2-3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)ppt課件

1、一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì)三、例題講解三、例題講解四、小結(jié)四、小結(jié) 離散型隨機(jī)變量的取值對應(yīng)著樣本空間的一離散型隨機(jī)變量的取值對應(yīng)著樣本空間的一個(gè)事件且離散型隨機(jī)變量可以列舉出來個(gè)事件且離散型隨機(jī)變量可以列舉出來. 本節(jié)本節(jié)考慮非離散型隨機(jī)變量的描述方法考慮非離散型隨機(jī)變量的描述方法. 非離散型隨機(jī)變量經(jīng)?？紤]的是某種區(qū)間問題非離散型隨機(jī)變量經(jīng)常考慮的是某種區(qū)間問題. 例如考察誤差例如考察誤差、元件的壽命、元件的壽命 T 等等, 不會(huì)對誤差不會(huì)對誤差 = 0.05mm, 壽命壽命T =123小時(shí)的概率感興趣小時(shí)的概率感興趣. 而而是考慮誤差落在某個(gè)

2、區(qū)間的概率是考慮誤差落在某個(gè)區(qū)間的概率, 壽命壽命 T 大于某大于某個(gè)數(shù)的概率個(gè)數(shù)的概率. 這些都是考慮隨機(jī)變量所取的值落這些都是考慮隨機(jī)變量所取的值落入某一區(qū)間的概率入某一區(qū)間的概率Px1 X x2, 一、分布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念1.概念的引入概念的引入21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布函數(shù)分布函數(shù) ).()(12xFxF ?2.分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的定義闡明闡明(1) 分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況的概率情況.)()2(的的一一個(gè)個(gè)普普通通實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)是是分分布布函函數(shù)數(shù)xxF.)(,

3、的的分分布布函函數(shù)數(shù)稱稱為為函函數(shù)數(shù)是是任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)是是一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè)定定義義XxXPxFxX x實(shí)例實(shí)例 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, , 令令 ., 0, 1出出反反面面出出正正面面X求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解1 XP0 XP,21 0 1x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;0 0)( xXPxF 0 1x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP 1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明證明2

4、1xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì), 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx幾何說明幾何說明,越越來來越越小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,的的值值也也越越來來越越小小xXP 有有時(shí)時(shí)因因而而當(dāng)當(dāng), x.),(, ,(,內(nèi)內(nèi)必必然然落落在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)而而的的值值也也不不會(huì)會(huì)減減小小增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)同同樣樣 XxxXxXPx. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以).(),()(lim)4(00

5、0 xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)即任一分布函數(shù)處處右連續(xù). ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ),(1)2(aFaXP )()() 4(aFbFbXaP .bXPaXP )3(aXPaXPaXP )0()( aFaF三、例題講解三、例題講解的的分分布布律律為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 XXkp321 412141.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求例例1 1解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且處概率不為處概率不為僅在

6、僅在由于由于X 123pk1/41/21/4 . 3 , 132 ,2121 ,1, 1 , 0)(xxxPxPxxPxxF . 3 , 132 , 4/321 , 4/1, 1 , 0 xxxx于是于是 )21(21FXP . 3 , 132 , 4/321 , 4/1, 1 , 0)(xxxxxF,41 )23()25(2523FFXP ,21 2)2()3(32 XPFFXP.43 請同學(xué)們思考請同學(xué)們思考不同的隨機(jī)變量不同的隨機(jī)變量, ,它們的分布函數(shù)一定也不相同嗎它們的分布函數(shù)一定也不相同嗎? ?答答不一定不一定. . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF函數(shù)函數(shù)但它們卻

7、有相同的分布但它們卻有相同的分布同的隨機(jī)變量同的隨機(jī)變量是兩個(gè)不是兩個(gè)不則不同則不同在樣本空間上的對應(yīng)法在樣本空間上的對應(yīng)法與與,21XX ., 1;, 1., 1;, 121出出反反面面出出正正面面出出反反面面出出正正面面XX例如拋均勻硬幣例如拋均勻硬幣, 令令 xxkkpxXPxF)(分布函數(shù)分布函數(shù)分布律分布律kkxXPp 離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系離散型隨機(jī)變量分布律與分布函數(shù)的關(guān)系 離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的圖形是階梯曲離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的圖形是階梯曲線。它在線。它在X的一切有概率指正概率的點(diǎn)的一切有概率指正概率的點(diǎn) xk 都有一個(gè)跳躍，其躍度為都有一個(gè)跳躍，其躍度為

8、 X 取值取值 xk 的概率的概率 pk 。例例2 2 一個(gè)靶子是半徑為一個(gè)靶子是半徑為2m2m的圓盤的圓盤, ,設(shè)擊中靶上任設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比, ,并設(shè)射擊都能中靶并設(shè)射擊都能中靶, ,以以X X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離表示彈著點(diǎn)與圓心的距離. .試求隨機(jī)變量試求隨機(jī)變量 X X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). .解解,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,是是不不可可能能事事件件xXP ,20時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x.,02是常數(shù)是常數(shù)kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因因而而; 0)( xXPxF于于是是于是于是)(xXPxF ,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x故故 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP .42x )(xXPxF . 1 其圖形為一連續(xù)曲線其圖形為一連續(xù)曲線 ., 0, 20,2)(其