信號與系統(tǒng)PPT-2

1、第二章第二章連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析 微分方程的建立與求解微分方程的建立與求解 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 沖擊響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖擊響應(yīng)與階躍響應(yīng) 卷積及其性質(zhì)卷積及其性質(zhì)2.1微分方程的建立與求解微分方程的建立與求解 1. 微分方程的建立微分方程的建立 設(shè)系統(tǒng)的激勵信號為設(shè)系統(tǒng)的激勵信號為 ，響應(yīng)為，響應(yīng)為 ，則，則系統(tǒng)的特性可用一微分方程來描述系統(tǒng)的特性可用一微分方程來描述 對于線性時不變系統(tǒng)，該式為一非齊次的常系對于線性時不變系統(tǒng)，該式為一非齊次的常系數(shù)線性微分方程式數(shù)線性微分方程式)(te)(tr)()()()()()()() 1(1)(0) 1 (

2、1) 1(1)(0teEteEteEtrCtrCtrCtrCmmmnnnna.a.電阻電阻: :b.b.電容電容: :c.c.電感電感: :tcd)( ic1) t (ud.d.耦合電感耦合電感vI vI 的關(guān)系的關(guān)系依據(jù)依據(jù) 系統(tǒng)微分方程的建立依據(jù)是構(gòu)成系統(tǒng)的各部件的系統(tǒng)微分方程的建立依據(jù)是構(gòu)成系統(tǒng)的各部件的特性以及各部件之間的連接方式。具體到電路中，微特性以及各部件之間的連接方式。具體到電路中，微分方程的列寫依據(jù)是分方程的列寫依據(jù)是VARVAR，KCLKCL和和KVLKVL三條規(guī)律。三條規(guī)律。)()(tutqC dttducti)()(cc)()(tituR RRuipui22ildttd

3、iltul)()(ldLttllui)(1)(dtdimdtdildtdtv12222)(dtdimdtdildtdtv21111)(C1R2RL tis tiL tiC電路如右圖所示，列寫 的方程。 tiL121RtidttiCRtidttdiLtititiCCLLCLs titidtdRtitiCRdttdidttidLLsLsLL12221 tidttdiCRtidttdiCRCRdttidLCssLLL12122舉例 描述LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程是一線性常系數(shù)常微分方程，一般形式如下： 其中 為激勵信號，有時稱為輸入信號。 為響應(yīng)信號，也稱為輸出信號。 為微分方程的階次，或系統(tǒng)的階次。

4、 由于系統(tǒng)是線性時不變的，所以上述微分方程中的所有系數(shù) 都是常數(shù)。n te 0101nmd r tdr td e tde tCCC r tEEE e tnnmmnmdtdtdtdt trmjbniaji, 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0二二. . 微分方程的求解微分方程的求解( (經(jīng)典法經(jīng)典法) ) 齊次解： 由特征方程求出特征根寫出齊次解形式注意重根、復(fù)根情況處理方法。特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù) 的 特 解 函 數(shù) 式 代 入 原 方 程 ， 比 較 系 數(shù) 定出特解。kA 全 解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解系數(shù) 。求解的一般步驟求解的一般步驟nkt

5、kkA1ekA（一）、微分方程的齊次解（一）、微分方程的齊次解齊次方程： 001nd r tdr tCCC r tnnndtdt特征方程：10011nnCCCCnn特征方程的 個根稱為特征根：nnii, 2 , 11）特征根無重根：即 個特征根各不相等，則齊次解為：n2）特征根有重根：設(shè) 有 重根，則齊次解中相應(yīng)于 的部分有 項，即：微分方程的齊次解的形式取決于特征根的不同情況。 12121ninttttrtA eA eA eA ehnii1k1tkkkeAtAtA12211其中 為待定系數(shù)。由給定的系統(tǒng)初始條件確定。,2,1iAik寫成復(fù)根因子的形式（復(fù)函數(shù)的形式）：寫成實函數(shù)解的形式：3）

6、特征根為共軛復(fù)根時，齊次解可有兩種選擇形式，設(shè)一對共軛復(fù)根為tjtjeAeA21j這時， 為一對共軛復(fù)數(shù)。21, AAtetAtAsincos21這時， 為兩實數(shù)。21, AA1）2）【例題】寫出微分方程的齊次解的形式 06852233trdttdrdttrddttrd 02322trdttdrdttrd【解】 1）特征方程： ，特征根：02322, 12, 1齊次解的形 為待定系數(shù)。tteAeA22121, AA2）特征方程： ，特征根：0685233,13 , 2, 1j齊次解的形式： 其中 為待定系數(shù)。tteAetAtA3321sincos321,AAA（二）、微分方程的特解（二）、微分

7、方程的特解 將 代入微分方程右邊，化簡得到的項稱為自由項。特解即可根據(jù)自由項的函數(shù)形式來選擇，如下表所示。te【解】 1）自由項： ，設(shè)特解：【例題】已知微分方程： 1） 2）求兩種情況下微分方程的特解。 tedttdetrdttdrdttrd3222 2tte 2te tett22 CBtAttrp2 AdttrdBAtdttdrpp2,222代入原微分方程得：2710,92,31CBAttCBtAtBAtA233324222解得： 271092312tttrp【解】 2） 自由項： ，設(shè)特解：te23 tpDetr2 tptpDedttrdDedttdr22224,2代入原微分方程得：31

8、1D22224433ttttDeDeDee解得： 3211trtep微分方程的完全解由齊次解與特解相加得到。其中特解是一確定函數(shù)，而齊次解中有 個未知系數(shù)，這 個未知系數(shù)或待定系數(shù)必須由系統(tǒng)給定的初始條件來確定。即：nn trtrtrph其中 中有 個待定系數(shù)。它們由下面 個初始條件來確定：n trhn 110,0,0nndtrddtdrr例 已知某二階線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的動態(tài)方程初始條件y(0)=1, y (0)=2, 輸入信號f(t)=et u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)。 0),()(8)( 6)(ttftytyty08624221，ttheKeKty4221)(特征根為齊次解y

9、h(t) 解: (1)求齊次方程y(t)+6y(t)+8y(t) = 0的齊次解yh(t)特征方程為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)C=1/3。由輸入f (t)的形式，設(shè)方程的特解為2) 求非齊次方程 的特解yp(t)解得 A=5/2，B= 11/6 yp(t)=Ce-t3) 求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0( BAy0,3161125)(42teeetyttt)( 自由響應(yīng)通解)(強迫響應(yīng)特解y (t)+6y (t)+8y(t) = f(t)電容的起始電壓為零。信號求輸出號電路如圖所示，激勵信例).t (v),t (uEe) t

10、 ( e:20t)(te1RC2R)(0tv解:)()()()(01020tvRdttdvcRtvte)(1)()(1021210tecRtvcRRRRdttdv0cRRRR2121齊次解:tCRRRRAe2121tBetB)(:特解為t1t2121tecREBecRRRRBecRRRRERB21212(0 )(0 )0vv)()(tuEetet 若 因激勵信號為cRRRR2121CRRRRERACRRRRERAv212122121200)0(ttCRRRRecRRRRERAetv2121202121)(cRRRR2121若:則特解為:tBtetB)(將B(t)代入微分方程,并用初始條件求出待

11、定系數(shù)：tcRRRRtecREtv212110)()()(2121212120tCRRRRteeCRRRRERtv【注意】1）求待定系數(shù)用到的是 的初始值，而不是 的初始值。2）從信號與系統(tǒng)分析的角度來說，初始條件用的是 時刻的值，但一般給定的已知條件是 時刻的值，它們在一般情況下是不同的。 tr trh003. 微分方程的算子表示微分方程的算子表示 引入算子引入算子 ，并令，并令 于是有于是有ptdtpdtdp)( ;1xdtdxpxdtdpxnnn ;txdxp1微分方程的算子表示微分方程的算子表示(續(xù)續(xù)) 令令 高階微分方程的算子表示高階微分方程的算子表示 傳輸算子傳輸算子mmmmnnn

12、nEpEpEpEpNCpCpCpCpD11101110)()()()()()(tepNtrpD)()()()()()(tepHtepDpNtr)( pH算子的運算算子的運算 如果如果 則有則有 ， 為常數(shù)為常數(shù)( 不可約不可約) 算子可相約算子可相約 算子不可相約算子不可相約txxddtdxpp1ttxxddtdpxp1pypx cyxcp三、起始點的跳變?nèi)⑵鹗键c的跳變從從 到到 狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換00如上所述，在確定完全解中齊次解部分中的待定系數(shù)時，我們要有 個初始條件。從信號與系統(tǒng)分析的角度來說，這 個初始條件指的是 時刻，因為激勵接入后的瞬時是 時刻，或微分方程描述的是 時間區(qū)間。但

13、在實際問題中，我們知道的是 時刻的起始狀態(tài)。 與 時刻系統(tǒng)的狀態(tài)一般是不同的，所以有下面兩個概念：nn000 0t00起始狀態(tài)：在激勵接入系統(tǒng)之前的瞬（ ）系統(tǒng)的狀態(tài)稱為起始狀態(tài)，它總結(jié)了為計算未來響應(yīng)所需要的過去的全部“信息”。 0t初始狀態(tài)：在激勵接入系統(tǒng)之后的瞬時（ ）系統(tǒng)的狀態(tài)為初始狀態(tài)，它用于求系統(tǒng)響應(yīng)中齊次解部分的待定系數(shù)。 0t求起始點的跳變一般有兩種方法：1、對于具體的電網(wǎng)絡(luò)，首先求出 ，一般情況下，換路期間電容兩端電壓和流過電感中的電流不會發(fā)生跳變，然后根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓撲約束求得 時刻其他電流或電壓值。0(0 ),(0 )vicL2、沖激函數(shù)匹配法：當系統(tǒng)用微分方程表

14、示時，系統(tǒng)的 到 狀態(tài)有無跳變?nèi)Q于微分方程右端自由項是否包含 及其各階導(dǎo)數(shù)。若包含，則發(fā)生跳變。原理為根據(jù)微分方程兩邊奇異函數(shù) 和 項平衡相等來求。00( ) t t tk沖激函數(shù)匹配法：舉例說明其原理。例：系統(tǒng)的微分方程為： ， 給定 ，求 。 ( )3 ( )3( )dr tr ttdt(0 )r(0 )r解：( )3( )3( )3( )3( ) 39( ) 9( ) 9( )rtrttttttut 方程右邊有所以 包含3( ) t( )r t即 在 時刻有 存在，其中 表示 到 相對單位跳變函數(shù)，因而 即( )r t0t 9( )u t ( )u t00(0 )(0 )9rr (0

15、)(0 )9rr數(shù)學(xué)方法描述為：( )( )( )( )( )( )( )r tatbtc u tr tatb u t 設(shè) 代入原方程得( )( )( )3( )( )3( )atbtc u tatb u tt 得出3,30,30abacb解得3,9,27abc 所以得： 或 (0 )(0 )9rrb (0 )(0 )9rr例：給定電路如圖示， 開關(guān)S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當 時，S由1轉(zhuǎn)向2。建立電流 的微分方程并求解 在 時的變化。0t 0t ( )i t( )i t0t +-( )4e tV21S( )i t+-( )2e tV11R 322R 14LH1CF( )itc( )i

16、tL解： （1）列寫微分方程列回路方程：12( )( )( )( )( )( )CCLLRi tv te tdv tLi ti t Rdt列節(jié)點方程：( )( )( )di tCvtitCLdt圖1整理得：22( )7( ) 10 ( )( )6( )4 ( )22ddddi ti ti te te te tdtdtdtdt（2）求完全響應(yīng)的形式齊次解： 特征方程：27100特征根：2,512 齊次解形式：25( )(0 )12ttitA eA eth特解：0t 時， ， 自由項為16，所以設(shè) 代入原方程，解得( )4e tV( )itBp85B 完全解的形式：825( )(0 )125tti

17、 tA eA et（3）確定換路后的(0 ),(0 )diidt方法一：換路前 24(0 )(0 )512436(0 )0,(0 )(0 )2525iiALRRdiviRCLdt換路后11614(0 ) (0 )(0 )(4)155111(0 )(0 )(0 )(0 )11111 144( (0 )(0 )0()211 55ievACRddddieveCdtRdtdtRdtAiiLsC 方法二：由題意知， 的波形如圖：即 。 當 時微分方程為( )e t2V4V0t( )e t( )2 2 ( )e tu t 0t 2( )7( ) 10 ( )2( ) 12 ( ) 16 ( )2ddi t

18、i ti tttu tdtdt所以可設(shè)：22( )( )( )( )( )( )( )( )( )di tatbtc u tdtdi tatb u tdti ta u t 代入上方程求得： 解得2,712,71016abacba2,2,10abc 所以414(0 )(0 )255(0 )(0 )202iaiAddAibisdtdt （4）求完全響應(yīng)由完全響應(yīng)的表達式得：12128 14(0 )55(0 )252iAAdiAAdt 解得：42,12315AA 所以完全響應(yīng)為：42825( )(0 )3155tti teeA t經(jīng)典法求解微分方程的流程將元件電壓電流關(guān)系、基爾霍夫定律用于給定電系統(tǒng)

19、列寫微分方程齊次解 （系 數(shù)A待定）tAe特解查表完全解=齊次解 +特解（ A待定）已定系數(shù)A的完全解系統(tǒng)的響應(yīng)給定系統(tǒng) 狀態(tài)求出對應(yīng) 狀態(tài)00經(jīng)典法不足之處 若微分方程右邊激勵項較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵信號發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。由0時刻的起始條件求 時刻的初始條件一般是很困難的，所以求系統(tǒng)響應(yīng)時，一般繞開初始狀態(tài)跳變的問題，而用別的方法來求系統(tǒng)的響應(yīng)。詳見后面章節(jié)內(nèi)容，如零狀態(tài)響應(yīng)的求解內(nèi)容00四、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)四、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)1.零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 對于線性時不變系

20、統(tǒng)，對于線性時不變系統(tǒng)， 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 是滿足是滿足 及起始狀態(tài)及起始狀態(tài) 的解的解 )()( )()0()(trtrteHxHtrzszi0)()()()() 1 (1) 1(1)(0trCtrCtrCtrCzinzinnzinzi)(trzi) 1, 1 , 0(),0 ()(nkrk2. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 是滿足方程是滿足方程及起始狀態(tài)及起始狀態(tài) 的解的解)(trzs)()()()()()()() 1(1)(0) 1 (1) 1(1)(0teEteEteEtrCtrCtrCtrCmmmnnnn) 1, 1 , 0(),0 ()(nkrk3. 響應(yīng)的表達式

21、響應(yīng)的表達式 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 完全響應(yīng)完全響應(yīng)nktzikzikeAtr1)(nktzskzstBeAtrk1)()(nktzsknktziktBeAeAtrkk11)()( 2.2 沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)與階躍響應(yīng) 二者都是零狀態(tài)響應(yīng)。二者都是零狀態(tài)響應(yīng)。1、單位沖激響應(yīng)：單位沖激響應(yīng)：以單位沖激信號以單位沖激信號 (t)作激勵作激勵 時，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以時，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以h(t)表示。表示。2、單位階躍響應(yīng)單位階躍響應(yīng)：以單位階躍信號以單位階躍信號u(t)作激作激 勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以勵，系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)，以g(t)表示。表示。

22、h(t)與與g(t)的關(guān)系：的關(guān)系：dttdgth)()(tdhtg0)()(用沖激響應(yīng)分析線性系統(tǒng)的方法更常用。用沖激響應(yīng)分析線性系統(tǒng)的方法更常用。沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)h(t)的求法：的求法：)()()()()()()()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdammmmmmnnnnnn系統(tǒng)方程為：系統(tǒng)方程為：一、確定一、確定h(t)中的沖激函數(shù)及導(dǎo)數(shù)項中的沖激函數(shù)及導(dǎo)數(shù)項 當激勵當激勵e(t)= (t)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為h(t)，則系，則系統(tǒng)微分方程為：統(tǒng)微分方程為：)()()()()()()()(011

23、1101111tbdttdbdttdbdttdbthadttdhadtthdadtthdammmmmmnnnnnn)()()()()()()()(0111101111tbdttdbdttdbdttdbthadttdhadtthdadtthdammmmmmnnnnnn 用方程左右兩端奇異函數(shù)平衡的原則，左邊最高階用方程左右兩端奇異函數(shù)平衡的原則，左邊最高階對應(yīng)右邊最高階。對應(yīng)右邊最高階。第一、第一、h(t)的形式將與的形式將與m,n值的相對大小密值的相對大小密 切相關(guān)切相關(guān)1、n=m+1，則，則dttdh)(對應(yīng)對應(yīng)),(t而而h(t)不包含不包含 (t)及其各級導(dǎo)數(shù)及其各級導(dǎo)數(shù)2、n=m，則，

24、則h(t)包含包含 (t)項項3、n0時，時， (t)及其各級導(dǎo)數(shù)均為及其各級導(dǎo)數(shù)均為0，方程，方程 右端恒右端恒為為0。）。）二、確定沖激響應(yīng)二、確定沖激響應(yīng)h(t)的函數(shù)形式的函數(shù)形式當當nm時，時，nitituekthi1)()(當當nm時，時，)()()(11tktuekthnnitii當當n0時向右平移，時向右平移，t0時向左平移時向左平移c-1 f2(t- )0tt-1)()(22tftf隨隨t取值不同，取值不同，f2(t- )出現(xiàn)在不同位置出現(xiàn)在不同位置4、相乘：將、相乘：將f1( )和和 f2(t- )相乘相乘12 f1( )c f1( )f2(t- )0tt-15、積分、積分

25、c f2(t- )0tt-1c f1( )f2(t- )0tt-1陰影的面積，即陰影的面積，即g(t)的值，的值，是是t時刻的卷積結(jié)果。時刻的卷積結(jié)果。12 f1( )f1( ) f2(- ) 012 f1( )c-1 f2(- )0c1 f2(1- )0f1( ) f2(1- ) 0112 f1( )c1 f2(2- )0f1( ) f2(2- ) 0212 f1( )c3 f2(3- )0f1( ) f2(3- ) 0g(t)t21c（二）、卷積的解析計算（二）、卷積的解析計算 dtfftftf)()()()(21211、積分限的確定：、積分限的確定：A、設(shè)、設(shè)f1(t)是有始函數(shù)，是有始

26、函數(shù)，當當t0時，時，f1(t)=0， f2(t)不受此限不受此限)()()(11 uff dtfuftg)()()()(21 021)()( dtff積分下限為積分下限為0B、tt時，時， f2(t- )=0， tdtfftg )()()(21C、將、將A、B兩個條件合并：兩個條件合并： t0時，時，f1(t)=0， f2(t)=0 dtutfuftg)()()()()(21 tdtff021)()( 積分上限為積分上限為 t積分上限為積分上限為 t，下限為下限為0 0)()()(021tdtfftg 0 t0 t)()()(021tudtfft 卷積的被積函數(shù)卷積的被積函數(shù)是是有始函數(shù)有始

27、函數(shù)，卷積也是，卷積也是有始函數(shù)有始函數(shù)2、起始時刻的確定：、起始時刻的確定：若若f1(t)從從t1時刻起始，時刻起始，f2(t) 從從t2時刻起始，即：時刻起始，即： )()()()(2211ttutfttutf dttutftuftg)()()()()(2211 21)()(21tttdtff 積分限是積分限是：21ttt 起始時刻是起始時刻是：當當t-t2t1時，時，g(t)=0當當t-t2 t1時，時，g(t)不為不為0起始時刻：起始時刻： tt1 t2)()()()(212121tttudtfftgttt 所以，所以，g(t)可表示為：可表示為：具體計算方法：具體計算方法：將兩個階躍

28、函數(shù)的時間相加將兩個階躍函數(shù)的時間相加。u( -t1)與與u(t- -t2)中：中： -t1+ t- -t2= t- t1 -t2起始時刻：起始時刻： tt1 t2 dttutftuftg)()()()()(2211 例：例：)(2)(1tuetft ) 2()()(2 tututf求 dtfftg)()()(212f1( ) 20f2( ) 210（1）、圖解法）、圖解法2f1( ) 20f2( ) 210f2(- ) 210首先將首先將f2( )反褶反褶再將再將f2(- )沿沿 軸平移軸平移tf2(t- ) t10t-2用圖解法進行分段積分，求出用圖解法進行分段積分，求出g(t)2f1(

29、) 20f2(- ) 210f1( ) f2(- ) 02f1( ) 20f2(1- ) 1102f1( ) 201f1( ) f2(1- )02 f2(2- ) 2102f1( ) 202f1( ) f2(2- )02 f2(3- ) 31031f1( ) f2(3- ) 0g(t)t0當當t0時，時，f1( )f2(t- )=0，所以，所以g1(t)=0當當0 t 2時，時，f1( )與與f2(t- ) 有部分重迭，有部分重迭，積分限積分限 0t，g2(t)為：為： dtfftgt)()()(2012 tde012 )1(2te 當當2 t 時，時，f2(t- ) 完全落在完全落在f1(

30、)上，積上，積分限分限 t-2t，g3(t)為：為： ttdetg2312)( ) 1(22 eet對以上結(jié)果用一個函數(shù)表達對以上結(jié)果用一個函數(shù)表達： )2()()1 ( 2)(tutuetgt) 2() 1(22 tueet（2）、解析法）、解析法 dtfftg)()()(21 dtutuue)2()()(2 dtuue)()(2 dtuue)2()(2 dtuue)()(2對式對式)(2)(1tuetft 和和)()(2tutf 都是有始函數(shù)。所以下限為都是有始函數(shù)。所以下限為0，上限為，上限為t，即，即 dtuue)()(2起始時刻為起始時刻為t=0)(20tudet 將兩個階躍函將兩個

31、階躍函數(shù)時間相加，數(shù)時間相加，即即 +t- =t為階為階躍函數(shù)所應(yīng)具躍函數(shù)所應(yīng)具有的起始時刻有的起始時刻 dtuue)2()(2對式對式)(2)(1tuetft 和和)2()(2 tutf下限為下限為0，上限為，上限為t-2 dtuue) 2()(2)2(220 tudet 起始時刻：t=2將兩個階躍函將兩個階躍函數(shù)時間相加，數(shù)時間相加，即即 +t-2- =t-2為為階躍函數(shù)所應(yīng)階躍函數(shù)所應(yīng)具有的起始時具有的起始時刻刻)2()1 ( 2)()1 ( 2)2( tuetuett 200) 2(2)(2)(tttudetudetg ) 2(2)(2|200 tuetuett （三）、卷積的性質(zhì)（三

32、）、卷積的性質(zhì)1、交換率：、交換率：)()()()(1221tftftftf 2、分配率：、分配率：)()()()()()()(3121321tftftftftftftf 3、結(jié)合率：、結(jié)合率：)()()()()()(321321tftftftftftf 5、卷積的積分：、卷積的積分： ttdftfdff )()()()(2121)()(21 fdft 4、卷積的微分：、卷積的微分： )()()()()()(212121tfdttdfdttdftftftfdtd （四）、函數(shù)（四）、函數(shù)f(t)與與沖激函數(shù)沖激函數(shù)或或階躍函數(shù)階躍函數(shù)的卷積的卷積1、 f(t)與與沖激函數(shù)沖激函數(shù)卷積，結(jié)果是卷

33、積，結(jié)果是f(t)本身本身)()()(tfttf 證明：根據(jù)卷積定義和沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)證明：根據(jù)卷積定義和沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì) dtfttf)()()()()()()(tfdttf )()()(00ttftttf 類似有：類似有：2、 f(t)與與沖激偶沖激偶的卷積的卷積)()()(tfttf (t)稱為稱為微分器微分器3、 f(t)與與階躍函數(shù)階躍函數(shù)的卷積的卷積 tdftutf )()()(u(t)稱為稱為積分器積分器推廣：推廣：)()()()()(tfttfkk )()()(0)(0)(ttftttfkk （五）、卷積積分的數(shù)值計算（五）、卷積積分的數(shù)值計算e(t)0kTT2Tt2h(t

34、)t20用數(shù)值計算法求用數(shù)值計算法求e(t)*h(t)步驟：步驟：1、將、將e( )和和h(- )分解成若干寬度為分解成若干寬度為T的矩形脈的矩形脈沖，得到近似函數(shù)沖，得到近似函數(shù)ea( )和和ha(- )ea( )0kTT2T e3e1e0ha(- ) 0h3h2h12、將、將ha(- )自左向右移動自左向右移動，并在，并在T的整數(shù)倍的的整數(shù)倍的位置上位置上計算計算ea( )和和ha(nT- )對應(yīng)項乘積對應(yīng)項乘積之和之和e0e1e3e2h4h3h2h1e2Te1ea( )0 e0ha(- ) 0h3h2h1e0e1e3e2h4h3h2h1e1ea( )0 e0e1ea( )0 e0ha(- ) 0h3