27函數(shù)的連續(xù)性ppt課件

1、2.8函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)改變量一、函數(shù)改變量二、連續(xù)函數(shù)的概念二、連續(xù)函數(shù)的概念三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn)四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則五、在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)六、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限六、利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限一、一、 函數(shù)改變量函數(shù)增量）函數(shù)改變量函數(shù)增量）1. 改變量的定義：改變量的定義：設(shè)變量設(shè)變量t從它的初值從它的初值t1改變到終值改變到終值t2，終值與初值的，終值與初值的差差t2-t1,稱為稱為t的改變量，記作的改變量，記作: t=t2-t1 。注：改變量既可以為正也可以為負(fù)。注：改變量既可以為正也可以為負(fù)。函數(shù)

2、的增量函數(shù)的增量:設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閄,如下圖如下圖 x=x x0,稱為自變量在點(diǎn)稱為自變量在點(diǎn)x0的增量的增量xy00 xxx 0)(xfy x y y=f(x) f(x0)或或 y=f(x0+ x) f(x0)稱為稱為函數(shù)的增量函數(shù)的增量xy0 x y )(xfy 0 xxx 0 xyoxyoxxyyxyxyx0f (x0)ABx x0 x x0從圖上可看出從圖上可看出, (x)在在x0間斷間斷. 但但f (x)在在x0連續(xù)連續(xù). (x)在在x0的極限不存在的極限不存在, 而而).()(lim00 xfxfxxyyx0y = (x)y = f (x)3. 函數(shù)連續(xù)

3、的定義函數(shù)連續(xù)的定義討論討論:0lim0yx0lim0yx的的變變化化情情況況時(shí)時(shí)， yx 0,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy ,00 xxx 就就是是).()(00 xfxfy 就就是是 設(shè)設(shè) 函函 數(shù)數(shù))( xf在在),(0 xU內(nèi)內(nèi) 有有 定定 義義 , ,如如 果果 函函 數(shù)數(shù))( xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí)的的極極限限存存在在, ,且且等等于于它它在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處的的函函數(shù)數(shù)值值)(0 xf, ,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就稱稱函函數(shù)數(shù))( xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x連連續(xù)續(xù). . :)(0下下連續(xù)的定義又可敘述如連續(xù)的定義又可敘述如在點(diǎn)在點(diǎn)所以函數(shù)所以函數(shù)x

4、xfy ;),()(:0有有定定義義在在 xUxfa存在；存在；)(lim:0 xfbxx).()(lim:00 xfxfcxx 函數(shù)連續(xù)的三要素函數(shù)連續(xù)的三要素例例.),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間函函數(shù)數(shù)證證明明 xy證證),( x任取任取xxxysin)sin( )2cos(2sin2xxx , 1)2cos( xx因因?yàn)闉?2sin2xy 從從而而,0,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)對(duì)對(duì)任任意意的的 ,sin有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)所以所以.),(sin都都是是連連續(xù)續(xù)的的對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即 xxy例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(處處連連續(xù)續(xù)在在試試證證函函

5、數(shù)數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx因?yàn)橐驗(yàn)? 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 3.單側(cè)連續(xù)單側(cè)連續(xù);)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00處既左連續(xù)又右連續(xù)處既左連續(xù)又右連續(xù)在在是函數(shù)是函數(shù)處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)xxfxxf.)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf 例例.0, 0, 2, 0, 2)(連連續(xù)續(xù)性性

6、處處的的在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf例例. ., 0,0, 3)(2xxaxxxf設(shè)問問a為何值時(shí)為何值時(shí), f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù).解解: f (0)=3: f (0)=3)00( f)(lim0 xfx)3(lim20 xx= 3f (x)在在 x = 0右連續(xù)右連續(xù).為使為使f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù), 必需必需 f (00)=f (0)=f (0+0)即即, a=3.故故,

7、 a=3時(shí)時(shí), f (x)在在x=0連續(xù)連續(xù).)00( f)(lim0 xfx)(lim0 xax= a例例 假設(shè)假設(shè) 1100, 1,3,)(21 xxxeexexfaxaxx 在 延續(xù)， . a1x)(xf1x所以所以 ),01()01( ff求求解解 由于由于處連續(xù)，處連續(xù)，在在而而, 33lim)(lim011 xxfxx. 1) 1(lim)(lim220101aaaxaxxxeeeexf故由故由 312aaee得得 , 022aaee解得解得1ae2ae. 2lna（舍去），（舍去），所以所以 ,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在開區(qū)間在開區(qū)間a,b內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)內(nèi)每

8、一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連或者說函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)續(xù).,)(,),(上連續(xù)上連續(xù)在閉區(qū)間在閉區(qū)間函數(shù)函數(shù)則稱則稱處左連續(xù)處左連續(xù)在右端點(diǎn)在右端點(diǎn)處右連續(xù)處右連續(xù)并且在左端點(diǎn)并且在左端點(diǎn)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)如果函數(shù)在開區(qū)間如果函數(shù)在開區(qū)間baxfbxaxba 連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如例如,.),()(內(nèi)內(nèi)是是連連續(xù)續(xù)的的在在區(qū)區(qū)間間多多項(xiàng)項(xiàng)式式有有理理整整函函數(shù)數(shù) 三、函數(shù)的間斷點(diǎn)三、函數(shù)的間斷點(diǎn) 定義定義2.15 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處不滿足連續(xù)處不滿足連續(xù)條件，則稱函數(shù)條

9、件，則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處不連續(xù)，或者稱函處不連續(xù)，或者稱函數(shù)數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處間斷。點(diǎn)處間斷。點(diǎn) 稱為稱為 的間斷點(diǎn)。的間斷點(diǎn)。 顯然，如果函數(shù)顯然，如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處有下列三種情形處有下列三種情形之一，則點(diǎn)之一，則點(diǎn) 為為 的間斷點(diǎn)：的間斷點(diǎn)：（1在點(diǎn)在點(diǎn) 處處 沒有定義；沒有定義；（2） 不存在；不存在；（3雖然雖然 有定義，且有定義，且 存在，但是存在，但是( )f x0 x( )f x0 x0 x( )f x0 x( )f x( )f x0 x0 x( )f x0 x( )f x0lim( )xxf x0()f x0lim( )xxf x00lim( )()xxf xf x1.跳躍

10、間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).)(),0()0(,)(0000的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)但但存存在在右右極極限限都都處處左左在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxfxfxxf 例例.0, 0,1, 0,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0為為函函數(shù)數(shù)的的跳跳躍躍間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) xoxy2.可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).)()(),()(lim,)(00000的的可可去去間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)義義則則稱稱點(diǎn)點(diǎn)處處無無定定在在點(diǎn)點(diǎn)或或但但處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例4

11、4.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn) x留意留意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義數(shù)的定義, , 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn). .如例如例4中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(處連續(xù)處連續(xù)在在則則 xxxxxxf跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn). .特點(diǎn)特點(diǎn).

12、0處處的的左左、右右極極限限都都存存在在函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xoxy112第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型0 x可去型可去型oyx0 x3.第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).)(,)(00的第二類間斷點(diǎn)的第二類間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn)在在右極限至少有一個(gè)不存右極限至少有一個(gè)不存處的左、處的左、在點(diǎn)在點(diǎn)如果如果xfxxxfoyx無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 x例例5 5.0, 0, 0,1)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.0為函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)x.斷斷點(diǎn)點(diǎn)這這種種情情況況稱稱為為無無窮窮間間例

13、例6 6.01sin)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy1sin ,0處沒有定義處沒有定義在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) x.斷點(diǎn)斷點(diǎn)這種情況稱為的振蕩間這種情況稱為的振蕩間留意留意 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn). .例例是是函函數(shù)數(shù)所所以以點(diǎn)點(diǎn)處處沒沒有有定定義義在在正正切切函函數(shù)數(shù)2,2tan xxxy的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn). .因因xtan,tanlim2 xx.tan2的無窮間斷點(diǎn)的無窮間斷點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)稱稱xx yxo2223定理定理1 1.)0)()()(),()(),(

14、)(,)(),(000處處也也連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,由于由于,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx.csc,sec,cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)故故xxxx四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則四、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則利用前面定理可以證明：利用前面定理可以證明：（1多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù) 在在 內(nèi)連續(xù)；內(nèi)連續(xù)；（2分式函數(shù)分式函數(shù) 除分母為除分母為0的點(diǎn)不連續(xù)外，在其它點(diǎn)處都是連續(xù)的點(diǎn)不連續(xù)外，在其它點(diǎn)處都是連續(xù)1011nnnnya xa xaxa(,)10111011nnnnmmmma xa xaxayb

15、xb xbxb三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx指指數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);),(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不不同同值值討討論論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )定理定理 一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的續(xù)

16、的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. .1. 初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 在在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒有定義.), 1上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間留意留意留意留意2. 初等函數(shù)求極限的方法代入法初等函數(shù)求極限的方法代入法.)()()(lim000定義區(qū)間定義區(qū)間 xxfxfxx例例1010. 1sinlim1 xxe求求1

17、sin1 e原式原式. 1sin e例例1111.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20 . 0 .)(,)(,)(,)(00000也連續(xù)也連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)而函數(shù)而函數(shù)且且連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理例如例如,), 0()0,(1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xu,),(sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 uy.), 0()0,(1sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是連續(xù)函數(shù).復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理定理

18、).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 則有則有連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)若若意義意義1.極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;.)(. 2的的理理論論依依據(jù)據(jù)變變量量代代換換xu 例例8 8.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解例例9 9.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(lim0yyy 原原式式解解,1yex 令令),1ln(yx 則則. 0,0yx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 下面介紹

19、定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的三個(gè)下面介紹定義在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的三個(gè)基本性質(zhì)，由于證明要用到實(shí)數(shù)理論。我們只基本性質(zhì)，由于證明要用到實(shí)數(shù)理論。我們只從幾何直觀上加以說明，將嚴(yán)格的證明略去。從幾何直觀上加以說明，將嚴(yán)格的證明略去。五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、最大值和最小值定理定理定理1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 閉區(qū)間上閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值bxyo)(xfy ax1x2 至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)最高點(diǎn)最高點(diǎn)(x1, f(x1)和和最低點(diǎn)最低點(diǎn)(x2, f(x2),使得使得xa,b有有f(x1)f(x)

20、f(x2)f(x)1. 若區(qū)間不是閉區(qū)間若區(qū)間不是閉區(qū)間,定理不一定定理不一定 成立成立2. 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定定理不一定 成立成立留意留意:例如例如,),(tan22內(nèi)連續(xù)的在開區(qū)間函數(shù)xy,),(22內(nèi)是無界的內(nèi)是無界的但它在開區(qū)間但它在開區(qū)間 xyo)(xfy 211在在這函數(shù)這函數(shù)上有間斷點(diǎn)上有間斷點(diǎn)在閉區(qū)間在閉區(qū)間)(, 12 , 0 xfx .,2 , 0小小值值但但是是既既無無最最大大值值又又無無最最上上雖雖然然有有界界閉閉區(qū)區(qū)間間 21 ,31,110,1)(xxxxxxfy又如又如 ,但它既存在最大值但它既存在最大值,也存也存在最小值在最小值推論推論

21、(有界性定理有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 0 , 10 , 00 , 1sgn)(xxxxxf例如例如,符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)應(yīng)注意條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系應(yīng)注意條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系定理定理2.(介值定理介值定理) 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)在閉區(qū)間間a,b上連續(xù)上連續(xù), 和分別為最大值和分別為最大值和最小值，則對(duì)于介于與之間的任和最小值，則對(duì)于介于與之間的任意一個(gè)數(shù)意一個(gè)數(shù),（即（即）, 至少存在至少存在一個(gè)內(nèi)點(diǎn)一個(gè)內(nèi)點(diǎn)(a,b),使得使得f()=f(x)MBCAmb1 2 3 2x1xxyo)(xfy a幾何解釋幾何解釋連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧y=f(x)與水平直線與水平直線y=至至少有一個(gè)交點(diǎn)少有一個(gè)交點(diǎn)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值小值 之間的任何值。之間的任何值。定義定義: :.)(, 0)(000的零點(diǎn)的零點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)則則使使如果如果xfxxfx .),(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根ba在在即即方方程程0)( xfab