像關(guān)系，在整個(gè)衍射屏面上，恒有r=r，cos(n,r)=cos(n,r)，這些結(jié)論應(yīng)用到式(3.1-25)和式(3.1-27)，在屏幕面S1+S上可得 (3.1-28)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4040把式(3.1-28)代入式(3.1-24)得 (3.1-29) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)41 41可以看出，由于格林函數(shù)G-的正確選擇，使積分式中只包含復(fù)振幅U，不包含因此只需對U應(yīng)用基爾霍夫邊界條件就夠了，即假定:(1) 在

13、透光孔面上，光場復(fù)振幅分布U與沒有屏幕時(shí)完全相同； (2) 在屏幕的背光面上，光場復(fù)振幅分布U恒為零。于是式(3.1-29)簡化為 (3.1-30) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4242采用與基爾霍夫衍射公式相同的討論方法，令衍射孔由來自P0點(diǎn)的發(fā)散球面波照明，則有以及 (3.1-31)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)43433.1.4非單色光的衍射1. 復(fù)色光波的衍射公式設(shè)不透明衍射屏上有通光孔，用復(fù)色光照明,復(fù)色光場用空間和時(shí)間變量的復(fù)值函數(shù)u(P1，t)表示，現(xiàn)求解在孔后的衍射場中觀察點(diǎn)P處的光擾動(dòng)u(P，t)。采用時(shí)間域頻譜分析方法，將u(P1，t)和u(P，t)用傅里葉逆變換表示為各種單色光成分的線

14、性組合： (3.1-32) (3.1-33)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4444式中: U(P1，)和U(P，)分別為u(P1，t)和u(P，t)的時(shí)間頻譜函數(shù); 為光波時(shí)間頻率。為了遵循我們前面的約定， 即用ei2t表示頻率為的單位振幅的平面波，作變量代換=， 以上兩式變?yōu)?(3.1-34) (3.1-35) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4545對每一種單色光成分，由單色光衍射公式有 (3.1-36)把式(3.1-36)代入式(3.1-35)，并注意到k=2/c，=c/，可得 (3.1-37)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4646對式(3.1-34)求時(shí)間t的微商有 (3.1-38)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)474

15、7同理有 (3.1-39)因此式(3.1-37)可寫成 (3.1-40)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)48482. 準(zhǔn)單色光波的衍射公式實(shí)際光源都不是理想的單色光源，發(fā)出的光波都有一定的線寬。如果光源的線寬比光波的平均頻率小得多， 滿足光源發(fā)出的光波稱為準(zhǔn)單色光。對于準(zhǔn)單色光，式(3.1-37)中的、可用 來代替，而指數(shù)因子中k當(dāng)kr2時(shí)，可近似為 這時(shí)式(3.1-37)可改寫為 (3.1-41)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)4949再利用式(3.1-34)得到 (3.1-42)如果我們把光振動(dòng)的復(fù)標(biāo)量函數(shù)重新定義為 (3.1-43)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5050式中： U(P1,t)和U(P,t)分別表示P

16、1點(diǎn)和P點(diǎn)處準(zhǔn)單色光的復(fù)振幅，它們都是空間坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)。把式(3.1-43)代入式(3.1-42)得到 (3.1-44)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)51 513.2衍射問題的頻率域分析3.2.1頻譜的傳播效應(yīng)把式(3.1-30)寫成直角坐標(biāo)變量的函數(shù) (3.2-1) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5252式中: (x,y,z)和(x1,y1,z1)分別表示衍射場中P點(diǎn)和衍射屏上P1點(diǎn)的坐標(biāo)。利用二維傅里葉逆變換將U(x1,y1, z1)和U(x,y,z)展開為 (3.2-2) (3.2-3)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5353式中: A(1,1)和Az(,)分別為U(x1,y1,z1)和U(x,y,z)的頻譜

17、函數(shù)。所以衍射問題既可以看成是空域中復(fù)振幅U(x1,y1,z1)到U(x,y,z)的傳播，也可以看成是頻率域中頻譜分布A(1,1)到Az(,)的傳播。為了導(dǎo)出A和Az之間的關(guān)系，令z1=0，即衍射屏位于z=0的平面上。在無源點(diǎn)上U滿足亥姆霍茲方程( +k2)U=0，應(yīng)用到式(3.2-3)得到 (3.2-4) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5454因此應(yīng)有 (3.2-5)由于Az(,)僅是空間坐標(biāo)z的函數(shù)，與x、y無關(guān)，故有第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5555由式(3.2-5)可以得到如下坐標(biāo)變量的微分方程: (3.2-6)當(dāng)z=0時(shí)，應(yīng)有Az(,)=A(,)，那么式(3.2-6)的一個(gè)基本解為 (3.2-7

18、)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5656分析式(3.2-7)，可以看出頻譜傳播的物理意義： (1) 當(dāng)()2+()21時(shí), 1()2()21/2為虛數(shù)。令則式(3.2-7)可改寫為 (3.2-8) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)5858把式(3.2-7)代入式(3.2-3)，得到衍射屏面上頻譜表示的空間復(fù)振幅表達(dá)式為 (3.2-9)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)59593.2.2衍射過程的頻譜分析1. 衍射孔對光波頻率的影響 設(shè)衍射屏的振幅透射系數(shù)為t(x1,y1)，照明光波入射在衍射屏面上的復(fù)振幅為U1(x1,y1)， 出射光波為U(x1,y1)，三者關(guān)系可表示為 (3.2-10)根據(jù)傅里葉變換的乘積定理有 (3.

19、2-11)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6060式中: A、A1和T分別為U、U1和t的頻譜函數(shù)。在單位振幅的單色平行光波垂直入射照明的情況下，有A1(,)=(,)，因而 (3.2-12)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)61 612. 光波傳播過程的“系統(tǒng)分析光波傳播過程的傳遞函數(shù)可由式(3.2-7)直接求得 (3.2-13)若傳播距離至少大于幾個(gè)波長，則衰逝波可以忽略，得到傳遞函數(shù)為 (3.2-14)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6262 3.3基爾霍夫衍射公式的近似3.3.1基爾霍夫衍射公式的近似處理方法1. 衍射分區(qū)為了區(qū)分不同情況給出不同條件下的衍射近似公式，首先仔細(xì)分析無限大不透明屏上的孔被單色平面光波垂直入

20、射照明的衍射結(jié)果。實(shí)驗(yàn)得到的衍射場中離衍射屏不同距離各平面上的光強(qiáng)度分布，即衍射花樣如圖3.3-1所示。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6363圖 3.3-1平面孔的衍射及其分區(qū)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)64642. 菲涅耳近似及夫瑯和費(fèi)近似由衍射分區(qū)的討論可知，不同的衍射區(qū)，衍射花樣的主要特征不同，以下討論不同衍射區(qū)相應(yīng)光場分布的數(shù)學(xué)描述方法。如圖3.3-2 所示，設(shè)衍射孔處于(x1,y1,0)面，光源位于(x0,y0,z0)面(圖上未畫出)； 則衍射場中(x,y,z)面上的光場分布由基爾霍夫衍射公式給出 (3.3-1)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6565圖 3.3-2衍射公式近似討論示意圖第3章 傅里葉光學(xué)基

21、礎(chǔ)6666首先假設(shè)滿足近軸條件： 光源、衍射孔和(x,y,z)面上觀察范圍都分布在z軸附近； 并且光源的線度和衍射孔的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離，衍射孔的線度和觀察范圍的線度遠(yuǎn)小于它們之間的距離。則有cos(n,r)1，cos(n,r0)1，1/r1/z，于是式(3.3-1)可改寫為 (3.3-2)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6767式中: r=z2+(xx1)2+(yy1)21/2。在近軸條件下，(xx1)2+(yy1)2/z21，故r可展開為第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6868若滿足菲涅耳近似條件： 即 (3.3-3)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)6969得到近似式 (3.3-4) 此近似式稱為菲涅耳近似。第3

22、章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7070把式(3.3-4)代入式(3.3-2)，得到菲涅耳衍射公式 (3.3-5)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)71 71如果對衍射孔作更嚴(yán)格的限制，使其滿足夫瑯和費(fèi)近似條件即 (3.3-6)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7272可進(jìn)一步得到近似式 (3.3-7)應(yīng)用式(3.3-7)，可得到反映衍射花樣基本保持不變的夫瑯和費(fèi)衍射公式 (3.3-8)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)73733.3.2菲涅耳及夫瑯和費(fèi)衍射的“系統(tǒng)分析1. 菲涅耳衍射的“系統(tǒng)分析菲涅耳衍射公式，即式(3.3-5)可寫成卷積形式 (3.3-9)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7474由于輸出U(x,y)是輸入U(xiǎn)(x1,y1)的疊加積分，

23、因此菲涅耳衍射系統(tǒng)具有線性空不變的性質(zhì)，而式(3.3-9)中h(xx1,yy1)=就是系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)。根據(jù)線性不變系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)與傳遞函數(shù)之間的關(guān)系有 (3.3-10)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7575應(yīng)用卷積定理有 (3.3-11)式中: A、A 分別為U、U 的頻譜函數(shù)。由于系統(tǒng)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)和相應(yīng)的傳遞函數(shù)已知，對于給定的任意形狀的衍射孔，我們可以很方便地求得衍射光場分布或其頻譜函數(shù)。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7676此外，菲涅耳衍射公式還可以寫成傅里葉變換形式 (3.3-12) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)7777可見，除了與(x1,y1)無關(guān)的振幅和相位因子外，菲涅耳衍射可以看做函數(shù)U(x1,y1

24、)的傅里葉變換。當(dāng)用會(huì)聚球面波照明時(shí)，復(fù)振幅U(x1,y1)中將會(huì)含有相位因子當(dāng)z=z0時(shí)，可與相位因子相消，使衍射積分對應(yīng)的傅里葉變換大大簡化。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)78782. 夫瑯和費(fèi)衍射的“系統(tǒng)分析與式(3.3-12)類似，夫瑯和費(fèi)衍射公式可改寫為 (3.3-13) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)79793.3.3夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)例1. 矩孔的夫瑯和費(fèi)衍射如圖3.3-3所示，衍射孔的寬、長分別為a和b，求離孔距離為z的觀察平面上的夫瑯和費(fèi)衍射分布。顯然，衍射屏后表面上的復(fù)振幅分布為 (3.3-14)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8080圖 3.3-3矩孔夫瑯和費(fèi)衍射第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)81 81代入式

25、(3.3-13)得 (3.3-15)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8282衍射強(qiáng)度分布為 (3.3-16)這表明夫瑯和費(fèi)衍射光強(qiáng)分布與波長的平方成反比，與衍射孔到觀察面的距離的平方成反比，與衍射孔面積的平方成正比，并在x=y=0處取最大值。矩孔夫瑯和費(fèi)衍射沿x軸的相對光強(qiáng)分布如圖 3.3 -4 所示。 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8383圖 3.3-4矩孔夫瑯和費(fèi)衍射光強(qiáng)分布曲線第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)84842. 圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射 設(shè)衍射孔的半徑為R，如圖3.3-5所示,則衍射屏后表面上的復(fù)振幅分布為 (3.3-17)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8585代入式(3.3-13)得(3.3-18) 第3章 傅里葉光

26、學(xué)基礎(chǔ)8686圖 3.3-5圓孔夫瑯和費(fèi)衍射第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8787光強(qiáng)分布為 (3.3-19)圓孔衍射的光強(qiáng)分布一般稱為愛里圖樣，中央亮斑稱為愛里斑。愛里圖樣的相對強(qiáng)度分布曲線如圖3.3-6所示。表3.3-1列出了愛里圖樣的一些極大值和極小值點(diǎn)的數(shù)據(jù)。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8888圖 3.3-6圓孔夫瑯和費(fèi)衍射光強(qiáng)分布曲線第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)8989第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)9090由表3.3-1按第一級極小值點(diǎn)得到愛里斑的半徑為 (3.3-20)式中： D=2R為衍射孔的直徑。應(yīng)該指出的是，圓孔夫瑯和費(fèi)衍射的絕大部分光能量都衍射到了愛里斑范圍內(nèi)。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)91 913. 正

27、弦振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射一般來說，衍射屏的振幅透射系數(shù)t(P1)可以是模小于1的任意復(fù)值函數(shù)，當(dāng)t(P1)為實(shí)值函數(shù)時(shí)，衍射屏只對入射光波的振幅起調(diào)制作用，而不影響其相位分布，這樣的衍射屏稱為振幅衍射屏。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)9292這里討論正弦振幅光柵的夫瑯和費(fèi)衍射，其振幅透射系數(shù)為 (3.3-21) 式中： 02z/l 時(shí)， 即光柵總條(縫)數(shù)N=0l2，三個(gè)sinc函數(shù)之間的交疊可以忽略不計(jì)，所以計(jì)算衍射光強(qiáng)時(shí)，交叉相乘項(xiàng)可以忽略，于是有 (3.3-23)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)9696由此得到的正弦型振幅光柵夫瑯和費(fèi)衍射的相對強(qiáng)度分布曲線如圖3.3-8所示?？梢?正弦型振幅光柵的夫瑯和費(fèi)

28、衍射只有0和1級頻譜分量。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)9797圖 3.3-8正弦振幅光柵衍射光強(qiáng)分布曲線第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)9898若用多色平面波垂直入射照明，所有波長的夫瑯和費(fèi)0級衍射極大值都位于x=0處，而由正1級衍射極大值位置方程x0z=0可求得1級衍射譜線的色散為 (3.3-24)又根據(jù)瑞利判據(jù)可求得1級衍射譜線的分辨本領(lǐng)為 (3.3-25)可見，正弦型振幅光柵的分辨本領(lǐng)正比于光柵的總條(縫)數(shù)。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)99994. 正弦相位光柵的夫瑯和費(fèi)衍射若衍射屏只對入射光波的相位起調(diào)制作用，不影響其振幅分布，則稱之為相位衍射屏。而正弦相位光柵的振幅透射系數(shù)為 (3.3-26)式中： m

29、/2為相位調(diào)制度，m為任意實(shí)數(shù)。應(yīng)用數(shù)學(xué)關(guān)系第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)100100有(3.3-27) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)101101代入式(3.3-13)得到(3.3-28) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)102102沿x軸的光強(qiáng)分布為 (3.3-29)由式(3.3-29)可知，正弦相位光柵各級衍射分量的位置由x=n0z確定，而n級衍射分量的峰值強(qiáng)度等于(l2/z)2J2n(m/2)。 與正弦振幅光柵不同的是，正弦相位光柵衍射級次多, 但是可以通過適當(dāng)選擇m/2，使J0(m/2)=0，從而使零級衍射分量消失，將入射光波的能量轉(zhuǎn)移到分辨本領(lǐng)不等于零的高級衍射分量中去。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)103103圖

30、3.3-9 示出了調(diào)制度m/2=4 rad 時(shí)，光強(qiáng)I(x,0) 的曲線圖，其中以(l2/z)2為強(qiáng)度單位。而圖3.3-10給出了不同n值的J2n(m/2)隨m/2的變化曲線。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)104104圖 3.3-9正弦相位光柵衍射強(qiáng)度分布曲線 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)105105圖 3.3-10J2n(m/2)隨(m/2)的變化曲線第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1061063.3.4菲涅耳衍射計(jì)算 1. 圓孔的菲涅耳衍射1) 圓孔衍射的頻率域計(jì)算由衍射的系統(tǒng)分析，我們知道菲涅耳衍射系統(tǒng)是一線性不變系統(tǒng)，衍射光場的頻譜函數(shù)可以用衍射系統(tǒng)的傳遞函數(shù)求得。為此，假設(shè)用單位振幅的平面波垂直入射照明半徑

31、為R的圓孔，則衍射屏后表面上的復(fù)振幅為U(r1)=circ(r1/R)，相應(yīng)的頻譜函數(shù)為 (3.3-30)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)107107利用線性不變系統(tǒng)的性質(zhì)可求得衍射光場復(fù)振幅U(x,y)的頻譜函數(shù)為 (3.3-31)這就是圓孔菲涅耳衍射的空間頻譜分布，它表示觀察面上光波場不同空間頻率成分的含量及其相位延遲量。而頻譜強(qiáng)度分布為 (3.3-32)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1081082) 圓孔軸線上的菲涅耳衍射為求得圓孔軸線上的菲涅耳衍射光場分布，建立如圖3.3-11所示的柱坐標(biāo)系，衍射孔半徑為R，圓孔軸線與z軸重合，圓孔上任一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(r,)，觀察面上P點(diǎn)的坐標(biāo)為(,j,z)。假設(shè)用單位

32、振幅的平面波垂直入射照明的圓孔，則衍射屏后表面上的復(fù)振幅為U(r1)=circ(r/R)。 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)109109若觀察點(diǎn)P(,j,z)在z軸上，有=0，于是菲涅耳衍射積分式(3.3-5)可寫成 (3.3-33) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)110110相應(yīng)的光強(qiáng)分布為 (3.3-34)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)111111圖 3.3-11圓孔軸上菲涅耳衍射分析示意圖第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)112112光強(qiáng)分布隨z的變化曲線如圖3.3-12所示，隨著z的增大，I(0,j)在z等于，R2/5， R2/3， R2/處取極大值，在兩個(gè)極大值之間有一極小值零，這說明軸線上的光強(qiáng)有亮暗變化； 進(jìn)一步，當(dāng)

33、zR2/時(shí)，軸上衍射光強(qiáng)隨著z的增加而單調(diào)減小，I(0,j)不再有亮暗交替變化，即逐漸趨于滿足夫瑯和費(fèi)衍射條件。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)113113圖 3.3-12圓孔軸上菲涅耳衍射光強(qiáng)分布第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1141142. 直邊的菲涅耳衍射1) 矩形孔的菲涅耳衍射和菲涅耳積分設(shè)邊長為2a的方孔用單位振幅的單色平面波垂直入射照明，則衍射屏后表面的復(fù)振幅分布為 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)115115代入式(3.3-5)得(3.3-35) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)116116作變量代換： 式(3.3-35)簡化為 (3.3-36)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)117117其中積分上、下限分別為 (3.3-37

34、)為求解式(3.3-36)，引入菲涅耳積分 (3.3-38)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)118118以及菲涅耳積分函數(shù) (3.3-39)菲涅耳積分具有如下性質(zhì)： (3.3-40)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)119119應(yīng)用菲涅耳積分，式(3.3-36)可改寫為 (3.3-41)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)120120相應(yīng)的光強(qiáng)分布為 (3.3-42)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)121121用菲涅耳積分求衍射光場分布一般按如下步驟進(jìn)行： 對于給定的觀察點(diǎn)(x,y)，將其代入式(3.3-37)，確定積分上下限v1、v2、w1、w2； 再查菲涅耳積分值表(表3.3-2)確定C(v1)、 C(v2)、S(w1)、S(w2)的

35、值； 然后把上述值代入式(3.3-41)和式(3.3-42)便可求得該觀察點(diǎn)的復(fù)振幅U(x,y)和光強(qiáng)度I(x,y)值。重復(fù)以上步驟，便可得到菲涅耳衍射光場分布。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)122122第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)123123對于正方形孔，菲涅耳衍射的復(fù)振幅和光強(qiáng)沿x和y的分布相同，圖3.3-13所示為振幅隨x的變化曲線。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)124124圖 3.3-13矩孔菲涅耳衍射振幅曲線第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1251252) 單縫的菲涅耳衍射單縫菲涅耳衍射可作為方孔衍射的一個(gè)特例來處理，只需將方孔的一個(gè)對邊向y(或x)軸方向無限延伸，便成為單縫。此時(shí)有w1=,w2=。由菲涅耳積分性質(zhì)

36、可知第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)126126把此值代入式(3.3-41)和式(3.3-42)，分別得到單縫菲涅耳衍射的復(fù)振幅和光強(qiáng)分布為 (3.3-43) (3.3-44)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1271273) 半無限大開孔的菲涅耳衍射如果單縫的寬度遠(yuǎn)大于照明波長，在菲涅耳衍射中衍射的影響主要在直邊附近的范圍，求直邊的菲涅耳衍射光場分布可以只考慮狹縫的一個(gè)邊，而將其另一個(gè)邊看做在無窮遠(yuǎn)處。 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)128128此時(shí)， 可以取v1=，及C()=S()=1/2，代入式(3.3-43)和式(3.3-44)， 得到直邊菲涅耳衍射的復(fù)振幅和光強(qiáng)分布為 (3.3-45) (3.4-46)第3章 傅

37、里葉光學(xué)基礎(chǔ)129129如果觀察點(diǎn)離開幾何投影的陰影區(qū)足夠遠(yuǎn)，這時(shí)可近似認(rèn)為v2=，及C()=S()=1/2， 代入式(3.3-45)得這實(shí)際上就是無衍射屏?xí)r觀察點(diǎn)上的復(fù)振幅。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)130130如果觀察點(diǎn)剛好在幾何投影的陰影區(qū)邊緣，則有v2=0，及C(0)=S(0)=0，代入式(3.3-45)得可見，在幾何陰影區(qū)邊緣上的復(fù)振幅值等于無阻擋時(shí)復(fù)振幅的一半，而光強(qiáng)是無阻擋時(shí)的1/4。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)131131如果觀察點(diǎn)在幾何投影的陰影區(qū)，而且離開陰影邊緣足夠遠(yuǎn)，便可近似認(rèn)為v2=， 可得即觀察點(diǎn)在較深陰影區(qū)時(shí)，與完全阻擋時(shí)一樣。半無限大開孔的菲涅耳衍射的光強(qiáng)分布曲線如圖3.

38、3-14 所示。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)132132圖 3.3-14半無限大開孔的菲涅耳衍射光強(qiáng)分布曲線第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1331333. 會(huì)聚光照明時(shí)的菲涅耳衍射若用會(huì)聚光照明，根據(jù)式(3.2-10)，衍射屏后表面上的復(fù)振幅分布為 (3.4-47)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)134134如果照明光波的會(huì)聚中心到衍射屏的距離z1=z，則根據(jù)式(3.3-12)，得到 (3.3-48)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1351353.4透鏡的變換特性3.4.1透鏡的相位變換特性由于透鏡的折射率與周圍介質(zhì)的折射率不同，因此光波通過透鏡會(huì)產(chǎn)生相位延遲。又因?yàn)楦鞴饩€入射點(diǎn)對應(yīng)的透鏡厚度不同，所以形成的相位延遲就不一樣。

39、 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)136136下面推導(dǎo)光波經(jīng)過薄透鏡的相位變化與透鏡結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系。圖3.4-1所示為所要研究的薄透鏡。 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)137137圖 3.4-1薄透鏡相位變換第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)138138透鏡的兩表面曲率半徑分別為R1和R2，中心厚度為0，折射率為n； 把點(diǎn)(x,y)處的透鏡厚度記作(x,y)， 對應(yīng)于R1和R2上的拱高分別為z1(x,y)和z2(x,y)。若入射光波在入射平面(透鏡前表面)的復(fù)振幅為U(x,y)，則經(jīng)透鏡后的出射面(透鏡后表面)內(nèi)的復(fù)振幅U(x,y)應(yīng)為U(x,y)=t(x,y)U(x,y) (3.4-1)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)1391

40、39式中: t(x,y)=eij(x,y), j(x,y)表示光波經(jīng)過透鏡的相位延遲。按薄透鏡假設(shè)，入射到點(diǎn)(x,y)處的相位延遲可以寫成 (3.4-2)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)140140由幾何關(guān)系可求得用R1和R2所表示的z1(x,y)和z2(x,y)。若仍按幾何光學(xué)中的符號規(guī)則來確定透鏡曲率半徑的正、負(fù)，則R10，R20，應(yīng)用旁軸近似條件，可以得到即 (3.4-3)第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)141141由于R20時(shí)，出射光波會(huì)聚于透鏡后距透鏡為f的F點(diǎn)，為會(huì)聚球面波，如圖3.4-2(a)所示； 當(dāng)f/2時(shí)，離焦系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)出現(xiàn)負(fù)值，這時(shí)就可以觀察到由于光學(xué)傳遞函數(shù)小于零而出現(xiàn)的對比度翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象。第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)238238圖 3.7-3離焦系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù) 第3章 傅里葉光學(xué)基礎(chǔ)239239 3.8相干成像和非相干成像的比較1. 像的強(qiáng)度頻譜與對比度為了比較像強(qiáng)度的頻譜和對比度，必須首先求出相干照明和非相干照明情況下像強(qiáng)度分布的頻譜。相