江蘇專(zhuān)用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十三章推理與證明算法復(fù)數(shù)13.3數(shù)學(xué)歸納法課件理

1、13.3數(shù)學(xué)歸納法基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類(lèi)深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法一般地，對(duì)于某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，我們有數(shù)學(xué)歸納法公理：如果(1)當(dāng)n取第一個(gè)值n0(例如n01,2等)時(shí)結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且kn0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論也正確.那么，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立.知識(shí)梳理思考辨析思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()

2、(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()(6)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的內(nèi)角和公式時(shí)，n03.()考點(diǎn)自測(cè)1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1 (a1，nN*)，在驗(yàn)證n1時(shí)，等式左邊的項(xiàng)是_.答案解析1aa2當(dāng)n1時(shí)，n12，左邊1a1a21aa2.nk1時(shí)等式成立nk2時(shí)等式成立n2k2時(shí)等式成立n2(k2)時(shí)等式成立答案解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，nk時(shí)等式成立，即n為第k個(gè)偶數(shù)時(shí)命題成立，所以需假設(shè)n為下一個(gè)偶數(shù)，即nk2時(shí)等式成立.3.在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證

3、明凸n邊形的對(duì)角線為 n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n_.答案解析凸n邊形邊數(shù)最小時(shí)是三角形，故第一步檢驗(yàn)n3.3答案解析4.用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2 ，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上_.等式左邊是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)的和，直到n2.故nk1時(shí)，最后一項(xiàng)是(k1)2，而nk時(shí)，最后一項(xiàng)是k2，應(yīng)加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.(k21)(k22)(k23)(k1)25.(教材改編)已知an滿(mǎn)足an1 nan1，nN*，且a12，則a2_，a3_，a4_，猜想an_.答案345n1題型分類(lèi)深度剖析題型分類(lèi)深度剖析題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式例例1設(shè)f(n

4、) 求證：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).證明當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，左邊右邊，等式成立.假設(shè)nk(k2，kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.由可知，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*).用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意(1)明確初始值n0的取值并驗(yàn)證nn0時(shí)等式成立.(2)由nk證明nk1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且明確變形目標(biāo).(3)掌握恒等變形常用的方法：因式分解；添拆

5、項(xiàng)；配方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1 (2017南京質(zhì)檢)用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明左邊右邊，等式成立.假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，等式成立.當(dāng)nk1時(shí)，左邊右邊，等式成立.即對(duì)所有nN*，原式都成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式例例2(2016泰州模擬)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b0且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上.(1)求r的值；解答由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r.所以anSnSn1bn1(b1).由于b0且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列.又a1br，a2b(b1)，證明由(1)及

6、b2知an2n1.因此bn2n(nN*)，左式右式，所以結(jié)論成立.假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng)nk1時(shí)，要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立.數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍及關(guān)鍵(1)適用范圍：當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，若用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)關(guān)鍵：由nk時(shí)命題成立證nk1時(shí)命題也成立，在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明，充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2若函數(shù)f(x)x22x3，定義數(shù)列xn如下：x12，xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn

7、)的直線PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：2xnxn13.證明當(dāng)n1時(shí)，x12，f(x1)3，Q1(2，3).所以直線PQ1的方程為y4x11，即n1時(shí)結(jié)論成立.假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，結(jié)論成立，即2xkxk13.代入上式，令y0，即xk1xk2，所以2xk1xk23，即當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立.由知對(duì)任意的正整數(shù)n,2xnxn1x4x6，猜想：數(shù)列x2n是遞減數(shù)列.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，已證命題成立.假設(shè)當(dāng)nk(kN*，且k1)時(shí)命題成立，即x2kx2k2，易知xk0，即x2(k1)x2(k1)2.所以當(dāng)nk1時(shí)命題也成立.結(jié)合知，對(duì)于任何nN*命題成立.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與數(shù)列有關(guān)

8、的證明問(wèn)題與數(shù)列有關(guān)的證明問(wèn)題例例4在數(shù)列an中，a12，an1ann1(2)2n(nN*，0).(1)求a2，a3，a4；解答a2222(2)222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)猜想an 的通項(xiàng)公式，并加以證明.解答由(1)可猜想數(shù)列通項(xiàng)公式為：an(n1)n2n.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1,2,3,4時(shí)，等式顯然成立，假設(shè)當(dāng)nk(k4，kN*)時(shí)等式成立，即ak(k1)k2k，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1akk1(2)2k(k1)k2kk12k12k(k1)k1k12k1(k1)1k12k1，所以當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)1k12k1，猜想成

9、立，由知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an(n1)n2n(nN*，0).命題點(diǎn)命題點(diǎn)3存在性問(wèn)題的證明存在性問(wèn)題的證明例例5設(shè)a11，an1 b(nN*).(1)若b1，求a2，a3及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解答再由題設(shè)條件知(an11)2(an1)21.從而數(shù)列(an1)2是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明上式：當(dāng)n1時(shí)結(jié)論顯然成立.所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.(2)若b1，問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2nca2n1對(duì)所有nN*成立？證明你的結(jié)論.解答則an1f(an).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明加強(qiáng)命題：a2nca2n11.假設(shè)nk(kN*，且k1)時(shí)結(jié)論成立，即a2kca2k1f(a2k1)f(1)a

10、2，即1ca2k2a2.再由f(x)在(，1上為減函數(shù)，得cf(c)f(a2k2)f(a2)a31，故ca2k31.因此a2(k1)ca2(k1)11.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.則an1f(an).先證：0an1(nN*).當(dāng)n1時(shí)，結(jié)論顯然成立.假設(shè)nk(kN*，且k1)時(shí)結(jié)論成立，即0ak1.易知f(x)在(，1上為減函數(shù)，從而即0ak11.這就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立.故成立.再證：a2na2n1(nN*).有a2a3，即n1時(shí)成立.假設(shè)nk(kN*，且k1)時(shí)，結(jié)論成立，即a2kf(a2k1)a2k2，a2(k1)f(a2k1)f(a2n1)，即a2n1a2n2，(1)利用數(shù)學(xué)歸納

11、法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問(wèn)題、存在性問(wèn)題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性.(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”.高中階段與數(shù)列結(jié)合的問(wèn)題是最常見(jiàn)的問(wèn)題.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3 (2015江蘇)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個(gè)數(shù).(1)寫(xiě)出f(6)的值；Y61,2,3,4,5,6，S6中的元素(a，b)滿(mǎn)足：若a1，則b1,2,3,4,5,6；若a2，則b1,2,4,6；若a3，則b1,3,6.所以f

12、(6)13.解答(2)當(dāng)n6時(shí)，寫(xiě)出f(n)的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解答當(dāng)n6時(shí)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：假設(shè)nk(kN*，且k6)時(shí)結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，Sk1在Sk的基礎(chǔ)上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中產(chǎn)生，分以下情形討論：()若k16t，則k6(t1)5，()若k16t1，則k6t，此時(shí)有()若k16t2，則k6t1，此時(shí)有()若k16t3，則k6t2，此時(shí)有()若k16t4，則k6t3，此時(shí)有()若k16t5，則k6t4，此時(shí)有綜上所述，結(jié)論對(duì)滿(mǎn)足n6的自然數(shù)n均成立.典例典例(14分)數(shù)列an滿(mǎn)足Sn2nan(nN*).(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4

13、，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)證明(1)中的猜想. 歸納猜想證明問(wèn)題答題模版系列答題模版系列9規(guī)范解答思維點(diǎn)撥(1)由S1a1算出a1；由anSnSn1算出a2，a3，a4，觀察所得數(shù)值的特征猜出通項(xiàng)公式.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明.答題模版(1)解解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S424a4，(2)證明證明當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立.6分假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.10分 返回當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立.13分歸納猜想證明問(wèn)題的一般步驟第一步：計(jì)算數(shù)列前幾項(xiàng)或特殊情況，觀察規(guī)律

14、猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)或一般結(jié)論；第二步：驗(yàn)證一般結(jié)論對(duì)第一個(gè)值n0(n0N*)成立；第三步：假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)結(jié)論成立，證明當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論 也成立；第四步：下結(jié)論，由上可知結(jié)論對(duì)任意nn0，nN*成立. 返回課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)1.如果命題p(n)對(duì)nk(kN*)成立，則它對(duì)nk2也成立.若p(n)對(duì)n2也成立，則下列結(jié)論正確的是_.p(n)對(duì)所有正整數(shù)n都成立；p(n)對(duì)所有正偶數(shù)n都成立；p(n)對(duì)所有正奇數(shù)n都成立；p(n)對(duì)所有自然數(shù)n都成立.答案解析n2時(shí)，nk，nk2成立，n為2,4,6，故n為所有正偶數(shù).1234567891011122.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn

15、yn能被xy整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是_.假設(shè)nk(kN*)，證明nk1時(shí)命題成立；假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk1時(shí)命題成立；假設(shè)n2k1(kN*)，證明nk1時(shí)命題成立；假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk2時(shí)命題成立.相鄰兩個(gè)正奇數(shù)相差2，故正確.答案解析1234567891011123.(2017鹽城質(zhì)檢)設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿(mǎn)足：當(dāng)f(k)k1成立時(shí)，總能推出f(k1)k2成立，那么下列命題總成立的是_.若f(1)2成立，則f(10)11成立；若f(3)4成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k1成立；若f(2)4時(shí)，f(n)_(用n表示).f(3)2，f(4)

16、f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)5答案解析123456789101112解答123456789101112f(x)x21，且an1f(an1)，an1(an1)21，令g(an)(an1)21，函數(shù)g(x)(x1)21在1，)上是增函數(shù).于是由a11，得a2(a11)21221，進(jìn)而a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想：當(dāng)n1時(shí)，a12111，結(jié)論成立；假設(shè)nk (k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak2k1.123456789101112當(dāng)nk1時(shí)，由g(x)(x1)21在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，知ak1(ak1)2122k

17、12k11，即nk1時(shí)，結(jié)論也成立.由知，對(duì)任意nN*，都有an2n1.12345678910111210.(2016蘇州模擬)數(shù)列xn滿(mǎn)足x10，xn1 xnc(nN*).(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0；充分性：若c0，由于xn1 xncxncxn，所以數(shù)列xn是遞減數(shù)列.必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.故xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0.證明123456789101112(2)若00)，設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，nN*.解答123456789101112由已知，得123456789101112證明123456789101112由已知，得xf0(x)sin

18、x，等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得f0(x)xf0(x)cos x，2f1(x)xf2(x)sin xsin(x)，4f3(x)xf4(x)sin xsin(x2).123456789101112當(dāng)n1時(shí)，由上可知等式成立.因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x)，因此當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.123456789101112123456789101112*12.設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；解答123456789101112下面用數(shù)學(xué)歸納法證明.假設(shè)nk(kN*，且k1)時(shí)結(jié)論成立，1234567891