初三解直角三角形知識點和練習(xí)題

1、中考解直角三角形考點一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個銳角互余：可表示如下：/C=9(J/A+/B=902、在直角三角形中,300角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾：直角三角形較短的直角邊股:直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關(guān)系：a2+b2=c；那么這個三角形是直角三角形.考點二、直角三角形的判定1、有一個角是直角的三角形是直角三角形、有兩個角互余的三角形是直角三角形2、如

2、果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形。(經(jīng)典直角三角形：勾三、股四、弦五)用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：(1)確定最大邊(不妨設(shè)為c)；(2)若c2=a2+b2,則4ABC是以/C為直角的三角形；若a2+b2c2,則此三角形為銳角三角形(其中c為最大邊)4。勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊。(2)已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系(3)用于證明線段平方關(guān)系的問題。(4)利用勾股定理，作出長為、吊的線段考點三、銳角三角函數(shù)的概念1、如圖，

3、在ABC中，/C=90銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記為sinA,即sinAA的對邊斜邊銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記為cosA,IPcosAA的鄰邊斜邊銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記為tanA,即tanAA的對邊A的鄰邊銳角A的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切，記為cotA,即cotA”鄰j-A的對邊a2、銳角三角函數(shù)的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)300450600sina12V-22昱cosaj3正-2-1萬tana旦31cota1正34、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)互余關(guān)系：sinA=cos(90A

4、),cosA=sin(90A);(2)平方關(guān)系：sin2Acos2A1(3)倒數(shù)關(guān)系:tanA?tan(900-A)=1(4)商(弦切)關(guān)系：tanA=snAcosA5、銳角三角函數(shù)的增減性當角度在090之間變化時，(1)正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；(2)余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)；(3)正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)；(4)余切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)考點四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三

5、角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在RtAABC,/C=90,/A,/B,/C所對的邊分別為a,b,c(1)三邊之間的關(guān)系：a2b2c2(勾股定理)(2)(3)(4)銳角之間的關(guān)系：/A+/B=90邊角之間的關(guān)系：正弦sin,余弦cos,正切tan1工1S血=-ab=-clic面積公式：之(hc為c邊上的高)考點五、解直角三角形應(yīng)用1、將實際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，用銳角三角函數(shù)、代數(shù)和幾何知識綜合求解2、仰角、俯角、坡面知識點及應(yīng)用舉例：(1)仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。（2）坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i-o坡度一月寫成1:m

6、l的形式，如i1:5等。把坡面與水平面的夾角記作（叫做坡角）,那么ihtan。l3、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3,OA、OBOGOD的方向角分別是:45、135、225.練習(xí)題1.矩形的邊長分別為a與石，則兩條對角線長的和是（B.2.a2b2Go2Va2b2a2b2.在ABG中,G90，ab=2AG=1則sinB的值是（3.如圖,B.G.在矩形ABG肌DnAG于E,設(shè)ADEA3B16o203D.3 ,AB=45165則AD的長為（4 .在高出海平面100米的山巖上一點A,看到一艘船B的俯角為30,則船與山腳的水平距離為（A.50米B200米G.100而米5

7、.在RtABG中,090,AB的坡度i=1:2,那么BG:GAAB等于（A.1:2:因B.1:73:2G,1:6 .在ABG中，G90,a,b,c分別為A,2B,G的對應(yīng)邊，cosB-,37 .計算：（1）2tan45(2)VT6322sin30.(3)sin245271.320066tan302C的四個三角函數(shù)值?8。在等腰ABC中，AB=AC如果AB=2BC畫圖并計算9.如圖所示，已知：在ABC中，A60,B45,AB=8,求ABC的面積.（結(jié)果可保留根號）10.已知為銳角，且sincos1,求sin5cos的值.11.如圖，小明想測量塔BC的高度。他在樓底A處測得塔頂B的仰角為60；爬到

8、樓頂D處測得大樓AD的高度為18米，同時測得塔頂B的仰角為30，求塔BC的高度D西,7n口/o口/n/12.一張寬為4,長為5的矩形紙片ABCD沿對角線BD對折，點C落在點C位置，BC交AD于G,求AG的長。C附加題1.如圖，在RtAABC,/C=90,BC=4,AC=3CD!AB于D,設(shè)/ACD項,則cosa的值為（2.菱形OABC&平面直角坐標系中的位置如圖所示，/AOC=450OC=/2,則點B的坐標為（A.（應(yīng),1）B。i金C.應(yīng)1,1D。i,V2i3.如圖，已知？ABC中，/ABC=900AB=BC三角形的頂點在相互平行的三條直線l1,l2,l3,且l1,l2之間的距離為2,Lb之間

9、的距離為3,則AC的長是（A.217B。2押C。4J2D.714。已知/A為銳角，且cosA1,那么（）2A.00A60B.600A90C。0A30D。300A905.當450A900時，下列不等式中正確的是（A.tanAcosAsinAC.sinAtanAcosABocosAtanAsinADotanAsinAcosA6.將寬為2cm的長方形紙條折疊成如圖所示的形狀，那么折痕Ao23cmB。43cmC.5cmD。33、PQ的長是（2cm7.如圖，在矩形ABCD,DE，AC于E,/EDC/EDA=13,且AC=10則DE的長度是（）A。3B05Co5版D.W228.若太陽光線與地面成300角，

10、一棵樹的影長為10米，則樹高h的范圍是（）A.3h5B.5h10C。10h15D。h15（731.7）9。如圖,ABCD是一個正方形，P、Q是正方形外的兩點，且？APDf口？BCCtB是等邊三角形，則tan/PQD口cA。2雜B.2FC.AjD.是史2410 .如圖，在Rt?ABC,/ACB=90,sinB=3,D是BC上一點，DHAB于E,CD=DEAC+CD=95求：BC的長；CE的長。11 .如圖，已知BC!AD于C,DF，AB于F,且99,S.EFB(1)求sincos的值；(2)若5,柞8S.ade,AF=6時，求tan/BAD的值。?AEF的面積是多少?12 .在正方形ABCm，F(xiàn)

11、是CD上一點,AELAF,AE交CB的延長線于點E,連結(jié)EF交AB于點G(1)求證：DFFC=BGEC;(2)已知：當tan/DAF=l時，？AEF的面積為10cn2,問當tan/DAF=2_時,33第三部分真題分類匯編詳解2007-2012（2007） 19.（本小題滿分6分）一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北21.30方向有一座小島C,繼續(xù)向東航行60海里到達B處，測得小島C此時在輪船的東偏北63。5。方向上.之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C最近？（參考數(shù)據(jù)：sin21.3-,tan21.3=2,sin63。5-,tan63o50=2）25510北0.90,tan6452.1

12、)第19題圖（2008） 19.（本小題滿分6分）在一次課題學(xué)習(xí)課上，同學(xué)們?yōu)榻淌掖皯粼O(shè)計一個遮陽蓬，小明同學(xué)繪制的設(shè)計圖如圖所示，其中，AB表示窗戶，且AB2米，BCD表示直角遮陽蓬，已知當?shù)匾荒曛性谖鐣r的太陽光與水平線CD的最小夾角為18.6、最大夾角為64.5：.請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助小明同學(xué)計算出遮陽蓬中CD的長是多少米？（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）(參考數(shù)據(jù)：sin18.6:0.32,tan18.6:0.34,sin645（2009） 19.（本小題滿分6分）在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)y量一座古塔CD的高度.他們首先從A處安置測傾器，測得塔頂C的仰角CFE21,然后往塔的方向前

13、進50米到達B處，此時測得仰角CGE37,已知測傾器高1.5米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出古塔CD的高度.c3393（參考數(shù)據(jù)：sin37一，tan37,sin21一,tan21一）54258（2010）19.（本小題滿分6分）小明家所在居民樓的對面有一座大廈ABAB=80米.為測量這座居民樓與大廈之間的距離，小明從自己家的窗戶C處測得大廈頂部A的仰角為37。，大廈底部B的俯角為48。.求小明家所在居民樓與大廈的距離CD的長度.（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：加370I匕e:sin48oA匕碗得解：第19題圖（2011）19.（6分）某商場準備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的400減至350.

14、已知原樓梯AB長為5m調(diào)整后的樓梯所占地面CM多長？（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin40o=0.64,cos40o=0.77,sin35o=0。57,tan35o=0.70)(2012)20。(8分)如I壯盛校教學(xué)樓NR的后面由一建筑物fQ,*地的亦即是盤“U九教學(xué)樓在建筑物的墻上礴下高？米的影子而當光線與地面夾苑是45時，教堂幡瑤/在地畫上的影予F與替虎前13米的跑離【品子:在一條直投上.（II求教學(xué)樓川口的高度：學(xué)校要花小之網(wǎng)掛叫彩旗.請你拿出心E之間的距周f趾果傀留整敷）(參考數(shù)據(jù):sin22*cosZl9-316附歷年真題標準答案：(2007)19.(本小題滿分6分)解：過C作A

15、B設(shè)BD=x海里,的垂線，交直線AB于點D,得到RtAACD與RtABCD.在RtABCD中,tan/CBD=CD,，CD=xtan63.5,BD在RtAACD中,CDAD=AB+BD=(60+x)海里，tan/A=一AD.CD=(60+x)tan21。3.xtan63.5=(60+x)tan21.3；即2x60x=15.答:輪船繼續(xù)向東航行15海里，距離小島C最近.(2008)19.(本小題滿分6分)解：設(shè)CMx,在RtABCD,BC.tanBDCBCCD,BDC18.6,CDtanBDC0.34x.21在RtAACD43,ADC64.5,tanADCAC,ACCDCDABACBC,22.1

16、x0.34x.1.14.答：CDK約為1。14米.(2009)19.(本小題滿分6分)解：由題意知CDCEF90,AD,EF設(shè)CEx,/AD，在RtACEF中,tanCFE在RtCEG中,tanCGE.EFFGEG,.CE,則EFEFCE，則GEGE4tanCFEtanCGExtan21xtan378-x;34x3tanADC2.1x.37.5,CDCEED37.51.539(米).答：古塔的高度約是39米.(2010)19.(本小題滿分6分)解：設(shè)CD=x.在RtAACD,tan37ADCDAD3一x.4在RtABCD43,tan48BDCD則-10BDBD，x11-x.10.AABD=AB3x411一x80.10C解得：x=43.答：小明家所在居民樓與大廈的距離CD大約是43米.第19題圖（2011）19.（本小題滿分6分）府5小聯(lián)滿分6分）謀.在RtZ3中.“田AD仙AB5/I