初中數(shù)學教學中模型思想培養(yǎng)的實踐研究

1、初中數(shù)學教學中“模型思想”培養(yǎng)的實踐研究結(jié)題報告單位名稱：常州市新北區(qū)實驗中學執(zhí)筆人：曹亦祥一、課題研究的基本情況（一）課題研究背景及意義在常州市20132014學年第一學期八年級期末考試有這樣一道題：“某玩具廠工人的工作時間：每月25天，每天8小時,待遇：按件記酬，多勞多得，每月另加福利工資1000元，按月計算。該廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲種產(chǎn)品，可得報酬1.5元，每生產(chǎn)一件乙種產(chǎn)品，可得報酬2.8元。工人小李每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要時間1小時，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要時間1小43時，設小李每月生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x件（x為非負整數(shù)），月工資數(shù)目為w元.（1）小李每月生產(chǎn)甲種產(chǎn)品所需的時間為多少小時

2、？小李每月生產(chǎn)乙種產(chǎn)品多少件？（用x的代數(shù)式表示）（2）如果生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)目沒有限制，求小李每月的月工資數(shù)目w的范圍？從試題的設置來看第（1）問的兩個問題為問題（2）的解決明確了思考方向而問題（2）解決的常規(guī)思路是建立心于自變量x的一次函數(shù)模型，再利用一次函數(shù)的增減性以及自變量x的范圍來求月工資數(shù)目w的范圍，這樣解答即規(guī)范又簡練。但是從我校八年級學生答題的情況來看，大約只有10%左右的學生采用了建立函數(shù)模型來解題的，絕大多數(shù)學生都是用算術(shù)或其他方法求解的，正確率不高。分析原因如下：一是由于問題（2）中沒有明確要求w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，缺少提示；二是八年級上學期的學生剛接觸函數(shù)內(nèi)容時間比較短，

3、雖然平時也做過一些類似的問題，但是絕大多數(shù)學生對于一次函數(shù)模型的認識還不到位，在考試時仍然想不到建立函數(shù)模型的方法來解決問題。數(shù)學中建立某種模型來解決問題是一種極其重要的思想方法，隨著義務教育數(shù)學課程標準（2011版）將數(shù)學基本思想作為“四基”之一提出，而且“模型思想”作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，由此可見它的重要性。從數(shù)學學習的價值來看，數(shù)學可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復雜的信息作出恰當?shù)倪x擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社

4、會創(chuàng)造價值。中學數(shù)學教學中建模思想的培養(yǎng)與應用是數(shù)學教育的重要內(nèi)容，呼喚數(shù)學應用意識，提高數(shù)學應用質(zhì)量，已成為廣大數(shù)學教育工作者的共識。開展中學數(shù)學建模教學與應用的研究，對提高學生數(shù)學應用意識，培養(yǎng)學生靈活的思維能力，分析問題、解決問題的能力，促進中學數(shù)學教學改革，全面推進中學數(shù)學素質(zhì)教育有重要意義。從近幾年各地的中考試題來看建立數(shù)學模型解決問題是命題的重點考查內(nèi)容，比較典型的如：代數(shù)中建立方程、不等式、函數(shù)模型解決實際問題；幾何中垂徑定理的應用、“將軍飲馬”問題、構(gòu)造“輔助圓”解題等一直以來都是中考的熱點.而一種數(shù)學模型從認識到理解再到運用是要經(jīng)歷一定的過程，如何才能在數(shù)學教學中滲透模型思想

5、，有效地培養(yǎng)學生的建模意識和能力，使得絕大多數(shù)學生在初中三年的學習中能夠達到課程標準的要求，是一線老師們需要思考并要切實解決好的問題.（二）課題概念的界定“數(shù)學模型”，就是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關(guān)系所形成的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。在義務教育階段數(shù)學中，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學符號建立起來的代數(shù)式、關(guān)系式、方程、不等式、函數(shù)，以及各種圖表、圖形等都是數(shù)學模型.這種結(jié)構(gòu)有兩個主要特點：1.它是經(jīng)過抽象、舍去對象的一些非本質(zhì)屬性以后所形成的一種純數(shù)學關(guān)系結(jié)構(gòu)；2.這種結(jié)構(gòu)是借助數(shù)學符號來表示，并能進行數(shù)學推演的結(jié)構(gòu).在九年義務教育數(shù)學課程標準（201

6、1版）中指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。"它明確地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質(zhì)就是使學生體會和理解數(shù)學與外部的聯(lián)系，而且它是實現(xiàn)上述目的的基本途徑。（三）本課題的研究目標。1 .研究在教學中如何有效地逐步滲透數(shù)學模型思想，引導學生不斷感悟數(shù)學模型思想；2 .研究如何提高學生在解題過程中正確建立數(shù)學模型的能力；3 .研究如何通過數(shù)學建模改善學習方式.（四）本課題的研究內(nèi)容。1.研究如何準確把握義務教育數(shù)學課程標準（2011版）中關(guān)于模型思想的含義和要求；2。研究如何在基礎(chǔ)知識教學中讓學生感知不同的數(shù)學模型，清晰地理解數(shù)學模型的結(jié)構(gòu)；3。研究如

7、何在解題策略探索教學中讓學生逐步掌握建模步驟；4.研究如何培養(yǎng)學生分析問題以及根據(jù)實際問題的需要選擇建立相應的數(shù)學模型的能力.（五）研究方法本課題研究主要采用調(diào)查研究法、經(jīng)驗總結(jié)法、行動研究法、個案研究法等方法，并以課改實踐為中心，努力使本課題研究更貼近教學實踐和教師，使研究成果具體化及具有可操作性。具體如下：1.教學建模的理論研究：以文獻資料研究為主；2。教學設計有效性研究：以案例研究和課例分析為主；3.數(shù)學建模在解題方法的研究：以典型問題分析為主.二、課題研究的過程一年中，課題組全體成員緊緊圍繞課題方案中所確定的研究內(nèi)容、研究目標、研究方法開展了一系列的理論學習和實踐探索，在課題論證、課題

8、分解、研討交流、課題實施、經(jīng)驗總結(jié)等方面做了大量的工作。在實驗研究的過程中我們主要做了以下幾方面的工作。第一階段（2014年3月2014年4月）1o認真研讀九年義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）解讀中關(guān)于模型思想的內(nèi)容，搜集與此相關(guān)的資料、梳理文獻，把握當前研究的理論動態(tài)，確定研究的主題和方向.2o調(diào)查我校當前數(shù)學課程教學實踐中指導學生感知數(shù)學模型、理解數(shù)學模型的結(jié)構(gòu)以及在實踐中是如何逐步提高學生建立數(shù)學模型能力的真實現(xiàn)狀，明確課題研究的視角和實踐起點。3。制定課題研究預案。在此基礎(chǔ)上，建立課題研究組織機構(gòu)，明確職能，分工到位。第二階段（2014年5月2014年10月）1.通過課堂觀摩、作業(yè)

9、反饋、學生調(diào)查等方式，了解學生在解題時常用的思想方法和思維方式，找出學生建模的困難的癥結(jié)所在。并對三個年級的一些典型案例進行剖析和研究，結(jié)合文獻資料，根究不同年級學生的年齡特征、思維方式的不同，總結(jié)符合學生實際、切實有效的指導方法。2。與“板塊三用式"課堂教學模式的研究相結(jié)合，研究不同類型的建模問題如何有效設計“教師任務性問題申”、“學生活動用”、“目標達成反饋申”，總結(jié)方法，形成有效的建模類問題教學策略。3。分別對初中數(shù)學三個年級教學內(nèi)容中涉及到的主要建模類型進行分析整理，收集整理一些典型例題，匯編成一套符合我校教學實際情況，適用的教學資料。第三階段（2014年11月2014年12

10、月）在第二階段課題實驗研究的基礎(chǔ)上，匯總、整理課題實驗資料，審察、聚合課題實踐經(jīng)驗，通過分析、歸納、概括，完成課題實驗結(jié)題報告.三、課題研究取得的成果（一）對"模型思想”培養(yǎng)的認識通過理論學習和課例研究，課題組成員對于“模型思想”有了清晰的認識，對于在初中數(shù)學課堂教學中如何有效培養(yǎng)學生的“模型思想”了一定的策略.建立數(shù)學模型，是數(shù)學思考方法，是利用數(shù)學語言、符號、式子或圖象模擬現(xiàn)實的模型，是把現(xiàn)實世界中有待解決的問題，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，并綜合運用所學的數(shù)學知識與技能求得解決的一種數(shù)學思想方法。在教學中對“模型思

11、想”的培養(yǎng)要注意教學規(guī)律，現(xiàn)總結(jié)如下：1 .模型思想需要教師在教學中逐步滲透和引導學生不斷感悟。模型思想作為一種思想要真正使學生有所感悟需要經(jīng)歷一個長期的過程，在這一過程中，學生總是從相對簡單到相對復雜，從相對具體到相對抽象，逐步積累經(jīng)驗、掌握建模方法，逐步形成運用模型去進行數(shù)學思維的習慣。教師在教學中要注意根據(jù)學生的年齡特征和不同學段的要求，逐步滲透模型思想.2 .使學生經(jīng)歷”問題情境一一建立模型一一求解驗證”的數(shù)學活動過程。這一數(shù)學活動過程體現(xiàn)了課程標準（2011年版）中模型思想的基本要求，也有利于學生在活動過程中理解、掌握有關(guān)知識、技能，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，感悟模型思想的本質(zhì)。3 .通過數(shù)

12、學建模改善學生的學習方式.單純的數(shù)學解題，它是一個綜合性的過程.這一過程所具有的問題性、活動性、過程性、搜索性等特點給學生數(shù)學學習方式的改善帶來了很大的空間?？梢栽跀?shù)學建模中采用如下的學習方式一一小課題學習方式、協(xié)作式學習方式、開放式學習方式、信息技術(shù)環(huán)境中的學習方式等。在研究過程中，課題組總結(jié)了數(shù)學課堂教學中培養(yǎng)學生“模型思想”最基本的做法。即：”情景的創(chuàng)設-知識的探索一一建立模型一一解釋與應用”來進行。1. 創(chuàng)設情境，感知數(shù)學模型思想。數(shù)學來源于生活，又服務于生活，因此，要將現(xiàn)實生活中發(fā)生的與數(shù)學學習有關(guān)的素材及時引入課堂，要將教材上的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學

13、生，描述數(shù)學問題產(chǎn)生的背景。例如商場購物遇到打折問題，怎樣消費才合算；家庭的教育儲蓄利率問題，以怎樣的方式儲蓄能增加收入；家里的電話費、水費、電費又是如何計算出來的，如何計算爸爸媽媽的工資所得稅；決策方案問題，如何獲得銷售最大利潤問題等等，都是學生身邊的事，容易激發(fā)學生的探索興趣。這些問題的解決必須忽略次要因素，把與數(shù)學有關(guān)的因素保留下來，尋找各因素的數(shù)量關(guān)系，這就是建立數(shù)學模型的過程.2.在探究知識的過程中，體驗模型思想.善于引導學生自主探索、合作交流，對學習過程、學習材料、主動歸納提升，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學模型。例如在學習“將軍飲馬”問題時，去掉生活背景，其實就是要歸納出下面的數(shù)學

14、模型.【基本模型】如圖，兩定點A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上找一點P，使得AP+BP值最小.圖作點A關(guān)于直線l的對稱點A'，易知AP=A，P,根據(jù)“兩點之間線段最短"這一原理可知當點P運動到點E（點A'、E、B共線）所在位置時，AP+BP=A'B值最小。教學中要讓學生充分體會到我們是利用“兩點之間，線段最短”這一原理，把兩條不共線的線段轉(zhuǎn)化成一條線段，“線段”就是一種數(shù)學模型.為了能讓學生對這一模型有深刻的認識，在教學中不僅要使學生知道如何解決問題，更要使學生理解這一模型的原理，明晰解決問題所用的所用的數(shù)學方法是對稱的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。只有對一個數(shù)學模

15、型的原理有了清晰的認識，學生才能理解模型、運用模型。3。在解釋與應用中體驗模型思想的實用性。用所建立的數(shù)學模型來解答數(shù)學和生活實際中的問題，讓學生能體會到數(shù)學模型的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，讓學生體驗實際應用帶來的快樂.解決問題具體表現(xiàn)在兩個方面：一是布置數(shù)學題作業(yè)，如基本題、變式題、拓展題等；二是開展數(shù)學活動，讓學生在實際生活中應用數(shù)學。例如，在教授“相似三角形的應用”時可以組織學生測量學校的教學樓，引導學生根據(jù)學習到的相似三角形的有關(guān)知識計算出教學樓的高度，這會極大的激發(fā)學生的興致，也會讓學生體驗到了學習數(shù)學的目的是為了應用。又比如在進行“抽樣調(diào)查”教學時，可以組織學生進行

16、紅燈與綠燈的研究性學習，讓學生根據(jù)家庭住址利用周末時間自愿組成三個小組進行課外活動，分別調(diào)查闖紅燈的行人、自行車電動車以及汽車的情況。自己選擇要調(diào)查研究的課題，自行設計調(diào)查方案，大大激發(fā)了學生了參與的勁頭，他們收集數(shù)據(jù)，再進行分析，學著用課堂里學到的知識解決身邊的問題，體驗著課堂里無法經(jīng)歷的感受。只有把所學的模型思想知識應用到實踐中解決實際問題，才能使學生更好地理解、深化、鞏固和提高所學的知識。4、培養(yǎng)多向思維，開闊建模思路數(shù)學建模的問題都有假設條件及要達到的目標，建模就是要將條件與目標聯(lián)系起來，這種聯(lián)系是多向的，要完成它，不僅需要順向思維，也需要逆向思維，更需要多向思維的結(jié)合.教師要通過學生

17、對同一個數(shù)學模型設計不同的生活背景，如給出方程、函數(shù)編寫應用題，讓學生自主探究，合作交流，激發(fā)思維，幫助學生克服思維定勢，改變思維角度，從而開闊建模思路。例：對一次函數(shù)y5x10設置不同的生活背景。學生通過討論，設置了多種不同的生活背景.(1)彈簧原長10cm,每掛1千克的物體彈簧伸長5cm,則彈簧長度y(cnj)與掛物重x千克的函數(shù)關(guān)系為y5x10。(2)“五四”青年節(jié)，實驗中學準備舉辦迎奧運書畫展，組委會規(guī)定每班選送5幅作品，另選10幅青年教師作品參展，則作品展覽總數(shù)y與班級數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y5x10.(3)某城市出租車起步價為10元，超過規(guī)定的公里數(shù)外，每公里再加5元，則出租車費y與超出

18、規(guī)定公里數(shù)x的函數(shù)關(guān)系為y5x10。(4)下課后，小敏在距旗桿10米處活動.上課鈴響后，小敏以每秒5米的速度離開旗桿向教室跑去，則小敏離開旗桿的距離y(米)與行走時間t(秒)的函數(shù)關(guān)系為y5x10o(5)公園里有一個長為5米，寬為2米的長方形花壇，現(xiàn)把花壇加寬x米以擴大花壇面積，則花壇面積y與x的函數(shù)關(guān)系為y5x10.5、注重模型歸類，提高建模能力初中階段常用的數(shù)學模型有方程和不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型、三角形模型、統(tǒng)計概率模型等。教師要注重模型的歸類，特別是學業(yè)考試復習，更應根據(jù)不同模型進行分類復習。使學生能根據(jù)某種規(guī)律建立變量和參數(shù)間的一個明確數(shù)學關(guān)系，正確運用方程思想、函數(shù)思想，解決

19、不同的實際問題。在同一個生活背景下，讓學生靈活應用方程、不等式、函數(shù)等來解決不同的實際問題，使學生體會到數(shù)學的應用價值，并提高學生數(shù)學建模的能力.數(shù)學建模思想的形成過程是一個綜合性的過程，是數(shù)學能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。在數(shù)學教學過程中進行數(shù)學建模思想的滲透，可以使學生感覺到利用數(shù)學建模的思想解決實際問題的妙處，進而對數(shù)學產(chǎn)生更大的興趣。通過建模教學，培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和自主、合作、探索、創(chuàng)新的精神，為學生的終身學習、可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。因此在數(shù)學課堂教學中，逐步培養(yǎng)學生數(shù)學建模的思想，形成學生良好的思維習慣和應用數(shù)學的能力。(二)課題研究成果1.課題主持人曹亦祥老師有6篇論文在國家級、省級刊物上發(fā)表：(1)例談三角形的相似分割發(fā)表在國家級期刊中學生數(shù)學2014年第7期；(2)例談等腰三角形的分割問題發(fā)表在省級期刊初中數(shù)學教與學2014年第3期；(3)一道幾何中考題的解法探究發(fā)表在省級期刊中學數(shù)學月刊2014年第10期；(4)解題教學中如何有效的“轉(zhuǎn)化”問題-對一道一次函數(shù)圖像應用題的兩次講評設計及感悟發(fā)表在省級期刊課程與教學2014年第1期；(5)“動點運