2020-2021學(xué)年上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2020-2021學(xué)年上海市華東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題、單選題1.對于直線l : axay 0 a 0 ,下列說法不正確的是(A.無論a如何變化，直線l的傾斜角的大小不變B.無論a如何變化，直線l 一定不經(jīng)過第三象限C.無論a如何變化，直線l必經(jīng)過第一、二、三象限D(zhuǎn).當(dāng)a取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線【答案】C【解析】 將直線方程化為斜截式方程，即可判斷各選項(xiàng)的真假.【詳解】1直線l可化為：y x ,所以直線的斜率為1,傾斜角為135 ,所以A正確;1.一直線斜率為 1,縱截距為 0,所以直線經(jīng)過一，二,四象限，所以 B正確，C錯(cuò)誤；直線l是斜率為 1的平行直線系，所

2、以當(dāng)a取不同數(shù)值時(shí)，可得到一組平行直線，D正確.故選：C .【點(diǎn)睛】本題主要考查通過直線的方程研究直線的特征，屬于基礎(chǔ)題.2.唐代詩人李頑的詩古從軍行開頭兩句說：白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”,詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題'將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系1中，設(shè)軍營所在的位置為B 2,0 ,若將軍從山腳下的點(diǎn) A -,0處出發(fā)，河岸線3所在直線方程為 x 2y 3,則 將軍飲馬”的最短總路程為()A.叵B. 5C.逗D.我333【答案】A【解析】根據(jù)題意，求得點(diǎn)B( 2,0)關(guān)于直線x 2y 3

3、的對稱點(diǎn)為C(0,4),結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，求得BC長，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)點(diǎn)B(2,0)關(guān)于直線x 2y 3的對稱點(diǎn)為C(x1,y1),可得V1x12x1222)XC0,yi 4,即 C(0,4)則 |BCJ(0 3)2 (4 0)2145， “一145145,即將軍飲馬的最短總路程為145-33故選：A.本題主要考查了直線方程的實(shí)際應(yīng)用問題，其中解答中合理轉(zhuǎn)化， 求得點(diǎn)關(guān)于直線的對 稱點(diǎn)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算 能力.B 1,0兩點(diǎn)連線的斜3.已知直線l:x my J3m 0上存在點(diǎn) M滿足與A 1,0、率kMA與k MB 之積為

4、3,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C.、6,6B.-6 U6.6666D.首先求出點(diǎn)M的軌跡方程y2 3x2 3,再根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為x my 73m 0有公共解集，求m的取值范圍 y2 3x2 3【詳解】設(shè) M x, y ,由于 kMA kMB3,得y3 ,即 y2 3x2 3, xx 1 x 1x my 、3m 01 o 2 2 3聯(lián)乂 22得13 x =一x 6 0,()y 3x 3mm130 m要滿足條件，只需22 ；31242 30mm即m2 -,解得：m /或m -. 666或工 3 0時(shí)，m Y3時(shí)，代入方程()解得: m3m正時(shí)，代入方程()，解得：x 1 ,舍3綜上可知:故選：C【點(diǎn)睛】

5、 本題考查軌跡方程，直線與圓錐曲線相交問題，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，計(jì)算能力，屬于 中檔題型.4.設(shè)直線系 M : xcos y 2 sin 1 , 02 ,對于下列四個(gè)命題：(1) M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；(2)存在定點(diǎn)P不在M中的任意一條直線上；(3)對于任意整數(shù)n , n 3,存在正n邊形，其所有邊均在 M中的直線上；(4) M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等；其中真命題的是()A. (2) (3)B. (1) (4)C. (2) (3)(4) D. (1) (2)【答案】A【解析】首先發(fā)現(xiàn)直線系 M : xcos y 2 sin 1 02 表示圓2一 2x2y 21的切線集合，再根

6、據(jù)切線的性質(zhì)判斷(1) (3) (4),以及觀察得到點(diǎn)0,2不在任何一條直線上，判斷選項(xiàng)【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)0,2到直線系M : xcos y 2 sin 1 02 中每條直線的距離.1,d ：221 ,直線系 M : xcos y 2 sin 1 02 表示圓一 cos sin22x y 21的切線集合.2(1)由于直線系表不圓x2 y 21的所有切線，其中存在兩條切線平行，所有M中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)不可能，故(1)不正確；(2)存在定點(diǎn)p不在M中的任意一條直線上，觀察知點(diǎn)M 0,2符合條件，故(2)正確;(3)由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對于任意整數(shù)在正n變形，其所有邊均在

7、 M的直線上，故(3)正確;(4)如下圖，M中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一類如4ABE，一類是aBCD ,顯然這兩類三角形的面積不相等，故(4)不正確.故選：A本題考查含參直線方程，距離公式，軌跡問題的綜合應(yīng)用，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與變形，分析 問題的能力，屬于偏難習(xí)題，本題的關(guān)鍵是觀察點(diǎn) 0,2到直線系M : xcos y 2 sin 1 02 中每條直線的距離1d j 221 ,直線系 M : xcos y 2 sin 1 02 表示圓,cos sin2一 2x y 21的切線集合，再判斷選項(xiàng)就比較容易、填空題4.5.直線y -x 1的單位法向量是34【斛析】由直線y - x 1可得法向量a

8、34, 3 ,可得其單位法向量為:4解：由直線y - x 1可得法向量a34, 3 ,因此其單位法向量為:4 3,.5 5故答案為:本題考查了直線的單位法向量的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.已知點(diǎn)P 2, 3 ,Q 3,2 ,直線axy 2 0與線段PQ相交，則實(shí)數(shù)a的取值范圍4 13,2【解析】【詳解】由直線ax y 2 0,即yax 2 ,此時(shí)直線恒過點(diǎn) A(0, 2),則直線PA的斜率k12 ( 3)0 21-2 2 4,，直線QA的斜率k2-20 331若直線ax y 2 0與線段PQ相交，則 一 24 1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是一,-.3 2點(diǎn)睛：本題考查了兩條直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中

9、把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線間的斜率之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，同時(shí)要熟記直線方程的各種形式和直線過定點(diǎn)的判定，此類問題解答中把直線與線段有交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與線段端點(diǎn)斜率之間關(guān)常見的一種解題方法，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力7.直線xcos/J3y + 2=0的傾斜角的范圍是0,6玲【解析】由題知k= Y3cos q3,結(jié)合正切函數(shù)的圖象，當(dāng)kC 0, 時(shí)，直線傾斜角30,-，當(dāng)kC,0時(shí)，直線傾斜角處36故直線的傾斜角的范圍是0,6u 568.過點(diǎn) 10,10且在x軸上的截距是在 y軸上截距的4倍的直線的方程為115一x 42【解析】分類討論：直線過坐標(biāo)原點(diǎn)、直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)，再根據(jù)截距

10、的關(guān)系求解出直線的方程.當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，顯然直線的斜率存在，設(shè)y kx，代入10,10 ,所以10k 10,所以k1 ,所以直線方程為y x；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)y 10 k x 10 ,所以橫截距為10，,一 10,縱截距為 k10k10,所以10k1-x410 4 10k152，故答案為:1,人10 ,解得k 或k 1 （舍），4所以直線方程為152本題考查根據(jù)截距關(guān)系求解直線方程，難度一般.根據(jù)截距的倍數(shù)求解直線方程時(shí)，要注意直線過坐標(biāo)原點(diǎn)的情況9.已知三條直線l1 ： 4x y 4 0 , I2 : mxy 0, l3：2x 3my 4 0不能圍成三角形，則m，12【答案】4或

11、1或一或一63得到三條直線的位置關(guān)系，根據(jù)位置關(guān)系【解析】首先根據(jù)三條直線不能構(gòu)成三角形,列式求m .【詳解】若三條直線不能圍成三角形，則存在兩條直線平行，或是三條直線交于同一點(diǎn),41.當(dāng) I1/I2 時(shí)，一 一，即 m 4 ,當(dāng) I1m 1m 1當(dāng)I2/I3時(shí)，一，不成立，2 3m4/ “3 時(shí)，一21廣，解得:3m當(dāng)三條直線交于同一點(diǎn)時(shí)，聯(lián)立直線ii和I2,則4xmx4m4y ;m-,即交點(diǎn)為 -m 44 m4mm 4，代入直線l312m2m 40,即23m m 2 0,解得：m，1所以m 4或一或 6故答案為：4或1或21或二.312一或一63本題考查直線與直線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查分析問

12、題的能力,屬于基礎(chǔ)題型10.已知等腰三角形的底邊所在直線過點(diǎn)P 2,1 ,兩腰所在的直線為7x y 4 0,則底邊所在的直線方程是【答案】3x y 7 0或x 3y 1 0【解析】在等腰三角形頂角角平分線上任取一點(diǎn)M x, y ,利用點(diǎn)M到兩腰所在直線的距離相等可求得頂角角平分線方程,再由底邊所在直線過點(diǎn)P且與頂角角平分線垂直可求得所求直線的方程在等腰三角形頂角角平分線上任取一點(diǎn)則點(diǎn)M到直線x y 2 0與7x0的距離相等,由題意可得7x y 47x y 4所以，7x y 4 5 x y2 或 7x y所以，該等腰三角形頂角角平分線所在直線的方程為x 3y 7 0或6x 2y 3 0.由于底邊

13、與頂角角平分線垂直 .1當(dāng)?shù)走吪c直線X 3y 7 0垂直時(shí)，且直線x 3y 7 0的斜率為， 3此時(shí)底邊所在直線方程為 y 13x2,即3xy7 0；當(dāng)?shù)走吪c直線6x 2y 3 0垂直時(shí)，且直線6x 2y 3 0的斜率為 3,1此時(shí)底邊所在直線方程為 y 1 1 x 2 ,即x 3y 1 0. 3故答案為：3x y 7 0或x 3y 1 0.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形底邊所在直線方程的求解，考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題 11.數(shù)學(xué)家歐拉在 1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一

14、半，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線，已知.ABC的頂點(diǎn)A 2,0 , B 0,4 ,若其歐拉線方程為x y 2 0 ,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【答案】4,0【解析】 設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線得方程，求出 AB的垂直平分線，聯(lián)立歐拉線方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C m, n ,由重心坐標(biāo)公式得,ABC的重心為代入歐拉線方程得：2- 土2 0,整理得：m n 4 0 33AB 的中點(diǎn)為 1,2 , kAB 402,0 21AB的中垂線方程為y2 x1,即x2y3 0.2聯(lián)立x 2y 3x y 2ABC的外心為 1,1l

15、 r2222則 m 1n 13 1 ,整理得：m2 n2 2m 2n 8聯(lián)立得：m 4,n 0或m 0,n 4.當(dāng)m 0,n 4時(shí)B,C重合，舍去.頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是 4,0 .【點(diǎn)睛】12.已知點(diǎn)P在直線X本題主要考查了直線方程的各種形式，重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題2y 1 0上，點(diǎn)Q在直線x 2y 3 0上，PQ的中點(diǎn)為M(X0, y°),且y° X0 2 ,則一的取值范圍是 .X0【答案】(L 1)25【解析】【詳解】注意到兩直線是平行的，故點(diǎn)M的軌跡為與兩直線的距離相等，且平行于兩直線的直0 ,而且滿足不等式線，其方程為x 2y 1 0 ,即M ( X0,y°)

16、滿足X。2y0 1y0X。2的點(diǎn)都在直線y x 2的左上方問題轉(zhuǎn)化為求射線X02 y010(X。5V。一)上點(diǎn)m( X0, y°)的的取值范圍,3X0而"的幾何意義是 M ( X0, y0)與原點(diǎn)連線的斜率，故 koM "X0X013 .已知 ， R,直線sin sinysin cosXcos sinycos cos1的交點(diǎn)在直線yX上，則sin cos sin cos【解析】聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)在在直線yX上，得到三角關(guān)系式，化簡得到答案.交點(diǎn)在直線y1111sinsincossinsincoscoscos1111sinsincoscoscossinsinc

17、ossincossincossincossincos(sinsin)(coscos)(cossin)(sincos )xsin siny sin cosx cos siny cos cos(1 sin sin1cos sin)x (-1 sin coscos cos)y 0(sin sin )(cos觀察分母cos )和(cos sin )(sin cos )不是恒相等故 sin cos sin cos 0故答案為：0本題考查了直線方程，三角函數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力14.已知點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=ax+b(a>0)將"BC分割為面積相等的

18、兩部分則b的取值范圍是【解析】解法一：先求得直線y=ax+b (a>0)與x軸的交點(diǎn)為M(-2，0),由-？aa可得點(diǎn)M在射線OA上.求出直線和 BC的交點(diǎn)N的坐標(biāo)，若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，求得b=1 ；若點(diǎn)M在點(diǎn)。和點(diǎn)A之間，求得1 <b< 1 ；若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，求得33211 >b>1 - 22_ .再把以上得到的三個(gè) b的范圍取并集，可得結(jié)果.解法二：考查臨界位置時(shí)對應(yīng)的b值，綜合可得結(jié)論.【詳解】1 一解法一：由題意可得，三角形 ABC的面積為 一AB OC=1,由于直線y=ax+b (a> 0)與x軸的交點(diǎn)為M( - b, 0),a由直線y=ax+b

19、 (a>0)將4ABC分割為面積相等的兩部分，可得 b>0,一 b 故一巴切，故點(diǎn)M在射線OA±.ay ax b一設(shè)直線y=ax+b和BC的交點(diǎn)為N,則由可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為x y 1().a 1 a 1若點(diǎn)M和點(diǎn)A重合，則點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，故N ( - , 1 ),22把A N兩點(diǎn)的坐標(biāo)彳t入直線 y=ax+b,求得a=b=-.31., 一，、一若點(diǎn)M在點(diǎn)。和點(diǎn)A之間，此時(shí)b> ,點(diǎn)N在點(diǎn)B和點(diǎn)C之間，3，一， 1由題息可得三角形 NMB勺面積等于一，2即1 MB yN = L 即1 1b b =-,可得 a=-b >0,求得 b v1，222 a a 1

20、212b2故有1 <b< 1 .32若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)，則b< -,由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)-< -1,求得b>a.3a設(shè)直線y=ax+b和AC的交點(diǎn)為 巳則由 y ax b求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 y x 1(S, 3)a 1 a 1此時(shí)，由題意可得，二角形CPN的面積等于 工，即 1？(1 - b) ?風(fēng)-xp|= ,222即1 (1 b) ?|L_b L_b|=1 ,化簡可得 2 (1 b) 2=|a2-1|.2a 1 a 1 2由于此時(shí) b >a>0, 0< a< 1,2 (1 b) 2=|a2- 1|=1 - a2 .兩邊開方可得亞(1 - b)=

21、在 a2 v 1，再把以上得到的三個(gè) b的范圍取并集，可得b的取值范圍應(yīng)是解法二：當(dāng)a=0時(shí)）直線y=ax+b （a>0）平行于 AB邊）2由題意根據(jù)三角形相似且面積比等于相似比的平方可得1-b =1 , b=1 - YZ ,趨于最小.，一、2由于 a>0,b>1 .當(dāng)a逐漸變大時(shí)，b也逐漸變大, 當(dāng)b=1時(shí)，直線經(jīng)過點(diǎn)（0,2），再根據(jù)直線平分 ABC的面積，故a不存在，故b<1.222綜上可得，1也<b< 1,故答案為本題主要考查確定直線的要素,點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用,考察運(yùn)算能力以及綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題.三、解答題

22、15.已知直線l的方程為2x y 1 0.（1）求過點(diǎn)A 3,2 ,且與直線l垂直的直線11方程;（2）求過1與11的交點(diǎn)B ,且傾斜角是直線1的一半的直線12的方程.【答案】（1） x 2y17.5一 x 2【解析】（1）由于直線1垂直直線11 ,所以設(shè)直線11為x 2y c 0,然后將點(diǎn)A 3,2坐標(biāo)代入方程中可求出c的值，從而可得直線11方程;(2)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)直線l的傾斜角為，則直線12的傾斜角為一，然后由正2切的二倍角公式可求出 tan的值，再利用點(diǎn)斜式可求出直線12的方程2【詳解】 解：由題意設(shè)直線li為x 2y c 0,則322 c 0,得 c 7,所以直線li方程為x

23、2y 7 0,（2）由2x yx 2y0|x，得 ，所以（1,3）0y = 3設(shè)直線i的傾斜角為,則直線12的傾斜角為一，tan 2 , 22 tan2 tan因?yàn)?tan 2,所以 2 2,即 tan2 tan 1 0 ,1 tan2 -1 tan2 -2222解得 tan 1 或 tan 51 ,2222因?yàn)閠an 2 0,所以 (。，,)，所以一2（°，-） ,所以 tan 所以直線12的方程為y 31）,即 y7 .52【點(diǎn)睛】此題考查直線方程的求法， 考查直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查正切的二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題16.已知直線11 ： 3x 4y 70 與 12：3x

24、 4y 8 0.(1)若A x1，y1、B x2,y2兩點(diǎn)分別在直線11、12上運(yùn)動(dòng)，求 AB的中點(diǎn)D到原點(diǎn)的最短距離；(2)若M 2,3，直線1過點(diǎn)M ,且被直線11、12截得的線段長為375 ,求直線1的 方程.【解析】(1) AB的中點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡為與11、12平行且在它們中間的直線得其斜率,再求兩直線在y軸中點(diǎn)的坐標(biāo)可得答案.(2)設(shè)1的直線方程，分別于11、12聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式可得1斜率，然后根據(jù)點(diǎn)斜式方程求得答案.【詳解】(1)因?yàn)锳 x1,y1、B X2, y2兩點(diǎn)分別在直線11、L上運(yùn)動(dòng)，所以AB的中點(diǎn)D的軌跡為與11、12平行且在它們中間的直線，設(shè)

25、其方程為13：3x 4y m 0, 11、12與y軸的交點(diǎn)分別為(0,1)、(0, 2),兩點(diǎn)的中點(diǎn)為1， c c /一,所以 13 ：6x 8y 1 20,4一，一,1且中點(diǎn)在直線L所以0 4 ( -) m 0,m8AB的中點(diǎn)D到原點(diǎn)的最短距離即為原點(diǎn)到直線13的距離，為162 82110.(2) 1過M 2,3點(diǎn)且與x軸垂直的直線方程為x 2,.J 一 八 7一、，與1i、12的交點(diǎn)為2,一和2,兩點(diǎn)之間的距離為4217 八一 - 2不符合題意, 4 4所以設(shè)1的斜率為k ,直線方程為y3 k(x 2),8k 5x y 3 k(x 2)4k 3由直線1與11 y ''即 4k 3,交點(diǎn)為為3x 4y 7 0k 9y 4k 38k 5 k 9,)4k 34k 3由直線1與12y 3 k(x 2)即3x 4y 8 0 y8k 204k 3-上*(8k-20 9-14k1,9 14kI 4k+ 3 4k + 34k 3所以兩交點(diǎn)之間的距離為佃-20VI 4k +3X28k 5 + 914k4k +3)4k+3,2-"=3娓 4k+3j-,2解得k2 ,或k,112所求