二重積分定義和性質(zhì)ppt課件

1、知識準(zhǔn)備知識準(zhǔn)備回憶定積分回憶定積分. .設(shè)一元函數(shù) y = f (x) 在a, b可積. 那么有niiibaxfxxf10)(limd)(.d)(,0)(面積在幾何上表示曲邊梯形時當(dāng)baxxfxf如圖0 xyabxixi+1 iy = f (x)f ( i)其中xi = xi+1 xi , 表示小區(qū)間xi, xi+1的長, f ( i) xi表示小矩形的面積.有一空間幾何體. 其底面是 xoy 面上的區(qū)域D, 其側(cè)面為母線平行于 z 軸的柱面, 其頂是曲面 z= f (x, y), 我們稱為曲頂柱體.我們曉得，頂是平面的平頂柱體的體積V = 底面積高，那么曲頂柱體的體積V怎么計算呢？0yzx

2、z = f (x,y)D 一、引例一、引例(1)用曲線將D分成 n 個小區(qū)域 D1, D2, Dn , 每個小區(qū)域Di 都對應(yīng)著一個小曲頂柱體.如圖z = f (x,y)0yzxz = f (x,y)DDiDi計算步驟(2)由于Di很小, 小曲頂柱體可近似看作小平頂柱體. ( i , i) Di .小平頂柱體的高 = f ( i , i).假設(shè)記 i = Di的面積. 那么小平頂柱體的體積 = f ( i , i) i 小曲頂柱體體積 f ( i , i) ( i , i)Diz = f (x,y)(3)因而, 大曲頂柱體的體積niiiifV1),(分割得越細(xì), 那么右端的近似值越接近于準(zhǔn)確值

3、V, 假設(shè)分割得無限細(xì), 那么右端近似值會無限接近于準(zhǔn)確值V.也就是niiiifV1),(lim1.1.定義定義 設(shè)設(shè)z=f (x,y)z=f (x,y)是定義在有界閉區(qū)域是定義在有界閉區(qū)域D DR2R2上的有界函數(shù)上的有界函數(shù). . 將D任意分割成n個無公共內(nèi)點的小區(qū)域Di(I=1, 2, , n), 其面積記為 i.(i, i) Di, 作積f (i, i) i,.max1的直徑記iniD,),(1niiiif作和 二、二重積分的概念與性質(zhì)二、二重積分的概念與性質(zhì) 假設(shè)對任意的分法和任意的取法, 當(dāng) 0時, 和式niiiif1),(的極限存在且極限值都為I, 那么稱f (x,y)在D上可積

4、, 記為f (x,y) R(D), 并稱此極限值 I 為f (x,y)在D上的二重積分. 記作Ddyxf,),(即niiiiDfdyxf10),(lim),(其中“ 稱為二重積分符號, D稱為積分區(qū)域, f (x,y)稱為被積函數(shù), d稱為面積元素, x, y稱為積分變量. 和式.),(1稱為積分和niiiif注注1. 定積定積分分niiibaxfdxxf10)(lim)(二重積分niiiiDfdyxf10),(lim),(區(qū)別在將小區(qū)間的長度 xi 換成小區(qū)域的面積 i,將一元函數(shù) f (x)在數(shù)軸上點 i 處的函數(shù)值 f (i)換成二元函數(shù) f (x, y)在平面上點(i, i)處的函數(shù)值

5、 f (i, i).可見, 二重積分是定積分的推廣. 注注2. 假設(shè)將假設(shè)將D用兩族平行于用兩族平行于x軸和軸和y軸的直線分軸的直線分割割.(如圖如圖)那么除邊境上區(qū)域外那么除邊境上區(qū)域外, Di都都是是矩形，它的面積為：矩形，它的面積為：故也將二重積分寫成故也將二重積分寫成Ddxdyyxf),(i ixiyxyo此時面積元素記為此時面積元素記為 ： d = dxdyi = i = xi xi yiyi(1) 當(dāng)z=f (x, y)0時,.),(曲頂柱體的體積Ddyxf(2) 當(dāng)z= f (x, y)0時,)(),(曲頂柱體的體積Ddyxf(3)則上在上在無公共內(nèi)點且若, 0),(, 0),(

6、,212121yxfDyxfDDDDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf= (D1上曲頂柱體體積) (D2上曲頂柱體體積).),(,的代數(shù)和表示各小曲頂柱體體積一般Ddyxf設(shè)D為有界閉區(qū)域, 以下涉及的積分均存在.性質(zhì)1. .|,|的面積為區(qū)域其中DDDdD性質(zhì)2. DDDdyxgyxfdyxgyxf),(),(),(),(性質(zhì)3. DDdyxfkdyxkfk),(),(,則為常數(shù)設(shè)性質(zhì)4. 則無公共內(nèi)點且設(shè),2121DDDDD21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf由二重積分的幾何意義知, 當(dāng)f (x, y)0時, VdyxfD曲頂柱體的體積),(如圖假設(shè)點

7、x處截面面積為A(x), 那么體積.)(badxxAV三、二重積分的計算三、二重積分的計算xy0axA(x)bxyoab)(1xy )(2xy 假如積分區(qū)域假如積分區(qū)域D表示為：表示為：利用直角坐標(biāo)系計算二重積分利用直角坐標(biāo)系計算二重積分我們稱為我們稱為X型型xyoab)(1xy )(2xy , bxa ).()(21xyx 特殊情況特殊情況abzyxo為底，為底，的值等于以的值等于以 DdyxfD ),(.),()()()(21xxdyyxfxA. 0),( yxf假假定定為曲頂柱體的體積為曲頂柱體的體積以曲面以曲面),(yxfz )(2xy )(1xy ),(yxfz )(0 xA.),(

8、 ),()()(21 DbaxxdxdyyxfdyxfV 0 x.)(badxxAV積分區(qū)域積分區(qū)域D為：為：X型型.),( ),()()(21 Dbaxxdxdyyxfdyxf 一般地，一般地，.),()()(21baxxdyyxfdx - 先對先對 y 積分，后對積分，后對 x 積分的二次積分積分的二次積分, bxa ).()(21xyx .),( ),()()(21dydxyxfdyxfDdcyy 假如積分區(qū)域假如積分區(qū)域D為：為：,dyc ).()(21yxy Y型型xyocd)(1yx )(2yx xyocd)(1yx )(2yx dcyydxyxfdy)( )(21),( - 先對

9、先對 x 積分，后對積分，后對 y 積分的二次積分積分的二次積分假設(shè)區(qū)域如圖，比不是假設(shè)區(qū)域如圖，比不是X X型也不是型也不是Y Y型，型， 3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別使在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式得：用積分公式得：.),(),(),(),(321 DDDDdyxfdyxfdyxfdyxf 那么必需分割那么必需分割. .例例1 將將dxdyyxf ),(D 化為二次積分?；癁槎畏e分。其中其中 D 由直線由直線4 , 2 , 2 , yyxyxy圍成。圍成。xyo24624xy 2 xy解解 1： 先畫出積分區(qū)域先畫出積分區(qū)域 D ，可知可知D 是是 Y型。型。24將將 D

10、向向 y 軸投影。軸投影。 . 42, 2 :yyxyD于是，于是， dxdyyxf ),(Ddxyxfyy ),(2 42 dyxyo24624xy 2 xy解解 2： D 也是也是 X型。型。將將 D 向向 x 軸投影。軸投影。26.21DDD 于是，于是，dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf ),( ),( ),(21DDD 41D2D .2, 42 :1xyxD . 42, 64 :2yxxD dyyxfx ),(2 42 dxdyyxfx ),(42 64 dx例例2 計算計算 dxy D 其中其中 D 由直線由直線2 , 1 , xyxy圍成。圍成。xyo1212xy 1 y2 x解解 先畫出積分區(qū)域先畫出積分區(qū)域 D ，D 是是 X型。型。將將 D 向向 x 軸投影。軸投影。 .1, 21 :xyxD dyxyx 1于是，于是， dxy D 21 dx12xyx122 21 dx 213 22 dyxx212448