八年級數(shù)學下冊《三角形的證明》

1、Page 1Page 2上冊第一章復習上冊第一章復習 知識歸納知識歸納知識歸納1等腰三角形的性質等腰三角形的性質性質性質(1)：等腰三角形的兩個底角：等腰三角形的兩個底角 .性質性質(2)：等腰三角形頂角的：等腰三角形頂角的 、底邊上的、底邊上的 、底邊、底邊上的高互相重合上的高互相重合2等腰三角形的判定等腰三角形的判定(1)定義：有兩條邊定義：有兩條邊 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形(2)等角對等邊：有兩個角等角對等邊：有兩個角 的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形相等相等平分線平分線中線中線相等相等相等相等Page 3上冊第一章復習上冊第一章復習 知識歸納知識歸納3用反證法證

2、明的一般步驟用反證法證明的一般步驟(1)假設命題的結論不成立；假設命題的結論不成立；(2)從這個假設出發(fā)，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、從這個假設出發(fā)，應用正確的推論方法，得出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；已證定理或已知條件相矛盾的結果；(3)由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確4等邊三角形的判定等邊三角形的判定(1)有一個角等于有一個角等于60的的 三角形是等邊三角形；三角形是等邊三角形；等腰等腰Page 4上冊第一章復習上冊第一章復習 知識歸類知識歸類(2)三邊相等的三角形叫做等邊三角形；三邊相等的三角

3、形叫做等邊三角形；(3)三個角相等的三角形是等邊三角形；三個角相等的三角形是等邊三角形；(4)有兩個角等于有兩個角等于60的三角形是等邊三角形的三角形是等邊三角形5直角三角形的性質直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直，那么它所對的直角邊等于斜邊的角邊等于斜邊的 .6勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的 .一半一半平方平方Page 5上冊第一章復習上冊第一章復習 知識歸類知識歸類逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那逆定理：如

4、果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是么這個三角形是 三角形三角形7線段的垂直平分線的性質定理及判定定理線段的垂直平分線的性質定理及判定定理性質定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點性質定理：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離的距離 .判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的段的 上上點撥點撥 線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相線段的垂直平分線可以看作和線段兩個端點距離相等的所有點的集合等的所有點的集合直角直角相等相等垂直平分線垂直平分線Page 6上冊第一章復習上冊第一章復習 知識歸

5、類知識歸類8三線共點三線共點三角形三條邊的垂直平分線相交于三角形三條邊的垂直平分線相交于 ，并且這一點到，并且這一點到三角形三個頂點的距離三角形三個頂點的距離 .9角平分線的性質定理及判定定理角平分線的性質定理及判定定理性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離性質定理：角平分線上的點到這個角兩邊的距離 .判定定理：在一個角的內部，且到角的兩邊判定定理：在一個角的內部，且到角的兩邊 相等的相等的點，在這個角的平分線上點，在這個角的平分線上相等相等相等相等距離距離一點一點Page 7上冊第一章復習上冊第一章復習 知識歸類知識歸類注意注意 角的平分線是在角的內部的一條射線，所以它的逆角的平分線是在

6、角的內部的一條射線，所以它的逆定理必須加上定理必須加上“在角的內部在角的內部”這個條件這個條件10三角形三條角平分線的性質三角形三條角平分線的性質三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離的距離 .相等相等Page 8 考點考點一線段垂直平分線的性質的應用一線段垂直平分線的性質的應用上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略考點攻略 例例1如圖如圖S11，在，在ABC中，中，DE垂直平分垂直平分AC交交AB于于E，A30，ACB80，則，則BCE_.5050 Page 9上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解析解析

7、根據線段垂直平分線的性質，線段垂直平分線上的根據線段垂直平分線的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，所以點到線段兩端點的距離相等，所以EAEC，AACE30，又，又ACB80，故，故BCE803050.Page 10上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略Page 11上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略 考點考點二全等三角形的證明二全等三角形的證明例例2如圖如圖S12，在，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F(xiàn)在同在同一直線上，下面有四個條件，請你從中選三個作為題設，余下的一直線上，下面有四個條件，請你從中選三個作為題設，余下的一個作為結論，寫出一個正確的命題

8、，并加以證明一個作為結論，寫出一個正確的命題，并加以證明ABDE，ACDF，ABCDEF，BECF.Page 12上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解：答案不惟一，命題一：在解：答案不惟一，命題一：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，在同一直線上，ABDE，AC DF，BECF.求證：求證：ABCDEF. 命題二：在命題二：在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F(xiàn)在同一直線上，在同一直線上，ABDE，ABCDEF，BECF.求證：求證：ACDF.下面證明命題一：下面證明命題一：已知：如題圖，在已知：如題圖，在ABC和和DEF中，中，B，E，C，F(xiàn)在同一在同一直線上

9、，直線上，ABDE，AC DF，BECF.求證：求證：ABCDEF.Page 13上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略證明：在證明：在ABC和和DEF中，中，BECF，BCEF.又又ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS)ABCDEF.Page 14上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略Page 15上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略 考點考點三勾股定理的應用三勾股定理的應用 Page 16上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解析解析 這個有趣的問題是勾股定理的典型應用，此問題看上這個有趣的問題是勾股定理的典型應用，此問題看上去是一個曲面上的路線問題，

10、但實際上能通過圓柱的側面展開而去是一個曲面上的路線問題，但實際上能通過圓柱的側面展開而轉化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側面時，轉化為平面上的路線問題，值得注意的是，在剪開圓柱側面時，要從要從A開始并垂直于開始并垂直于AB剪開，這樣展開的側面才是個矩形，才能剪開，這樣展開的側面才是個矩形，才能得到直角，再利用勾股定理解決此問題得到直角，再利用勾股定理解決此問題Page 17上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解：將圓柱的側面展開，如圖解：將圓柱的側面展開，如圖S14，圓柱的底面周長為，圓柱的底面周長為2r24，取其一半：，取其一半： 42，圓柱的高為，圓柱的高為2，根據

11、勾股，根據勾股定理，得定理，得AC222228，所以，所以AC2 .Page 18上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略Page 19上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略 考點考點四等腰三角形的判別四等腰三角形的判別 例例4已知：在已知：在ABC中，中，A90，ABAC，D為為BC的的中點中點(1)如圖如圖S14，E，F(xiàn)分別是分別是AB，AC上的點，且上的點，且BEAF，求證：求證：DEF為等腰直角三角形；為等腰直角三角形；(2)若若E，F(xiàn)分別為分別為AB，CA延長線上的點，仍有延長線上的點，仍有BEAF，其，其他條件不變，那么，他條件不變，那么，DEF是否仍為等腰直角三角形

12、？證明你的是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論結論Page 20上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解析解析 要證明要證明DEF為等腰三角形，需要證為等腰三角形，需要證DEDF.連接連接AD，利用全等可得這一結論至于在延長線上，可利用同樣的，利用全等可得這一結論至于在延長線上，可利用同樣的方法方法Page 21上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解：(1)證明：連接AD，如圖S16：ABAC，BAC90，D為BC的中點，ADBC，BDAD，BDAC45，又BEAF，BDE ADF(SAS)，EDFD，BDEADF，EDFEDAADFEDABDEBDA90，DEF為等腰直角三

13、角形Page 22上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略(2)若若E，F(xiàn)分別是分別是AB，CA延長線上的點，如圖延長線上的點，如圖S17所示：所示：連接連接AD，ABAC，BAC90，D為為BC的中點，的中點，ADBD，ADBC，DACABD45，DAFDBE135.又又AFBE，DAFDBE(SAS)，圖S17Page 23上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略FDED，F(xiàn)DAEDB，EDFEDBFDBFDAFDBADB90，DEF仍為等腰直角三角形仍為等腰直角三角形Page 24上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略Page 25上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻

14、略考點攻略 考點考點五角平分線與五角平分線與“截長補短截長補短”例例5如圖如圖S18，ADBC，點，點E在線段在線段AB上，上，ADECDE，DCEECB.求證：求證：CDADBC.圖S18Page 26上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略解析解析 結論是結論是CDADBC，可考慮用，可考慮用“截長補短法截長補短法”中的中的“截長截長”，即在，即在CD上截取上截取CFCB，只要再證，只要再證DFDA即可，這即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的Page 27上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略圖圖S1

15、9證明：在證明：在CD上截取上截取CFBC，如圖，如圖S19，在在FCE與與BCE中，中，F(xiàn)CE BCE(SAS)，21.ADBC，ADCBCD180.又又ADECDE，Page 28上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE與與ADE中，中，F(xiàn)DE ADE(ASA)，DFDA.CDDFCF，CDADBC.Page 29上冊第一章復習上冊第一章復習 考點攻略考點攻略Page 301以下命題中，是真命題的是以下命題中，是真命題的是()A兩條直線只有相交和平行兩種位置關系兩條直線只有相交和平行兩種位置關系B同位角相等同位角相等C兩邊和一角對

16、應相等的兩個三角形全等兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等D等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等等腰三角形底邊中點到兩腰的距離相等D D 上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 312下列說法中，正確的是下列說法中，正確的是()A等腰三角形邊上的中線也是高等腰三角形邊上的中線也是高B等腰三角形的內角平分線的交點到三個頂點的距離相等等腰三角形的內角平分線的交點到三個頂點的距離相等C等邊三角形每條角平分線都平分對邊等邊三角形每條角平分線都平分對邊D直角三角形一邊上的中線等于這邊的一半直角三角形一邊上的中線等于這邊的一半C C 上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 32

17、3在直角三角形中，一條直角邊長為在直角三角形中，一條直角邊長為a，另一條邊長為，另一條邊長為2a，那么它的三個內角之比為那么它的三個內角之比為()A1 2 3 B2 2 1C1 1 2 D以上都不對以上都不對D D 上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 334如圖如圖S19，ABC中，中，ACB90，BA的垂直平分的垂直平分線交線交CB邊于邊于D，若，若AB10，AC5，則圖中等于，則圖中等于60的角的個數(shù)的角的個數(shù)為為()A2 B3 C4 D5D D 圖S110上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 345如圖如圖S111，在，在RtABC中，中，C90，B

18、15，DE是是AB的中垂線，垂足為的中垂線，垂足為D，交，交BC于點于點E，若，若BE4，則，則AC_.2 2 圖S111上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 356若點若點P是是ABC內一點，內一點，PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F，且，且PDPEPF，則點，則點P是是ABC的的()A三條高的交點三條高的交點B三條中線的交點三條中線的交點C三條角平分線的交點三條角平分線的交點D三條中垂線的交點三條中垂線的交點C上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 36 7在平面內，到在平面內，到A，B，C三點距離相等的點有三點距離相等的點有()A只有一個只有

19、一個 B有兩個有兩個C有三個或三個以上有三個或三個以上 D有一個或沒有有一個或沒有D上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 378 8小明家有一塊小明家有一塊ABCABC的土地，如圖的土地，如圖S1S11212所示，其三邊長所示，其三邊長ABAB7070米，米，BCBC9090米，米，ACAC5050米，現(xiàn)要把米，現(xiàn)要把ABCABC分成面積比為分成面積比為579579的三部分，分別種植不同的農作物，請你設計一種方的三部分，分別種植不同的農作物，請你設計一種方案案圖S112上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 38解：如圖解：如圖S113所示，分別作所示，分別作ACB和和ABC的平分線，相的平分線，相交于點交于點D，連接，連接AD，則，則SADCSADBSBDC579.圖S113上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 399.如圖如圖S114，在四邊形，在四邊形ABCD中，中，ADBC，E為為CD的中的中點，連結點，連結AE，BE，BEAE，延長，延長AE交交BC的延長線于點的延長線于點F.求證：求證：(1)FCAD；(2)ABBCAD.上冊第一章復習上冊第一章復習 習題講析習題講析Page 40證明：證明：(1)因為因為E是是CD的中點，所以的中點，所以DECE.因為