關(guān)于全等三角形的旋轉(zhuǎn)難題93287

1、已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，/ACB=90,F是AB的中點(diǎn)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,分別過(guò)點(diǎn)AB作l的垂線，即AD±CE,B已CE,(1)如圖1,當(dāng)CE位于點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，求證：AD隼CEB(2)如圖2,當(dāng)CE位于點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，求證：ED=BE-AD(3)如圖3,當(dāng)CE在ABC的外部時(shí)，試猜想EQARBE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證明題；探究型.分析：(1)利用同角的余角相等得出/CADWBCE進(jìn)而根據(jù)AAS證明ADCACEB(2)根據(jù)AAS證明AD隼CEBB,得其對(duì)應(yīng)邊相等，進(jìn)而得到ED=BE-AD(3)根據(jù)AAS證明AD隼CEBB,得

2、DC=BEAD=CE又有ED=CE+DC進(jìn)而得至UED=AD+BE解答：(1)證明：AD±CE,BEXCE, ./ADC=ZCEB=90. /ACD吆ECB=90,/CAD吆ACD=90, /CAD叱BCE(同角的余角相等).在ADCfCEB中/ADCWCEB/CADWBCEAC=BC,.AD登ACEB(AAS).(2)證明：AD!CE,BE!CE, ./ADC=ZCEB=90. /ACD+ZECB=90,/CAD吆ACD=90, /CAD叱BCE(同角的余角相等).在ADdCEB中/ADCWCEB/CADWBCEAC=BC,.AD登ACEB(AAS).DC=BEAD=CE又ED=C

3、D-CEED=BE-AD(3) ED=AD+BE證明：ADLCE,BEXCE./ADC=ZCEB=90./ACD+ZECB=90,/CAD吆ACD=90,/CAD叱BCE(同角的余角相等).在ADdCEB中/ADCWCEB/CADWBCEAC=BC,.AD登ACEB(AAS).DC=BEAD=CE又ED=CE+DC.ED=AD+BE點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行等量交換，證明線段之間的數(shù)量關(guān)系，這是一種很重要的方法，注意掌握3.如圖1、圖2、圖3,AAOEBCOD勻是等腰直角三角形，/AOB=/CO&90o,（1）在圖1中，AC與BD相等嗎，有怎

4、樣的位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）若CO噬點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,為什么？（3）若ACO璘點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后,嗎？還具有上問(wèn)中的位置關(guān)系嗎？為什么？到達(dá)圖2的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等嗎，還具有那種位置關(guān)系嗎?到達(dá)圖3的位置，請(qǐng)問(wèn)AC與BD還相等考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：（1）根據(jù)等腰三角形的兩腰相等進(jìn)行解答.（2）證明DO望ACO/A根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行說(shuō)明.解答：解：（1）相等.在圖1中，AOBCOD勻是等腰直角三角形，/AOBWCOD=90,OA=OBOC=OD0A-0C=0B-OD,AC=BD（2）相等.在圖2中，0D=OC/DOB

5、WCOAOB=OA.DO望ACOA.BD=AC點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)問(wèn)題，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中要注意哪些量是不變的，找出圖形中的對(duì)應(yīng)邊與對(duì)應(yīng)角.4.（2008河南）.（9分）復(fù)習(xí)“全等三角形”的知識(shí)時(shí)，老師布置了一道作業(yè)題：“如圖，已知在ABCAB=ACP是ABCrt部任意一點(diǎn)，將AP繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ使/QAR/BAC連接BQCP則BQ=CP"小亮是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，他通過(guò)對(duì)圖的分析，證明了aAB冬ACf?從而證得BQ=CP之后，將點(diǎn)P移到等腰三角形ABC：外，原題中的條彳不變，發(fā)現(xiàn)“BQ£P仍然成立，請(qǐng)你就圖給出證明.圖S©考點(diǎn)

6、：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：證明題；探究型.分析：此題的兩個(gè)小題思路是一致的；已知/QAP=/BAC,那么這兩個(gè)等角同時(shí)減去同一個(gè)角（2題是加上同一個(gè)角），來(lái)證得/QAB=/PAC;而根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：AP=AQ,且已知AB=AC,即可由SAS證得ABQ0ACP,進(jìn)而得出BQ=CP的結(jié)論.解答：證明：（1）QAP=ZBAC,.ZQAP-/BAP=/BAC-/BAP,即/QAB=/CAP;在BQA和CPA中，AQ=AP/QAB=/CAPAB=AC,.BQAACPA(SAS);BQ=CP.(2) BQ=CP仍然成立，理由如下： /QAP=/BAC, /QAP+/PAB=/BA

7、C+/PAB,即/QAB=/PAC;在QAB和PAC中，AQ=AP/QAB=/PACAB=AC,.QABPAC(SAS), .BQ=CP.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)；選擇并利用三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵.5.(2009山西太原)將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開(kāi)，得到圖中的兩張三角形膠片4ABC和 DEF,且ABC0DEF。將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合，把DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O.當(dāng)4DEF旋轉(zhuǎn)至如圖位置，點(diǎn)B(E),C,D在同一直線上時(shí)，AFD與DCA的數(shù)量關(guān)系是當(dāng)4DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還

8、成立嗎？AO與DO存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：探究型.分析：(1)根據(jù)外角的性質(zhì)，得/AFD=/D+/ABC,/DCA=/A+/ABC,從而得出/AFD=/DCA;(2)成立.由4ABCADEF,可證明/ABF=/DEC.貝UABF0DEC,從而證出/AFD=/DCA;(3) BOLAD.由ABCDEF,可證得點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，進(jìn)而證得點(diǎn)O在AD的垂直平分線上，則直線BO是AD的垂直平分線，即BOXAD.解答：解：(1)/AFD=/DCA(或相等).(2)/AFD=/DCA(或成立)，理由如下：方法一：由ABC0DEF,得AB=DE,B

9、C=EF(或BF=EC),/ABC=/DEF,/BAC=/EDF./ABC-/FBC=/DEF-/CBF,/ABF=/DEC.在ABF和DEC中,AB=DE/ABF=/DECBF=ECABFDEC,/BAF=/EDC./BAC-/BAF=/EDF-/EDC,/FAC=/CDF./AOD=/FAC+/AFD=/CDF+/DCA,/AFD=/DCA.方法二：連接AD.同方法一ABFDEC,AF=DC.由ABCDEF,得FD=CA.在AFDDCA,AF=DCFD=CAAD=DAAFDDCA,/AFD=/DCA.(3)如圖，BOXAD.方法一：由ABCDEF,點(diǎn)B與點(diǎn)E重合，得/BAC=/BDF,BA

10、=BD. 點(diǎn)B在AD的垂直平分線上，且/BAD=/BDA. /OAD=/BAD-/BAC,/ODA=/BDA-/BDF,/OAD=/ODA.OA=OD，點(diǎn)O在AD的垂直平分線上. 直線BO是AD的垂直平分線，BOXAD.方法二：延長(zhǎng)BO交AD于點(diǎn)G,同方法一，OA=OD.在ABO和DBO中，AB=DBBO=BOOA=OD ABODBO,/ABO=/DBO.在ABG和DBG中,AB=DB/ABG=/DBGBG=BG ABGDBG,/AGB=/DGB=90°.BOLAD.點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.例1正方形ABC由，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為

11、CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求/EAF的度數(shù).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF易證AB®4ADF(SA»可得AF=AG進(jìn)而求證AE乎4慶£皿得/EAGhEAF,再求出/EAG+/EAF=90即可解題.解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF在AB第口ADF中，由AB=AD/ABGhADF=90BG=DF,可得ABGADF(SAS,DAF=/BAGAF=AG又EF=DF+BE=EB+BG=E(AE=AE：AE乎AEF(SSS>,EAGhEAFZDAF+ZEAF+ZBAE=90EAG+EAF=90,EAF=45.答：

12、/EAF的角度為45°.點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證/EAGhEAF是解題的關(guān)鍵.例2D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DMLDN,DM,D的別交BC,CA于點(diǎn)E,F(1) 當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF(2) 若AB=2,求四邊形DECF的面積?？键c(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.專題：計(jì)算題.分析:B(1)連CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD平分/ACBCD±AB,/A=45°,CD=DA則/BCD=45,CCDA=90,由/DMLDN得/ED

13、F=90,根據(jù)等角的余角相等得到/CDE=/ADF,根據(jù)全等三角形的判定易得DC&AADF,即可得到結(jié)論；(2)由4DC94ADF則SADCE=SADF,于是四邊形DECF勺面積=$ACD由而AB=2可得CD=DA=1根據(jù)三角形的面積公式易求得S4ACD從而得到四邊形DECF勺面積.解答：解：(1)連CD,如圖,D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，CD平分/ACB,CD±AB,/A=45°,CD=DAZBCD=45,/CDA=90,:/DMLDNEDF=90,CDE=ADF在DCE和ADF中，/DCEhDAFDC=DA/CDEhADFDC聆ADFDE=DF(2) DC

14、國(guó)AADF3,SADCE=SADF,:四邊形DECF勺面積=SAACD而AB=2,CD=DA=1(圖2)(圖3)四邊形DECF勺面積=必ACD=12CD?DA=12.點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).1、已知四邊形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,/ABC120°,/MBN60°,/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD,DC(或它們的延長(zhǎng)線)于E,F.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)(如圖1),易證AECFEF.當(dāng)/MBN繞B點(diǎn)

15、旋轉(zhuǎn)到AECF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段AE,CF,EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.解：圖LU-2成立，圖10-M不成亞.廷長(zhǎng)口。至虹？使CK-M,連接題,則國(guó)"'釜ACKjLFBE-6。，£ABC:】2T，£FBC+UBE工5T*CFN圖10-4/膽C+/K3c=60*，.gF=£FBE=eff，即AB+CF=EF.圖1。一3不成立,;砒F，:KF=2F，=KC+CF-EF,ABCD使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的AE.CF,EF自支系是AE-CF=EF、2、(西城09年一模)

16、已知:PA=v2,PB=4,以AB為一邊作正方形兩側(cè).(1)如圖，當(dāng)/APB=45時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；(2)當(dāng)/APB變化,且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)/APB的大小.3、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)m、n,D為VABC外一點(diǎn)，且MDN60,BDC120,bd=dc.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí),BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是此時(shí)QL(II)如圖2,點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想(I)問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；(III)如圖

17、3,當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=X,則Q=(用X、L表示).考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).分析：(1)由DM=DN,MMDN=60°,可證得MDN是等邊三角形，又由ABC是等邊三角形，CD=BD,易證得RtABDMRtACDN,然后由直角三角形的性質(zhì)，即可求得BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN,止匕時(shí)QL=23;(2)在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM,連接DM1,可證DBMDCM1,即可得DM=DM1,易證得/CDN=/MDN=60°,則可證得mdnamidn,然后由全等三角形的性質(zhì)，即可得結(jié)論仍然成立；（3）首先在CN上截

18、取CM1=BM,連接DM1,可證DBMDCM1,即可得DM=DM1,然后證得/CDN=/MDN=60°,易證得AMDNM1DN,則可得NC-BM=MN.解答：解：（1）如圖1,BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC=MN.此時(shí)QL=23.（2分）.理由：DM=DN,/MDN=60°,.MDN是等邊三角形，.AABC是等邊三角形，：/A=60°,BD=CD,/BDC=120,入：/BDC=/DCB=30。，/.：/MBD=/NCD=90°,DM=DN,BD=CD,K_/RtABDMRtACDN,二.：/BDM=/CDN=30。，BM=CN,"D

19、M=2BM,DN=2CN,MN=2BM=2CN=BM+CN;AM=AN,.AMN是等邊三角形，AB=AM+BM,AM:AB=2:3,QL=23;（2）猜想：結(jié)論仍然成立.（3分）.證明：在CN的延長(zhǎng)線上截取CM1=BM,連接DM1.（4分）,/MBD=/M1CD=90°,BD=CD,.DBMDCM1,DM=DM1,/MBD=/M1CD,M1C=BM,5A,/MDN=60°,/BDC=120°,M1DN=/MDN=60°,.MDN9AM1DN,MN=M1N=M1C+NC=BM+NC,.AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC,八

20、QL=23;Y（3）證明：在CN上截取CM1=BM,連接DM1.（4分）可證DBM9ADCM1,DM=DM1,（5分）國(guó)產(chǎn)可證/CDN=/MDN=60°,.MDNM1DN,MN=M1N,（7分）.NC-BM=MN.（8分）.點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形，直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用與輔助線的作法.例8.（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB,AC重合.將三角尺

21、繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD.相交于點(diǎn)E,F時(shí)，（如圖131）,通過(guò)觀察或測(cè)量BE,米-7DCF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；/欠六三尹（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD旌/的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E,F時(shí)（如圖132）,你在（1）/Q0WJW/圖132圖131中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).分析：(1)利用全等三角形的判定得出ABE0ACF即可得出答案；(2)根據(jù)已知可以得出/BAE=/CAF,進(jìn)而求出ABEACF即可；(3)利用四邊形AECF的面積S=S4AEC+

22、S4ACF=S4AEC+S4ABE=SABC求出即可.解答：解：(1)得出結(jié)論是：BE=CF,證明：/BAC=/EAF=60°,2 .ZBAC-/EAC=/EAF-/EAC,即：/BAE=/CAF,X/AB=AC,/ABE=/ACF=60°,/BAE=/CAFAB=AC/ABE=/ACF,ABEAACF(ASA),BE=CF,(2)還成立,證明：/BAC=/EAF=60°,3 /BAC+/EAC=/EAF+/EAC,即/BAE=/CAF,X/AB=AC,/ABE=/ACF=60°,即/BAE=/CAFAB=AC/ABE=/ACF,ABEAACF(ASA)

23、,BE=CF,(3)證明：.ABEACF,SAABE=SAACF,，四邊形AECF的面積S=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC;而SAABC=12S菱形ABCD,.S=12S菱形ABCD.點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關(guān)鍵.解：(1)BE=CF.證明：在ABEACF中，./BAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60°,./BAE=/CAF.AB=AC,/B=/ACF=60°,/.ABEAACF(ASA).BE=CF.(2) BE=CF仍然成立.根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABE和4ACF旋轉(zhuǎn)型1、

24、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,G為CD邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，外作正方形GCEF,連接DE交BG的延長(zhǎng)線于H。求證：BCGADCEBHXDE考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).專題：動(dòng)點(diǎn)型.分析：(1)根據(jù)正方形的邊的性質(zhì)和直角可通過(guò)SAS判定BCGDCE,從而利用全等的性質(zhì)得到/BGC=/DEC;(2)連接BD,解題關(guān)鍵是利用垂直平分線的性質(zhì)得出BD=BE,從而找到BD=2,CE=BE-BC=2-1,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可.解答：解：(1)證明：二四邊形ABCD、GCEF都是正方形，BC=DC,/BCG=/DCE=90°,GC=ECB

25、CGDCE（3分）BGC=ZDEC（4分）（2）連接BD如果BH垂直平分DE,貝U有BD=BE（6分）BC=CD=1,BD=2（8分）CE=BE-BC=2-1（9分）CG=CE=2-1即當(dāng)CG=2-1時(shí)，BH垂直平分DE.（10分）點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識(shí).線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.特殊圖形的特殊性質(zhì)要熟練掌握.2、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，連結(jié)DC（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證

26、明：DC!BE.考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：（1）此題根據(jù)ABC與4AED均為等腰直角三角形，容易得到全等條件證明ABEAACD;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件可以證明DCLBE.解答：證明：（1）.ABC與4AED均為等腰直角三角形，AB=AC,AE=AD,/BAC=/EAD=90.BAC+/CAE=/EAD+/CAE.即/BAE=/CAD,在4ABE與4ACD中，AB=ACZBAE=/CADAE=AD.ABE里ACD.（2）ABEAACD,：/ACD=/ABE=45.又/ACB=45,：/BCD=ZACB+/ACD=90DC，BE.點(diǎn)評(píng)：此題是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，利

27、用全等三角形的性質(zhì)與判定來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是理解題意，得到所需要的已知條件.3、（1）如圖7,點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連結(jié)AC和BD,相交于點(diǎn)E,連結(jié)BC.求/AEB的大??；（2）如圖8,AOAB固定不動(dòng)，保持A能重疊），求/AEB的大小.OCD的形狀和大小不變，將AOCD繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)（AOAB和AOCD不4、如圖，AE!AB,AD±ACAB=AE/B=ZE,求證：(1)BD=CE(2)BD±CE,證明：（1）AE±AB,ADLAC/BAE=ZCAD/BAD叱CAE而AB=AE/B=ZE,.

28、AB里AECBD=CE（2）由ABNAEC知/B=ZE.而/AGBWEGF.EFG=ZEAB=90,BD±CE如圖，點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD,連接AC和BD,相交于點(diǎn)E,連接BC.求/AEB的大小.考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：計(jì)算題.分析：由于BOC和ABO都是等邊三角形，可得OD=DC=OC=OB=OA,進(jìn)而求出/BDA與/CAD的大小及關(guān)系，則可求解/AEB.解答：解：,DOC和ABO都是等邊三角形，且點(diǎn)O是線段AD的中點(diǎn)，OD=DC=OC=OB=OA, .ACD9匕DBA,/BDA=

29、/CAD.又/BDA+/OBD=/BOA=60°,而/ODB=/OBD,/BDA=30°./CAD=30°. /AEB=/BDA+/CAD, ./AEB=60°.點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；可圍繞結(jié)論尋找全等三角形,運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)判定線段相等，求得角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵.答題：yeyue5、如圖所示，已知AE±ARAFLAC,AE=ABAF=AC求證：(1)EC=BF(2)EC±BF6、正方形ABCD43,E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求/EAF的度數(shù).考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；

30、全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì).分析：延長(zhǎng)EB使得BG=DF易證ABeADF(SAS)可得AF=AG進(jìn)而求證AE8AEF可得/EAGhEAF,再求出/EAG廿EAF=90°即可解題.解答：解：延長(zhǎng)EB使得BG=DF在AB第口ADF中，由AB=AD/ABG4ADF=90BG=DF,可得ABgADF(SAS), ./DAF=ZBAGAF=AG又EF=DF+BE=EB+BG=EGAE=AE.AE®AEF(SSS),/EAG=ZEAF, /DAF+ZEAF+ZBAE=90° /EAG吆EAF=90°,/EAF=45.答：/EAF的角度為45°.點(diǎn)

31、評(píng)：本題考查了正方形各內(nèi)角均為直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證/EAG=ZEAF是解題的關(guān)鍵.7、D為等腰RtABC斜邊AB的中點(diǎn)，DMLDN,DM,DM別交BC,CA于點(diǎn)E,F。當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF若AB=2,求四邊形DECF勺面積。10、如圖，已知AB=CD=AE=BC+DE=2,/ABC=ZAED=90°,求五邊形ABCDE的面積考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì).專題：應(yīng)用題.分析：可延長(zhǎng)DE至F,使EF=BC,可得ABCAEF，連AC,AD,AF,可將五邊形ABCDE的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)ADF的面積，進(jìn)而求出結(jié)論.解答

32、：解：延長(zhǎng)DE至F,使EF=BC,連AC,AD,AF,AB=CD=AE=BC+DE,/ABC=/AED=90°,CD=EF+DE=DF,在RtAABC與RtAAEF中，AB=AE/ABC=/AEFBC=EF.RtABC且RtAEF(SAS),AC=AF,在ACD與AFD中,AC=AFCD=DFAD=AD.ACDAFD(SSS),SABCDE=2SAADF=2X12?DF?AE=2X12X2X2=4.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的計(jì)算，應(yīng)熟練掌握五、旋轉(zhuǎn)例1正方形ABC邛,E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF求/EAF的度數(shù).將三角形ADF繞

33、點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，至三角形WJGE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以/EAF=/GAE=/BAE+/GAB=/BAE+/DAF又/EAF+/BAE+/DAF=90所以/EAF=45度ABG(1)如圖1,現(xiàn)有一正方形ABCD將三角尺的指直角頂點(diǎn)放在A點(diǎn)處，兩條直角邊也與CB的延長(zhǎng)線、DC分別交于點(diǎn)E、F.請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，判斷AE與AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(2)將三角尺沿對(duì)角線平移到圖2的位置，PEPF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(3)如果將三角尺旋轉(zhuǎn)到圖3的位置，PE、PF之間是否還具有(2)中的數(shù)量關(guān)系？如果有，請(qǐng)說(shuō)明

34、理由.如果沒(méi)有，那么點(diǎn)P在AC的什么位置時(shí)，PE、PF才具有(2)中的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：(1)證明ABEADF可推出AE=AF(2)本題要借助輔助線的幫助.過(guò)點(diǎn)P作PMLBC于M,PNDC于N,證明PME2PNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE,PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.解答：解：（1）如圖1,AE=AF理由：證明ABHADF（AS/A（2）如圖2,PE=PF理由：過(guò)點(diǎn)P作PMLBC于MPNILDC于N,則PM=PN由此可證得PM瞌PNF（ASA,從而證得PE=PF（3） PE、

35、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PEPF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：（1）證明ABEADF可推出AE=AF.（1） 本題要借助輔助線的幫助.過(guò)點(diǎn)P作PMLBC于M,PN，DC于N,證明PMEPNF可推出PE=PF.（3） PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE,PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.解答：解：（1）如圖1,AE=AF.理由：證明ABEAADF（ASA）（4） 如圖2,PE=PF.理由：過(guò)點(diǎn)P作PMLBC于M,PNLDC于N,則PM=PN.由此可證得PMEPNF（ASA）,從而證

36、得PE=PF.（5） PE、PF不具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.當(dāng)點(diǎn)P在AC的中點(diǎn)時(shí)，PE、PF才具有（2）中的數(shù)量關(guān)系.點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定.例8.（2005年馬尾）用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合，兩邊分別與AB,AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD相交于點(diǎn)E,F時(shí)，（如圖131）,通過(guò)觀察或測(cè)量BE,CF的長(zhǎng)度，你能得出什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC,CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

37、E,F時(shí)（如圖132）,你在（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？簡(jiǎn)要說(shuō)明理由.BADFEC解：(1)BE=CF.證明：在ABE和4ACF中，./BAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60°,./BAE=/CAF.AB=AC,/B=/ACF=60°,/.ABEAACF(ASA).BE=CF.(2)BE=CF仍然成立.根據(jù)三角形全等的判定公理，同樣可以證明ABEAACF1、用兩個(gè)全等的等邊三角形ABC和4ACD拼成菱形ABCD.把一個(gè)含60°角的三角尺與這個(gè)菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)A重合,兩邊分別與AB、AC重合.將三角尺繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).（1）當(dāng)三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點(diǎn)E、F時(shí)（如圖所示）,通過(guò)