2020屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三階段測(cè)試三數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、2020屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三階段測(cè)試三數(shù)學(xué)試題一、填空題1 .設(shè)全集 U 1,2,3,4,5,若 euA 1,2,4,則集合 A 【答案】3,5.【解析】直接求根據(jù)euA 1,2,4求出集合A即可.【詳解】解：因?yàn)槿?U 1,2,3,4,5若euA 1,2,4,則集合A 3,5.故答案為：3,5.【點(diǎn)睛】 本題考查補(bǔ)集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題2 .已經(jīng)復(fù)數(shù)z滿足（z 2）i 1 i （i是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的模是【答案】,10【解析】【詳解】Q (z 2)i 1 i ,1 i 1 3i z 23 i,iz而,故答案為而.3.已知一組數(shù)據(jù) a1，a2,a3, ,an的平均數(shù)為a,極差為d,

2、方差為S2,則數(shù)據(jù)2a1 1, 2a2 1, 2a3 1 ,2an 1的方差為【答案】4S2【解析】根據(jù)在一組數(shù)據(jù)的所有數(shù)字上都乘以同一個(gè)數(shù)字，得到的新數(shù)據(jù)的方差是原來(lái) 數(shù)據(jù)的平方倍，得到結(jié)果.解：數(shù)據(jù)a，a2,a3,，an的方差為S2,，數(shù)據(jù) 2a1 1, 2a2 1,2a3 1,，2an 1的方差是S2 224S2,故答案為：4S2.此題主要考查了方差，關(guān)鍵是掌握方差與數(shù)據(jù)的變化之間的關(guān)系.4.如圖是一個(gè)算法的偽代碼，其輸出的結(jié)果為SQFort From 1 To 10 Stqi iSTH MH I)End ForPrints入 10【答案】 一11【解析】由題設(shè)提供的算法流程圖可知12

3、2 310 111101111 '10應(yīng)填答案.11，其中奇數(shù)的5 .從0,2中選一個(gè)數(shù)字，從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)個(gè)數(shù)為【答案】18【解析】 試題分析：分類討論：從 0、2中選一個(gè)數(shù)字0,則0只能排在十位；從 0、2中選一個(gè)數(shù)字2,則2排在十位或百位，由此可得結(jié)論.解：從0、2中選一個(gè)數(shù)字0,則0只能排在十位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有 屋=6種；從0、2中選一個(gè)數(shù)字2,則2排在十位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與百位，共有A2=6種；2排在百位，從1、3、5中選兩個(gè)數(shù)字排在個(gè)位與十位，共有A2=6種；故共有3 A2 =18種，故答案為1

4、8.【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理2 y2 1 a 0,b b點(diǎn)評(píng)：本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵2X6 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若雙曲線C : a則雙曲線C的漸近線方程為:【答案】y 3x【解析】由雙曲線的離心率為而,可以得到-屈,再根據(jù)a2 b2ac2求出a,b的關(guān)系，從而得出漸近線的方程22解：因?yàn)殡p曲線C:與與 a b1 a 0,b 0的離心率為而,所以£ -io, a2故一210，a又因?yàn)閍2 b2 c2,所以2,2a b10,即 by所以雙曲線的漸近線 y 3x.本題考查了雙曲線漸近線的問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是由題意解析出a, b的關(guān)系，從而解決問(wèn)題.7

5、 .將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 二個(gè)單位后得到函數(shù) y 4sin 2x的圖象，則fm634為.【答案】4【解析】試題分析：將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 /個(gè)單位后得到函數(shù) y 4sin 2xm的63圖象，即將 函數(shù)y 4sin 2x J的圖象向左平移機(jī)個(gè)單位得y=4sin236=4sin2x ,所以 f _? = 4sin 4 .42【考點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象平移.8 .設(shè)定義在 R上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間0,)上是單調(diào)減函數(shù)，且2f X 3x f (2) 0 ,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是【答案】(1,2)【解析】根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性分析可得函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù)，則2f x 3x f

6、 (2) 0可以轉(zhuǎn)化為x2 3x 2,解可得x的取值范圍，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，f(x)是在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間0,)上是單調(diào)減函數(shù)，則其在區(qū)間(，0)上遞減，則函數(shù)f (x)在R上為減函數(shù)，-2_-_2_2_2_f x 3x f(2) 0 f x 3x f(2) f (x 3x) f( 2) x 3x 2解得：1x2;即實(shí)數(shù)x的取值范圍是(1,2)；故答案為：(1,2).【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析函數(shù)在整個(gè)定義域上的單調(diào)性.31.9 .在銳角三角形 ABC中Sin A ，tan(A B) q ,則3tan C的值為.53【答案】79【解析】由題意

7、可得tanA,進(jìn)而可得tanB,而tanC tan(A B),由兩角和與差的正切公式可得.【詳解】解：在銳角三角形ABCsin A 一5，cos A 1 sin A 一 5sin A 3 tan A -,cos A 4tanB tanA (A B)tan A tan(A1 tan Atan(AtanC tan(A B)tan A tanB1 tan A tanB3 1Bl4 313B) 1 3 19 '14 33 13Z 9793 133 '14 93tan C 79故答案為：79 .本題考查兩角和與差的正切公式，屬中檔題.10 .已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和&nan

8、3n(n 1)(n N*)且a2 11,則a1的值【答案】5【解析】由Sn nan 3n(n 1)(n N*),且a2 11.取n 2即可得出.【詳解】解： Sn nan 3n(n 1)(n N*),且 a2 11 .a a2 2 a2 6,即 a a2 6 5.故答案為：5.【點(diǎn)睛】本題考查了遞推式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.x+ y11 .設(shè)正實(shí)數(shù)x, y滿足xy二 ,則實(shí)數(shù)x的最小值為 .x- y【答案】，2 i.x+ y22【解析】由正實(shí)數(shù)x , y滿足xy =，化為xy 1 x y x 0 ,可得x- y1 x2 2 4x2 0x2 1八yi y2 0,計(jì)算即可.xy/2 i 0【詳解】x

9、 + y解：由正實(shí)數(shù)x, y滿足xy=,x- y2,2-化為 xy1 x y x 0,2 2 21 x24x2 0x2 1x4 6x2 1 0 y1 y2 0,化為，xx 1y/2 1 0解得x V2 1.因此實(shí)數(shù)x的最小值為近 1 .故答案為：J2 1.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)數(shù)根與判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、元二次不等式的解法,考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.12 .如圖正四棱柱 ABCDABC1D1的體積為27 ,點(diǎn)E, F分別為棱B1B,C1C上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)）且 EF /BC ,則四棱錐A AEFD的體積為【答案】9.1 八【解析】由Va AED VE AiADS A1A

10、D AB ,由此能求出四棱錐A AEFD的體積.3【詳解】解：連接DE ,正四棱柱ABCD AB1C1D1的體積為27 ,點(diǎn)E, F分別為棱B1B,CC上的點(diǎn)（異于端點(diǎn)），且EF/BC ,VA1 AEDVA FED ,VA1 AED Ve A1AD11S A1AD AB SA, ADD1 AB361-V ABCD A1clD16四棱錐A AEFD的體積Va aefd 9 .本題考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題.rrrrrr r r113 .已知向量a,b,c滿足a b c 0且a與b的夾角的正切為-,1 rr r

11、正切為 一，|b| 2 ,則a c的值為3r rb與c的夾角的uurr uurr uurr1【解析】可設(shè)ABa,BCb,CAc,由題意可得tan B ,tanC2的正切公式，可得tanA,再由同角的基本關(guān)系式可得sinB,sinC,再由正弦定理可得AB, AC,由數(shù)量積的定義即可得到所求值.【詳解】r c,uuu r uuur r uuu 解：可設(shè) AB a,BC b,CA由題意可得tan B1-,tan C2則 tan A tan(BC)tan B tanC1 tan B tanC即為A 135 ,2 又B,C為銳角，sin B2 - cos B, sin B1-cosB口5可得sinB ,

12、 5同理可得sinC1010由正弦定理可得sin135r|c|5r|a|_名,10即有2 JO2 <55r ULT| c | | a | cos452.10 2.52故答案為：-5本題考查向量的數(shù)量積的定義，考查正弦定理和三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.x14 .已知f(x) m(x 2m)(x m 3), g(x) 22 ,右同時(shí)滿足條件：x R, f(x) 0 或 g(x) 0； x (, 4), f (x)g(x) 0 .則 m 的取值范圍是【答案】m 4, 2x【解析】根據(jù)g(x) 22 0可解得x<1,由于題目中第一個(gè)條件的限制，導(dǎo)致f(x)在x 1是

13、必須是f(x) 0,當(dāng)m=0時(shí)，f(x) 0不能彳到f(x)在x 1時(shí)f(x) 0, 所以舍掉，因此，f(x)作為二次函數(shù)開(kāi)口只能向下，故 m<0,且此時(shí)2個(gè)根為1,x1 2m 1 m -X 2m8 m 3,為保證條件成立，只需o d 2 ,和大前提x2m 3 1,m 4m<0取交集結(jié)果為 4 m 0;又由于條件2的限制，可分析得出在x ( ，4)，f(x)恒負(fù)，因此就需要在這個(gè)范圍內(nèi)g(x)有得正數(shù)的可能，即-4應(yīng)該比x1x2兩個(gè)根中較小的來(lái)的大，當(dāng)m (1,0)時(shí)，m 3 4,解得交集為空，舍.當(dāng) m=-1時(shí)，兩個(gè)根同為 24 ,舍.當(dāng)m ( 4, 1)時(shí)，2m 4,解得m 2

14、,綜上所述，m (4, 2).【考點(diǎn)定位】本題考查學(xué)生函數(shù)的綜合能力，涉及到二次函數(shù)的圖像開(kāi)口，根大小，涉 及到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還涉及到簡(jiǎn)易邏輯中的“或”，還考查了分類討論思想.、解答題18,向量_ uuur uuu uur15 .已知 ABC的面積為9J3,且AC (AB CB)urrm (tan A tan B,sin 2C)和向量 n (1,cos AcosB)是共線向量(1)求角C;(2)求 ABC的邊長(zhǎng)c.【答案】(1) C - (2) 3,6 3【解析】(1)利用向量共線的條件，建立等式，再利用和角的正弦公式化簡(jiǎn)等式，即可求得角C;uuur uuuuuuuuuruiuruuuru

15、uur2積為93 ,及余弦定理可求(2)由 AC (ABCB)18得：AC(ABBC)AC18，進(jìn)而利用 ABC 的面ABC的邊長(zhǎng)c.【詳解】rr(1)因?yàn)橄蛄?m (tan A tan B,sin 2C)和 n (1,cosAcosB)是共線向量,所以 cos Acos B(tan A tan B) sin 2C 0 ,即 sinAcosB cosAsin B 2sin C cosC 0 ,化簡(jiǎn) sinC 2sinCcosC 0,即 sinC(1 2cosC) 0.因?yàn)? c ，所以sinC 0 ,1 c 從而 cosC , C .2 3uuur uuin uuin (2) Q AC (AB

16、 CB) 18, uuuruuuuuuumruuuruur 218 AC(ABCB)ACAC| AC |UI1r則 |AC| ,18 3、2,于是 AC 3.2.因?yàn)閂ABC的面積為9M ,1所以CA CB sin C 93 ,1即一3 2CBsin- 9、3 23解得CB 6.2在VABC中，由余弦定理得 AB2 CA2 CB2 2CA CB cosC 3 2)2 (6 .2)2 2 3 2 6 2 154,所以 AB 54 3 6.【點(diǎn)睛】 本題重點(diǎn)考查正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用正弦、余弦定理求出三角形的邊.16 .如圖，四棱錐 P-ABCD的底面為矩形

17、，且 AB= 1, BC = 1, E, F分別為AB ,PC中點(diǎn).(1 )求證：EF/平面PAD ;(2)若平面 PAC，平面 ABCD ,求證：平面 PAC，平面 PDE.【答案】證明：(1)方法一：取線段 PD的中點(diǎn)M ,連結(jié)FM , AM .因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以 FM /CD ,且FM = - CD .因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，所以 EA /CD ,且 EA= CD.所以 FM /EA,且 FM = EA.所以四邊形AEFM為平行四邊形.所以EF/AM . 5分又AM 平面PAD , EF 平面PAD ,所以EF/平面PAD . 7分方法二：連結(jié) CE并延長(zhǎng)交DA的

18、延長(zhǎng)線于N,連結(jié)PN .因?yàn)樗倪呅?ABCD為矩形，所以 AD /BC,所以/BCE = /ANE, ZCBE = ZNAE .又 AE=EB,所以CEBJNEA ,所以 CE = NE.又F為PC的中點(diǎn)，所以 EF/NP. 5分又NP 平面PAD ,EF 平面PAD，所以EF /平面PAD .7分方法三：取 CD的中點(diǎn)Q,連結(jié)FQ, EQ.在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以 AE = DQ ,且AE /DQ .所以四邊形 AEQD為平行四邊形，所以 EQ/AD.又AD 平面PAD , EQ 平面PAD ,所以EQ /平面PAD .2分因?yàn)镼, F分別為CD, CP的中點(diǎn)，所以FQ/PD.

19、又PD 平面PAD , FQ 平面PAD ,所以FQ /平面PAD .又 FQ, EQ 平面 EQF, FQ AEQ=Q,所以平面 EQF /平面 PAD . 5分因?yàn)镋F平面EQF,所以EF/平面PAD . 7分(2)設(shè)AC, DE相交于G.在矩形ABCD中，因?yàn)锳B = lBC , E為AB的中點(diǎn).所以約=里=.AE DA又/DAE =/CDA ,所以ADAE s不DA ,所以/ADE =/DCA .又/ADE +/CDE = /ADC = 90 ° ,所以ZDCA +/CDE = 90 ° .由ADGC的內(nèi)角和為180 ° ,得GC=90° .即D

20、EAC. 10因?yàn)槠矫鍼AC，平面ABCD因?yàn)镈E 平面ABCD，所以DE，平面PAC ,14分又DE 平面PDE ,所以平面 PAC，平面PDE .【解析】略17 .如圖，OM , ON是兩條海岸線，Q為海中一個(gè)小島，A為海岸線OM上的一個(gè)碼頭.已知km£MON = -?, 0A = 6 km, Q到海岸線OM , ON的距離分別為 3 km ,6麗AB經(jīng)過(guò)小島Q .t km .現(xiàn)要在海岸線 ON上再建一個(gè)碼頭，使得在水上旅游直線（1）求水上旅游線 AB的長(zhǎng)；（2）若小島正北方向距離小島 6 km處的海中有一個(gè)圓形強(qiáng)水波 P,從水波生成t h時(shí)的半徑為二3%嬴（a為大于零的常數(shù)）.

21、強(qiáng)水波開(kāi)始生成時(shí)，一游輪以 1Mt3 km/h的速度自碼頭A開(kāi)往碼頭B,問(wèn)實(shí)數(shù)a在什么范圍取值時(shí)，強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.【答案】（1） 9曲km（2） 0 < "杼糖【解析】試題分析：（1）由條件建立直角坐標(biāo)系較為方便表示：注（6.0）,直線0區(qū)的方程為¥奴J仍.由q到海岸線on的距離為工"km ,得而-=丁，解得 應(yīng)再由兩直線交點(diǎn)得 *必，利用兩點(diǎn)間距離公式得+（2）由題意是一個(gè)不等式恒成立問(wèn)題：設(shè) L小時(shí)時(shí)，游輪在線段上的點(diǎn)C處,而不等式恒成立問(wèn)題往往利用變量分離將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問(wèn)題:a < (72t +. = 24有-維Inin試題解析

22、：（1）以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線ON為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.則由題設(shè)得：A(6叫，直線0N|的方程為y = -3x.Q(x03Xx>>O)由二師二丁,及飛Y得飛.03." 直線Q的方程為卜=Y*，即x + 56=0, 由L"言。得1y9一即國(guó)39|, 四 世3-6十9工=”口，即水上旅游線AB的長(zhǎng) 為外5km.(2)設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓 H,由題意可得P (3, 9),生成I小時(shí)時(shí)，游輪在線段AB上 的點(diǎn)C處，則aC <t< C(6-18rt18T)強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行即 那/對(duì)送。淮成立汨二。戕-3:(1戕-9廣二刖，當(dāng)：=0時(shí)，上式恒成

23、立.當(dāng)卜。時(shí)，即日若的"7才十那令g(0:72t十號(hào)4打£局10f-亞 u - '四- 7寸十孫又4X,當(dāng)且僅當(dāng)：了(口時(shí)等號(hào)成立，所以，在Y。：羽47時(shí)廣.PC恒成立，亦即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.【考點(diǎn)】函數(shù)實(shí)際應(yīng)用，不等式恒成立18 .在平面直角坐標(biāo)系 xOy中已知橢圓21(a b30)過(guò)點(diǎn)§，其左、2 2i右焦點(diǎn)分別為F1、F2 ,離心率為 .2(1)求橢圓E的方程;(2)若A, B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) M滿足MB AB ,且MA交橢圓E 于點(diǎn)P.urn uuur(i)求證：op om為定值;(ii)設(shè)PB與以PM為直徑的圓的另一交點(diǎn)為Q

24、,問(wèn)：直線MQ是否過(guò)定點(diǎn)，并說(shuō)明理由.22x y 【答案】一 匚 1 (2) (i)證明見(jiàn)解析，定值為4 (ii)直線MQ過(guò)定點(diǎn)0(0,0). 42【解析】(1)由題意得離心率公式和點(diǎn)滿足的方程，結(jié)合橢圓的a,b,c的關(guān)系，可彳導(dǎo)a,b, 進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)M 2,yo , P,求得直線MA的方程，代入橢圓方程，解得點(diǎn) P 的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計(jì)算即可得證；(ii)直線MQ過(guò)定點(diǎn)0 (0, 0).先求得PB的斜率，再由圓的性質(zhì)可得MQ XPB, 求出MQ的斜率，再求直線 MQ的方程，即可得到定點(diǎn).3_1 2_ 12. 2 I， c c c解：(1)易得 a b且 c2

25、a2 b2 ,c 2a 2"a2 4,解得h29b2,22所以橢圓E的方程為142(2)設(shè) M 2,y0 , P，2221 NYU 4 0,易得直線MA的方程為:22代入橢圓L 1得,424 y2 8由 2x12 得，x1% 8y2 8,從而y18 y0 y08'uuu uuuu所以示OP OM2 y2 88y02, 2Yo 8y2 82, y0,24 y08y2 88 y2y2 84,直線MQ過(guò)定點(diǎn)O(0,0),理由如下:依題意，kPB2yo，8yoT82 y2 8y2 8由MQ PB得，kMQ手則 MQ 的方程為：y yO 0(x 2),即 y 0- x,所以直線MQ過(guò)定

26、點(diǎn)O(0,0).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和直線和圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.19.已知數(shù)列an滿足：ai a2 a3 k (常數(shù)k 0),K anan 1_*一.,an an 2*an 1 n 3,n N .數(shù)列bn滿足：bn n N .an 1an 1(1)求 r, b2, b3, b4 的值;(2)求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)問(wèn)：數(shù)列an的每一項(xiàng)能否均為整數(shù)？若能，求出 k的所有可能值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由., c , 2k 14k 1( 1)n【答案】(1) b1 b3

27、2, b2 b4 ； (2) bn ； (3) k 為 1 , 2k2k 2k時(shí)數(shù)列an是整數(shù)列.2【解析】(1)經(jīng)過(guò)計(jì)算可知：a4 k 1,a5 k 2自 k 4 一，由數(shù)列bn滿足： k,an an 2一，bn(n = 1,2,3,4)，從而可求 B, b2, b3, b4;an 1(2)由條件可知an冏2 k anan 1 .得an 2an 1 k an冏，兩式相減整理得bn bn 2,從而可求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)假設(shè)存在正數(shù)k,使得數(shù)列an的每一項(xiàng)均為整數(shù)，則由(2)可知：a2n 12a2na2n 1_22k 1，由 ai k Z , a6 k 4 Z,可求得 k 1,2 .證a

28、2n 2-'a2n1a2nkk明k 1,2時(shí)，滿足題意，說(shuō)明 k 1,2時(shí)，數(shù)列 an是整數(shù)列.2(1)由已知可知：a4 k 1,a5 k 2,a6 k 4 ， k把數(shù)列an的項(xiàng)代入bnan an2an 1求得 1blb3 2, b2b42k 1k ；.k an% 1(2)由 an1 (n 3,n N )an 2可知：an 1an 2 kanan1 則：an 2an 1 k an 1an an an 2 an 2 an-有：an 1an 1即：bnbn 2b2 n 1b2n 3b1& a3a22 ， b2nb2n 2b2a2 a4a32k 1kbn4k 1(1)n2k2k(3)

29、假設(shè)存在正數(shù) k使得數(shù)列an的每一項(xiàng)均為整數(shù),則由(2)可知:a2n 1a2n 22a2n a2n 12k 1/, a2n 1 a2n k,)2由 a1 k Z , a6 k 4 - Z ,可知 k 1 , 2. k2k 1當(dāng)k 1時(shí)， 3為整數(shù)，利用a1,a2,a3 Z結(jié)合式可知 an的每一項(xiàng)均為整k2a2n a2n 15 彳 二 a2n1 a2n2a2n 1當(dāng)k 2時(shí)，變?yōu)閍2n 2用數(shù)學(xué)歸納法證明a2n 1為偶數(shù)，a2n為整數(shù).n 1時(shí)結(jié)論顯然成立，假設(shè) n k時(shí)結(jié)論成立，這時(shí)a2 n 1為偶數(shù)，a2n為整數(shù)，故a2n 1 2 a2n a2n 1為偶數(shù)，a2n 2為整數(shù)，n k 1時(shí)，命

30、題成立.故數(shù)列an是整數(shù)列.綜上所述k為1, 2時(shí)數(shù)列 斗 是整數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列的遞推公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，注意分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于難題.20 .設(shè)函數(shù) f(x) (x a)ln x x a, a R.(1)若a 0求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；22(2)若a 0試判斷函數(shù)f (x)在區(qū)間e ,e 內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)求證：對(duì)任意的正數(shù) a都存在實(shí)數(shù)t滿足：對(duì)任意的x (t,t a), f(x) a 1 .【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)單調(diào)遞增區(qū)間為(1,). (2)見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】(1)求

31、解f (x) lnx,利用f (x) 0, f (x) 0,解不等式求解單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；、 a ._(2) f (x) ln x 一，其中 x 0, x再次構(gòu)造函數(shù)令 g(x) xln x a ,分析g(x)的零點(diǎn)情況.g (x) In x 1 ,.1令g (x) 0,x -,列表分析得出g(x)單調(diào)性，求其最小值， e1122-一、分類討論求解右a-，若一a二，若a0, f(x)的單調(diào)性，eeeef(x)最大值，最小值，確定有無(wú)零點(diǎn)問(wèn)題；(3)先猜想x (1,1 a), f(x) a 1恒成立. 人 、，一,，、1,八再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷證明.令 G(x) lnx x 1,x 1,G(

32、x) 1 0,求解最大值，得出G(x) G0即可.【詳解】(1)當(dāng) a 0時(shí)，f(x) xln x x, f (x) In x ,令f (x) 0 , x 1 ,列表分析x(0,1)1(1,)f (x)-0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0,1）單調(diào)遞增區(qū)間為（1,）.(2) f(x) (x令 g(x) xln xa)ln x x a , f (x) In x ax ,其中 x 0,a ,分析g(x)的零點(diǎn)情況.g (x) ln x 1x(0,1e)1e(1e,)g (x)-0+g(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增1一,列表分析 e令 g (x) 0, x，、11g(x)ming(-

33、)-a,ee一,1、-1222而 f (一) 1n ae 1 ae, f (e )2 ae (2 ae )e e2a12、f (e ) 2 (2e a), e e1 , ,、， a-右 a 一則f (x)Inx -0,ex22故f(x)在(e ,e)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn);_12 一1、/1-22右a 2 ,則 f () 1n ae 0, f (e )(2 ae ) 0e ee e212f (e2) (2e2 a) 0e2222.因此f (x)在(e ,e)有兩個(gè)零點(diǎn)，f (x)在(e ,e)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)；211若二 a 0 則 f() 1n- eeef (e2) 4(2e2 a) 0, eae 0,

34、 f (e2)(2 ae2) 0,22因此f (x)在(e ,e )有一個(gè)零點(diǎn),22f(x)在(e , e )內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn);- .,122.綜上所述當(dāng)a (,-時(shí)，f(x)在(e2,e2)內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn);e,12，22、-當(dāng)a -, 時(shí)，f(x)在(e ,e )內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn); e e,2 c ,，22,當(dāng)ae2，0時(shí)，f(x)在(e，e)內(nèi)有一個(gè)極值點(diǎn)(3)猜想：x(1,1 a), f (x) a 1 恒成立.證明如下:a 0, g(1 a) (1 a)ln(1 a) a.1由(2)得g(x)在(-,)上單調(diào)遞增，且g(1) e1因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí)，lnx 1 -(*),x1所以 g(1 a)

35、(1 a)(1 )a 0a 1故g(x)在(1,1 a)上存在唯一的零點(diǎn)，設(shè)為小.由x(1,x。)x0(x0,1a)f (x)-0+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增知 x (1,1 a), f (x) maxf(1), f(1 a).又 f(1 a) ln(1 a) 1,而 x 1 時(shí)，ln x x 1(*)所以 f(1 a) (a 1) 1 1 a 1f(1).即 x (1,1 a), f(x) a 1 .所以對(duì)任意的正數(shù) a,都存在實(shí)數(shù)t 1,使對(duì)任意的x (t,t ),使 f (x) a 1 .補(bǔ)充證明(*):111x 1_令 F (x) 1nx一1 , x 1. F (x)一 2-0,xx x

36、x所以F(x)在1,)上單調(diào)遞增.1所以 x 1 時(shí)，F(xiàn)(x) F(1) 0,即 Inx 1 . x補(bǔ)充證明(*)1. _令 G(x) lnx x 1 , x 1.G (x) - 1 0, x所以G(x)在1,)上單調(diào)遞減.所以 x 1 時(shí)，G(x) G(1) 0,即 lnx x 1.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問(wèn)題.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于 0得到函數(shù)的遞減區(qū)間，考查了不等式與導(dǎo)數(shù)的結(jié)合，難度較大.21 .已知二階矩陣 二 E矩陣A屬于特征值工i = T的一個(gè)特征向量為% =,屬

37、于特征值k = 4的一個(gè)特征向量為 / = |".求矩陣A.【答案】【解析】 運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣 A【詳解】由特征值、特征向量定義可知， 1=Ml虬得忖H同理可得之二?解得卜- 2, |b =-c = 2, |d=l|.因此矩陣豈=g J【點(diǎn)睛】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果,較為簡(jiǎn)單22 .在極坐標(biāo)系中，已知A 1,- ,B 9,-，線段AB的垂直平分線l與極軸交于點(diǎn)C, 33求l的極坐標(biāo)方程及 ABC的面積.【答案】l的極坐標(biāo)方程及cos 5, ABC的面積20j3 .3【解析】將A 1- ,B39,3轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的坐

38、標(biāo)形式，然后求出線段AB的中點(diǎn)與直線AB的斜率，進(jìn)而求出直線l在直角坐標(biāo)系下的方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程;在直角坐標(biāo)系下，求出點(diǎn) C到直線AB的距離、線段 AB的長(zhǎng)度，從而得出ABC的面積.解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xoy在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,A1，3，B9，31、399、3的坐標(biāo)為 A(，), B(,)2222線段AB的中點(diǎn)為A(5,W3), kAB M22故線段AB中垂線的斜率為k1kAB、3所以AB的中垂線方程為:5x32 35(x -)32化簡(jiǎn)彳導(dǎo):x 6y 10 0,所以極坐標(biāo)方程為cos 萬(wàn)sin 10 0,即 cos(y) 5 ,令 y 0,則

39、 x 10,故在平面直角坐標(biāo)系 xoy中，C (10,0)L1073點(diǎn)C到直線AB ： y J3x的距離為d 5 5/3 ,3 1線段AB 8 , 1故ABC的面積為S - 5/3 8 2073. 2【點(diǎn)睛】本題考查了直線的極坐標(biāo)方程問(wèn)題，解題時(shí)可以將極坐標(biāo)系下的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系下的問(wèn)題，從而車t化為熟悉的問(wèn)題._ I _2 一 , 2 一 一、23 .已知實(shí)數(shù)a,b滿足a b 2,求證：a 2ab 2b 4(a 2).【答案】證明見(jiàn)解析.2_.2 一 . 一一 一.【解析】對(duì)a 2ab 2b進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為含有 a b 2形式，然后通過(guò)不等關(guān)系得證.【詳解】解：因?yàn)閍 b 2,2_2

40、所以a 2ab 2b22_a b 2a 2ba b a b 2 a ba b|a b 2a b| 2a a b 2a b 2a a b 22 2a 2 22 2a 4 4 a 24 a 2，得證.【點(diǎn)睛】 本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是要將要證的形式轉(zhuǎn)化為已知的條件, 考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力 .24 .如圖，在四B隹P ABCD中，已知棱AB, AD, AP兩兩垂直，長(zhǎng)度分別為1,uuiruuuuuu uuin152, 2.若DC AB ( R),且向量PC與BD夾角的余弦值為 .15(1)求的值;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值【答案】(1)2; (2)典.【解析】 試題分析：(1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB