二維隨機(jī)變量

1、第三章第三章 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量12,12(,nnFxxx 記記為為,( , ),( ,)F x yFx y 二二維維時(shí)時(shí)可可記記為為或或),(),(yYxXPyxF(x,y)xyyx0注注意意：以以上上條條件件僅僅是是必必要要，而而非非充充要要條條件件),(),(),(),(),(212121212211aaFabFbaFbbFbYabXaP 由由分分布布函函數(shù)數(shù)可可計(jì)計(jì)算算任任意意區(qū)區(qū)間間的的概概率率a2b2yx0a1b1離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列bx xii.,1是是X的的任任意意兩兩個(gè)個(gè)相相鄰鄰的的可可能能值值，yyjj,1是是Y的的任任意意兩兩個(gè)個(gè)相相鄰鄰的的可可能能值值，則則

2、在在矩矩形形域域(x xyyiijj,;,11)內(nèi)內(nèi)，F(xiàn) x y( , )的的值值保保持持不不變變。 xxyyijijpyxFa),(.1,2,3,4例例、從從中中任任取取一一數(shù)數(shù)，記記為為X,X,再再從從1,2,3,X1,2,3,X中中任任取取一一數(shù)數(shù)，記記為為Y,Y,求求(X,Y)(X,Y)的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布。11,2,3,4,(),1,2,3,44XP Xkk 解解：11,2,. ,(),1,2,.YkP Xjjkk (, )( , ),1,2,3,4;X Yi jiji (,)() (|)P Xi YjP Xi P Yj Xi 11(|)0jiP Yj Xiiji 而而11(

3、,)40jiP Xi Yjiji 2713(,),310ijijPijijj 例例 2.二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量(,)X Y的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律為為： YX01pi00.30.20.510.20.30.5pj0.50.511, 110 , 11, 1010, 1000, 1, 5 . 0, 3 . 0, 0),(yxyxoryxyxyorxyxF00.30.50.51yx101a.F x y( , )是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)。b. zF x y( , )是是介介于于z 0與與z 1之之間間隨隨x或或y單單調(diào)調(diào)上上升升的的連連續(xù)續(xù)曲曲面面。例例3. F x yeexyxy( , )()(),11

4、000其它OxyG解解：( , ),x ycxyrxyr2222220由由( , )x y dxdy 1，cdxdyxyr2221，cdxdyxyr2221，dxdyrxyr2222， cr12( , ),x yrxyrxyr102222222幾種均勻分布的概率密度幾種均勻分布的概率密度1.長度為長度為b-a區(qū)間區(qū)間a,b上上2.面積為面積為s的平面區(qū)域的平面區(qū)域S上上3.體積為體積為v的空間區(qū)域的空間區(qū)域V上上),(,0),(,1)(baxbaxabxSyxSyxsyx),(, 0),(,1),(VzyxVzyxvzyx),(, 0),(,1),(F基本概念：基本概念：隨機(jī)向量、聯(lián)合分布函數(shù)

5、。隨機(jī)向量、聯(lián)合分布函數(shù)。F離散型隨機(jī)變量：離散型隨機(jī)變量：聯(lián)合概率分布、階梯型聯(lián)合概率分布、階梯型分布函數(shù)。分布函數(shù)。F連續(xù)型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：概率密度函數(shù)、連續(xù)型概率密度函數(shù)、連續(xù)型分布函數(shù)。分布函數(shù)。邊際分布、條件分布邊際分布、條件分布邊緣分布邊緣分布( , ) 為為二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量，聯(lián)聯(lián)合合分分布布已已知知，要要研研究究或或 的的概概率率或或分分布布（另另一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量取取遍遍所所有有的的值值）即由二維分布即由二維分布一維分布一維分布( , )(,),1, 2,ijijPxypi j 假假設(shè)設(shè)的的分分布布列列為為：，111()()()()()()(,)iiij

6、jijijjjxxxyxyxy 111()(,)(,)iijijjjijjPxPxyPxyp 1(),1, 2,jijjiPyppj . ip2 1 01010.30.30.30.10.60.10.60.42 1 01010.360.240.240.160.60.10.60.4邊邊際際分分布布相相同同，聯(lián)聯(lián)合合分分布布卻卻不不相相同同聯(lián)合分布可決定邊際分布聯(lián)合分布可決定邊際分布邊際分布不能決定聯(lián)合分布邊際分布不能決定聯(lián)合分布聯(lián)合分布函數(shù)可求邊際分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù)可求邊際分布函數(shù)),()(yFyF ),()( xFxF ),(0yF ),(0 xF),(1 FO二維分布函數(shù)的各種極限二維分布函

7、數(shù)的各種極限二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量2121()211( )( ,)2xpxpx y dye 2222()221( )( ,)2xpypx y dxe 聯(lián)聯(lián)合合正正態(tài)態(tài)邊邊際際正正態(tài)態(tài)r-r-rrxy0例例 2.設(shè)設(shè)(, )X Y在在以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心，r為為半半徑徑的的圓圓域域R上上服服從從均均勻勻分分布布，求求 X 及及 Y 邊邊緣緣概概率率密密度度。22222221,(,)0,xyrx yrxyr 解：已經(jīng)求出（解：已經(jīng)求出（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為）的聯(lián)合密度函數(shù)為2222222212( )rxXrxrxxdyrr 2222,|( )0,|Xrxxrxrxr 22xr

8、 22xr x|,xr 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)()(,)Xxx y dy ( )0Xx |,xr 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)說說明明：( , )X Y的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布是是均均勻勻分分布布，但但邊邊緣緣分分布布都都不不是是均均勻勻分分布布。r-r-rrxyy22yr 22yr 同理，同理，2222,|( )0,|Yryyryryr 二維隨機(jī)變量的 條件分布|11(|)1ijijijjiiijjjpPxyppppp ）規(guī)規(guī)范范性性離散型隨機(jī)變量的條件分布列離散型隨機(jī)變量的條件分布列|(|)ijPxy 記記為為jy 固固定定，可可得得到到關(guān)關(guān)于于 的的分分布布列列滿滿足足：）非非負(fù)負(fù)性性1,2,3,4例例、從從中中任任取取一一

9、數(shù)數(shù)，記記為為X,X,再再從從1,2,3,X1,2,3,X中中任任取取一一數(shù)數(shù)，記記為為Y,Y,求求(X,Y)(X,Y)的的聯(lián)聯(lián)合合概概率率分分布布。11,2,3,4,(),1,2,3,44XP Xkk 解解：11,2,. ,(),1,2,.YkP Xjjkk (, )( , ),1,2,3,4;X Yi jiji (,)() (|)P Xi YjP Xi P Yj Xi 11(|)0jiP Yj Xiiji 而而11(,)40jiP Xi Yjiji 邊邊際際分分布布條條件件分分布布聯(lián)聯(lián)合合分分布布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布0|lim|zPyxPy xxx 00,lim

10、( ,)(,)lim( )()xxPy xxxP xxxF x yF xx yFxFxx |(|)Fx y 例例 2.設(shè)設(shè)(, )X Y在在以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為中中心心，r為為半半徑徑的的圓圓域域R上上服服從從均均勻勻分分布布，求求條條件件概概率率密密度度 2222222, 0,1),(ryxryxryxp )|(),|(|xypyxpXYYX解：已知聯(lián)合概率密度為解：已知聯(lián)合概率密度為r-r-rrxyy22yr 22yr r-r-rrxy22xr 22xr x即即：在在Yy的的條條件件下下，X的的條條件件分分布布是是均均勻勻分分布布；在在Xx的的條條件件下下，Y的的條條件件分分布布是是均均勻勻分

11、分布布。5 . 1|2 . 02) 1 (.203XYPEXyxyyxDDYX）計(jì)計(jì)算算（求求）：，（上上的的均均勻勻分分布布，）服服從從區(qū)區(qū)域域，：設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量（例例10 xy211.5xy xy 2(1,1)解：解：的聯(lián)合密度函數(shù)為),)(1 (YX 其其它它, 020, 1),(yxyyxp 其其它它其其它它, 021,210, 021,10,)(200 xxxxxdyxdyxpxxX2110)2(dxxxxdxxEX13131213212103xxx則則 其其它它其其它它,05 .00,2,05 .00,5 .01)5 .1(),5 .1()5 .1|(|yypypyp

12、XXY 2 .002 .00|4 .02)5 .0|(5 .1|2 .0dydyypXYPXY4 . 0)5 . 1|2 . 0(| XYF即即隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性1.1.離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性2.2.連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性例例 1.已已知知 10 件件產(chǎn)產(chǎn)品品中中有有 3 件件一一等等品品，5 件件二二等等品品，2 件件三三等等品品。 從從這這批批產(chǎn)產(chǎn)品品中中任任取取 4 件件產(chǎn)產(chǎn)品品， 問問：其其中中一一等等品品件件數(shù)數(shù)和和二二等等品品件件數(shù)數(shù)是是否否獨(dú)獨(dú)立立？ YX01234pi000102102021052103521010152

13、106021030210010521023210302103021000632103221052100007210pj5210502101002105021052101解解： 設(shè)設(shè)X與與Y分分別別是是取取出出的的 4 件件產(chǎn)產(chǎn)品品中中一一等等品品與與二二等等品品的的件件數(shù)數(shù)，已已經(jīng)經(jīng)求求出出聯(lián)聯(lián)合合分分布布律律、邊邊緣緣分分布布律律為為000, 0YPXPYXPX與與Y不不 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，即即一一、二二等等品品的的件件數(shù)數(shù)不不相相互互獨(dú)獨(dú)立立。說說明明(, )X Y的的 聯(lián)聯(lián) 合合分分布布是是均均勻勻分分布布， 但但邊邊緣緣分分布布都都不不是是均均勻勻分分布布。F邊際分布邊際分布：例如例如

14、F條件分布：條件分布：例如例如),()(1 jjiiyxPxP dyyxpxp),()( )(),()|(|ypyxpyxp 獨(dú)立性：獨(dú)立性：)(),(1211ininxFxxxFIn 隨機(jī)變量函數(shù)的分布注注意意：隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的函函數(shù)數(shù)仍仍然然是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量。一、隨機(jī)變量函數(shù)的分布若若已已知知X分分布布律律為為Xx1x2xnpkp1p2pn則則YfX()的的分分布布律律為為：（1）fxi()各各不不相相等等Yf x()1f x()2f xn()pkp1p2pn（2）f xi( )中中有有相相等等的的，則則由由概概率率加加法法定定理理，把把有有相相同同f xi( )的的概概率率相相加

15、加，即即P Yf xP Xxikf xf xki( )()()()1.離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的分分布布例例 2.已已知知隨隨機(jī)機(jī)變變量量X的的分分布布律律為為X1012pk02 .03 .0 1 .0 4 .求求( )12YX ，( )()212YX的的分分布布律律。解解：XY2) 1 ( 是是單單值值函函數(shù)數(shù)，f xi()各各不不相相等等，所所以以有有Y20 2 4pk02 .0 3 .0 1 .0 4 .( )()212YX不不是是單單值值函函數(shù)數(shù)，即即Y014pk01 .07 .02 .P YP X()().010 1，P Y()1P XP X()()0203 04. 0

16、7 .，2 . 0) 1()4(XPYP例例 3.已已 知知 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量X的的 分分 布布 律律 為為X123npk1212212312n求求YX sin()2的的 分分 布布 律律 。解解 ：Y的的 可可 能能 取取 值值 為為 1 0 1,， 對對 應(yīng)應(yīng) 的的X的的 取取 值值 為為41 2431 2kkkk,224612111112(0)(2 )1222312kP YP Xk 3371114111122(1)(41)12221512kP YP Xk 5914111182(1)(43)12221512kP YP Xk 2.連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量函函數(shù)數(shù)的的分分布布(1)F

17、p(2)單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)的的密密度度公公式式20( )()()()yFyPyPyPy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0( )( )0yFyP 解解：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1( , ),( )0,xa bpxba 又又其其他他222220,( )( ),( )( )1,ayyayapx dxpx dxaybFypx dxyb 20,1,1,yaayabdxybaby 2( ),0yabypyba 其其他他0( )( )0yFyP 解解：當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，222( )()()1()( )2xyyyyFyPypyPyypx dxedx 當(dāng)當(dāng)y0y0時(shí)時(shí)，22212200( )( )21,0220,020,2yyyypyFyeyyyyye

18、對對 求求導(dǎo)導(dǎo)后后，得得 2(1)稱稱函函數(shù)數(shù)的的性性質(zhì)質(zhì)：()()1()!nn1()12函數(shù)：函數(shù)：( ),xedxx1001 ）當(dāng)當(dāng)yf x( )是是單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，它它的的反反函函數(shù)數(shù)xg y( )也也是是單單調(diào)調(diào)的的。a.若若f x( )，則則g y( )，即即gy( )0.P YyP f Xy()( ()P Xg y( )8( )( ( )|( )|( )2YXXypypg yg ypg y 18 18,0482220,yy 其其它它8,816320,yy 其其它它例例 5.XN( ,) 2，求求YabXb,()0的的概概率率密密度度。解解：bxaxfy)(，bayygx)(結(jié)

19、結(jié)論論：服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的線線性性函函數(shù)數(shù)仍仍然然服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布。即即：若若XN( ,) 2，則則abXN abb(,) 22命命題題：若若XN( ,) 2，則則XN( , )01證證明明：取取a ，b 1，則則ab 10,222211b ，abXX 1X，即即 XN( , )011( )lnxfyy 反反函函數(shù)數(shù)存存在在，為為0( )0ypy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1221( )()2ln0( )( )|( )1|ln2xfyxxyydpypxfydydeydy 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，221(ln)exp22yy 2( ,)LN 記記，稱稱為為對對數(shù)數(shù)正正態(tài)態(tài)分分布布11(

20、),|222p 2222111( ),|VpvvAAvAv AvAvvAvpV|,0|,1)(22 110ddvAvAarcsinarcsin11arcsin(arcsin)vAvA2arcsinvA當(dāng)當(dāng)vA時(shí)時(shí)，F(xiàn) v( )=P Vv() 1F vvvAvAvA( ),arcsin,00201,(2) 再再求求概概率率密密度度函函數(shù)數(shù)( )v( ),vAvvA20022其它主要內(nèi)容主要內(nèi)容. ., (1,),r vbp 例例、 ， 為為獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的求求的的概概率率分分布布. .()()() (),0,1,2iPkPkPi Pki k 解解：2(0)(0) (0)PPPq (1)(

21、0) (1)(1) (0)2PPPPPpqpqpq = =2(2)(1) (1)PPPp (2, )bp , (1,),. ( ,)iidbpb n p i ii i1 12 2i i推推論論為為則則01 即即分分布布具具有有可可加加性性12121212. .(1) (, ), (, ), (, )(),(),()r vb npb npb nnpPPP 例例、， 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，證證明明：若若則則( (2 2) )若若則則121212121212000 (1)(1)(1)(1)kiknink iiik ik inniknnknnkik ikkknnnniPkPi PkiC ppCppC Cp

22、pCpp 證證：(1)(1)12 (,)b nnp 即即二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布具具有有可可加加性性12120)kik iknnnniC CC ( (要要用用到到公公式式121212120120()120()()12120(2) ee!()!e!()!()ee!kiik ikikik iikkiik ikiPkPi PkiikikkikiCkk 12()P Poisson即即分分布布具具有有可可加加性性具具有有可可加加性性的的分分布布：(1)(1)分分布布(2)(2)二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布poisson( (3 3) )分分布布(4)巴巴斯斯卡卡分分布布1( )( ,)|z axybabpzpx ydxb

23、一一般般地地若若，則則, ,x y zzaxaybbzaxyx yb 注注： , , , 與與對對應(yīng)應(yīng)：與與對對應(yīng)應(yīng)：積積分分沿沿直直線線在在平平面面上上( )( )( )pzpx pydxyzx 解解：( , )0p x y 不不為為 的的部部分分為為：1-1-11yx22( )0zzpz (1)(1)當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí)，x1-1-11y2l1l1220( 11)(11)zlzlz ( (2 2) )當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 的的坐坐標(biāo)標(biāo) - - , ,的的坐坐標(biāo)標(biāo), ,- -1112( )44zzpzdx 1-1-11yx2m1m12(3)02(1)(11)zmzmz 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，的的坐坐標(biāo)標(biāo),1,1的的坐坐標(biāo)

24、標(biāo) , ,1112( )44zzpzdx 2,2( )40,zzpz 其其他他2( )( )( )y zxzxydx 解解：2(2 )01(2 )0200( ), 022001(1) , 022122zzxzxzzzzedxzzedxzezeez dxeAeAAABxABAC222)21(2)(21212121 ABACeA22121 22121112A 其其中中，12221212zB ，22122212()12zC 2122212()2()221212zZpze 221212(,)ZN 推推論論： 有有限限個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立的的正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和仍仍為為正正態(tài)態(tài)分分布布。即即： 相相

25、互互獨(dú)獨(dú)立立的的XNiniii(,), , 21 2，則則XNiiniiniin1121(,).結(jié)結(jié)論論：兩兩個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立的的正正態(tài)態(tài)隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和仍仍為為正正態(tài)態(tài)分分布布。解解：當(dāng)當(dāng)z 0時(shí)時(shí)，dxdyezFyxzyx2222221)( zre0221221 21ze )21( E )2(2 或或者者，)21, 1 ( 或或者者，定定義義：X服服從從 Gamma 分分布布記記作作：X ( , ) ，若若( )( ),xxexxx1000.當(dāng)當(dāng)k212,時(shí)時(shí)，(, )( )kk2122，這這時(shí)時(shí)，( )(),xkxexxkkx1220002212當(dāng)當(dāng)k 2，即即112,時(shí)時(shí)，( ,

26、)( )11212 e，這這時(shí)時(shí)，(),xexxx120002(, ) 2212()(,)kk ), 1()( Ee()()( ,)1 221122( )FzPzPz 證證：xzy yx0 , |( ,)( ,)xx yzyDpx y dxdypx y dxdy 00( ,)( ,)yzyzdypx y dxdypx y dx 00( )(,)(,)zpzy pyz y dyy pyz y dy 對對 求求導(dǎo)導(dǎo)后后得得( )( )|( )xyzpzpxpyy dy 當(dāng)當(dāng) ， 獨(dú)獨(dú)立立時(shí)時(shí)，解解：dyeyzpydyypyzpyzpy )()()()(0210(1)( ),00zzpzz 1212(,) ,nnMaxxxxx 證證：12