3.2.1立體幾何中的向量方法高2019級ppt課件

1、溫故夯基溫故夯基1設(shè)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab _ ab_.2所謂直線的方向向量，就是指和這條直線所對所謂直線的方向向量，就是指和這條直線所對應(yīng)的向量應(yīng)的向量_的向量，一條直線的方向的向量，一條直線的方向向量有向量有_個個平行平行(或共線或共線)無數(shù)無數(shù)aba1b1，a2b2，a3b3(R)ab0a1b1a2b2a3b30A平面的法向量：如果表示向量平面的法向量：如果表示向量 的有向線段所在直線的有向線段所在直線垂直于平面垂直于平面 ，則稱這個向量垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面 ,記作記作 ，假設(shè)，假設(shè) ，那，那 么么 向向 量量 叫做平面叫做平面 的法向的法向量

2、量. n n n n 給定一點給定一點A和一個向量和一個向量 ,那么那么過點過點A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是完全確定的完全確定的.n n 幾點注意：幾點注意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個平面的所有法向量都一個平面的所有法向量都互相平行互相平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是與平面平行或在平面是與平面平行或在平面內(nèi)，則有內(nèi)，則有0n m n m n l問題：如何求平面的法向量？),() 1 (zyxn 設(shè)出平面的法向量為),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐標(biāo)兩個不共線的找出（求出）平面內(nèi)的00,)3(b

3、nanzyx方程組的關(guān)于根據(jù)法向量的定義建立個解，即得法向量。解方程組，取其中的一)4( 知知ABC的三個頂點的坐標(biāo)分別為的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，試求出平面，試求出平面ABC的一的一個法向量個法向量【思路點撥】【思路點撥】(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 單位法向量。nxyz解：設(shè)平面的法向量為（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 則，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33

4、3ABC求平面的單位法向量為， ，）練習(xí)：aaaaaa線線面面平平行行 面面面面平平行行 二、平行關(guān)系：二、平行關(guān)系：111222(,),(,),laa b cua b c設(shè)直線 的方向向量為平面 的法向量為則121 21 2/00;laua abbc c 已知正方體已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為的棱長為2，E、F分別是分別是BB1、DD1的中點，求證：的中點，求證：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F.【思路點撥】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直【思路點撥】先建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線的方向向量和平面的法向量，再利用直線的方線的方向向量和平面的法向量，

5、再利用直線的方向向量和平面的法向量間的關(guān)系證明線面平行和向向量和平面的法向量間的關(guān)系證明線面平行和面面平行面面平行 已知正方體已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為的棱長為2，E、F分別是分別是BB1、DD1的中點，求證：的中點，求證：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F.三、垂直關(guān)系：三、垂直關(guān)系：111222222,0, /abca b cauabc當(dāng)時111222( ,),(,),aa b cua b c若則121212/,.lauakuaka bkb ckc 在正棱錐在正棱錐PABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，中，三條側(cè)棱兩兩垂直，G是是PAB的重心，的重心

6、，E、F分別為分別為BC、PB上的點，上的點，且且BE ECPF FB1 2.(1)求證：平面求證：平面EFG平面平面PBC；(2)求證：求證：EGBC，PGEG.【思路點撥】面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直或兩【思路點撥】面面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直或兩平面的法向量相互垂直來證明平面的法向量相互垂直來證明【證明】【證明】(1) ：如圖，以三棱錐的頂點：如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以為原點，以PA、PB、PC所在直線分別作為所在直線分別作為x軸、軸、y軸、軸、z軸建立空間直角軸建立空間直角坐標(biāo)系令坐標(biāo)系令PAPBPC3，則，則A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0

7、,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)【名師點評】證明面面垂直通常有兩種方法，【名師點評】證明面面垂直通常有兩種方法，一是利用面面垂直的判定定理一是利用面面垂直的判定定理,轉(zhuǎn)化為線面垂直、轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明；二是證明兩個平面的法向量互線線垂直去證明；二是證明兩個平面的法向量互相垂直相垂直變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練:在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E，F(xiàn)分別是棱分別是棱AB，BC的中點，試在棱的中點，試在棱BB1上找一點上找一點M,使得使得D1M平面平面EFB1.鞏固性訓(xùn)練11.設(shè)設(shè) 分別是直線分別是直線l1,l2的方向向量的方向向量,根據(jù)根據(jù)下下 列條件列條件,判斷判

8、斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系的位置關(guān)系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行鞏固性訓(xùn)練21.設(shè)設(shè) 分別是平面分別是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 下列條件下列條件,判斷判斷,的位置關(guān)系的位置關(guān)系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交鞏固性訓(xùn)練31、設(shè)平面、設(shè)平面 的法向量為的法向量為(1,

9、2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),假設(shè)假設(shè) ，則，則k= ；假設(shè)；假設(shè) 那么那么 k= 。2、知、知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面的，平面的法向量為法向量為(1,1/2,2),則則m= .3、假設(shè)、假設(shè) 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量的法向量為為(1,1/2,2),且且 ，則，則m= ./llll鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)41、相交于同一點的三直線、相交于同一點的三直線a，b，c的方向向量分別是的方向向量分別是 ， ， ，假設(shè)，假設(shè) ，那么（，那么（ ）1e0,03221eeee3e2ecaA/.所在平面的法向量是直線ca

10、eC,.caB.以上都不對.DC3、已知、已知A1，1，1），），B1，0，0），），C0，1，-1）（1寫出直線寫出直線BC的一個方向向量；的一個方向向量；（2設(shè)平面設(shè)平面 經(jīng)過點經(jīng)過點A，且，且 是是 的法向量，的法向量，Mx,y,z） 是平面是平面 內(nèi)任意一點，試寫出內(nèi)任意一點，試寫出x,y,z滿足的關(guān)系式。滿足的關(guān)系式。BC2、知、知 是平面是平面 的一個法向量，直線的一個法向量，直線 , 則直線則直線 的一個方向向量是（）的一個方向向量是（） A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,-3,1) D.(-2,3,-1) 1 , 3, 2( nllD求平面的法向量的坐標(biāo)的步

11、驟 第一步第一步(設(shè)設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z). 第二步第二步(列列):根據(jù)根據(jù)na = 0且且nb = 0可列出方程可列出方程組組 第三步第三步(解解):把把z看作常數(shù)看作常數(shù),用用z表示表示x、y. 第四步第四步(取取):取取z為任意一個正數(shù)為任意一個正數(shù)(當(dāng)然取得越特當(dāng)然取得越特 殊越好殊越好),便得到平面法向量便得到平面法向量n的坐標(biāo)的坐標(biāo). 11122200 xx yy zzxx y y z z一、直線的方向向量定義一、直線的方向向量定義:二、平面的法向量定義二、平面的法向量定義假設(shè)假設(shè) ，那么向量，那么向量 叫做平面叫做平面 的法向量的法向量.ee如果表示向量如果表示向量 的有向線段所在直線垂直于平面的有向線段所在直線垂直于平面 ，則稱這個向量，則稱這個向量垂直于平面垂直于平面 ,記作記作 eee（1可設(shè)法向量的坐標(biāo)可設(shè)法向量的坐標(biāo)（闡明：設(shè)法向量時可令（闡明：設(shè)法向量時可令x或或