期權(quán)定價(jià)理論

1、 1973年，美國芝加哥大學(xué)教授年，美國芝加哥大學(xué)教授 Fischer Black(費(fèi)雪費(fèi)雪.布萊布萊克克)和和 Myron Scholes(梅隆梅隆.舒爾斯舒爾斯)發(fā)表了發(fā)表了期權(quán)與公司負(fù)債期權(quán)與公司負(fù)債定價(jià)定價(jià)疑問，提出了著名的疑問，提出了著名的B-S定價(jià)模型，用于確定歐式股定價(jià)模型，用于確定歐式股票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，票期權(quán)價(jià)格，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起了強(qiáng)烈反響；同年，Robert C. Merton(羅伯特羅伯特.莫頓莫頓)獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般獨(dú)立地提出了一個(gè)更為一般化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了化的模型。舒爾斯和默頓由此獲得了1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)年的

2、諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。學(xué)獎(jiǎng)。 本章將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克本章將循序漸進(jìn)，盡量深入淺出地介紹布萊克-舒爾斯舒爾斯-默默頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡稱頓期權(quán)定價(jià)模型（下文簡稱B-S-M模型），并由此導(dǎo)出衍生模型），并由此導(dǎo)出衍生證券定價(jià)的一般方法。證券定價(jià)的一般方法。 為了給股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢。為了給股票期權(quán)定價(jià)，必須先了解股票本身的走勢。 因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在因?yàn)楣善逼跈?quán)是其標(biāo)的資產(chǎn)（即股票）的衍生工具，在已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的已知執(zhí)行價(jià)格、期權(quán)有效期、無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益的情況下，期權(quán)價(jià)格情況下，期權(quán)價(jià)格變化的

3、唯一來源就是股票價(jià)格的變化變化的唯一來源就是股票價(jià)格的變化，股，股票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。票價(jià)格是影響期權(quán)價(jià)格的最根本因素。 因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變因此，要研究期權(quán)的價(jià)格，首先必須研究股票價(jià)格的變化規(guī)律。在了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來化規(guī)律。在了解了股票價(jià)格的規(guī)律后，我們試圖通過股票來復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。復(fù)制期權(quán)，并以此為依據(jù)給期權(quán)定價(jià)。 在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價(jià)的思在下面幾節(jié)中我們會(huì)用數(shù)學(xué)的語言來描述這種定價(jià)的思想。想。 公式等式第二項(xiàng)公式等式第二項(xiàng)dz完全捕捉了影響股票價(jià)格變化的隨完全捕捉了影響股票價(jià)格變化

4、的隨機(jī)因素。機(jī)因素。SdzSdtdS股票價(jià)格服從的隨機(jī)過程股票價(jià)格服從的隨機(jī)過程dzdtSdSSdzSfdtSSftfSSfdf222221 根據(jù)數(shù)學(xué)家伊藤根據(jù)數(shù)學(xué)家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理提出的伊藤引理(It 引理引理),人們推人們推出，當(dāng)股票價(jià)格服從上述隨機(jī)過程時(shí)可得期權(quán)價(jià)格相應(yīng)服從出，當(dāng)股票價(jià)格服從上述隨機(jī)過程時(shí)可得期權(quán)價(jià)格相應(yīng)服從的隨機(jī)過程，作為股票衍生產(chǎn)品的期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)過程，作為股票衍生產(chǎn)品的期權(quán)價(jià)格f 將服從將服從 觀察得到，影響期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)因素也完全體現(xiàn)在等式觀察得到，影響期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)因素也完全體現(xiàn)在等式右邊的第二項(xiàng)中的右邊的第二項(xiàng)中的dz上，即股票價(jià)格及其衍生產(chǎn)品

5、上，即股票價(jià)格及其衍生產(chǎn)品期權(quán)期權(quán)價(jià)格都只受到一種不確定性的影響，其區(qū)別只是在于隨機(jī)因價(jià)格都只受到一種不確定性的影響，其區(qū)別只是在于隨機(jī)因素素dz前面的系數(shù)不同，即對(duì)隨機(jī)因素變化的反應(yīng)程度不同。前面的系數(shù)不同，即對(duì)隨機(jī)因素變化的反應(yīng)程度不同。BSM 期權(quán)定價(jià)公式：期權(quán)定價(jià)公式：rfSfSSfrStf222221BSM 微分方程微分方程)()(2)(1dNXedSNctTru基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí)l隨機(jī)過程隨機(jī)過程如果某變量的價(jià)值以某種不確定的方式隨如果某變量的價(jià)值以某種不確定的方式隨時(shí)間變化，則稱該變量遵循某種隨機(jī)過程。時(shí)間變化，則稱該變量遵循某種隨機(jī)過程。分為離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程；分為離散時(shí)

6、間和連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程；連續(xù)變量和離散變量隨機(jī)過程。連續(xù)變量和離散變量隨機(jī)過程。lMarkov Process-特殊類型的隨機(jī)過程特殊類型的隨機(jī)過程 只有變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷只有變量的當(dāng)前值與未來的預(yù)測有關(guān)，變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預(yù)測不相關(guān)史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式則與未來的預(yù)測不相關(guān).人們通常假設(shè)人們通常假設(shè)股票價(jià)格股票價(jià)格遵循馬爾科夫過程。遵循馬爾科夫過程。例如：股票現(xiàn)價(jià)為例如：股票現(xiàn)價(jià)為100，如果其遵循馬爾科夫過程，則一個(gè)，如果其遵循馬爾科夫過程，則一個(gè)星期之前、一個(gè)月之前的股價(jià)不影響對(duì)將來的預(yù)測。惟一星期之前、一個(gè)月之前的股價(jià)不影

7、響對(duì)將來的預(yù)測。惟一相關(guān)的就是股票的現(xiàn)價(jià)相關(guān)的就是股票的現(xiàn)價(jià)100.弱式效率市場假說與馬爾可夫過程弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 19651965年，法瑪（年，法瑪（FamaFama）提出了著名的效率市場假說。該）提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)假說認(rèn)為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬。酬。 證券價(jià)格對(duì)新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券證券價(jià)格對(duì)新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變

8、動(dòng)是水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動(dòng)是相互獨(dú)立的。相互獨(dú)立的。效率市場假說可分為三類：效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式；弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程（Markov Stochastic Process）來表述。）來表述。人們通常用形如公式人們通常用形如公式的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描繪股票價(jià)格的隨機(jī)變化過程；的幾何布朗運(yùn)動(dòng)來描繪股票價(jià)格的隨機(jī)變化過程；這是期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)性假設(shè)。也好似金融中最主要的這是期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)性假設(shè)。也好似金融中最主要的假設(shè)；假設(shè)；最重要的是最重要的是dz項(xiàng)項(xiàng)，它代表影響股票價(jià)格變化

9、的隨機(jī)因素。，它代表影響股票價(jià)格變化的隨機(jī)因素。通常被成為通常被成為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)(Standard Brownian Motion)或或維維納過程納過程（Wiener Process)。dzdtSdS股價(jià)行為模型通常用著名的維納股價(jià)行為模型通常用著名的維納(Wiener Processes)過過程；程；維納過程是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式；維納過程是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式；物理學(xué)中用于觀察某個(gè)粒子受到大量小分子碰撞的運(yùn)物理學(xué)中用于觀察某個(gè)粒子受到大量小分子碰撞的運(yùn)動(dòng)，有時(shí)稱為布朗運(yùn)動(dòng)動(dòng)，有時(shí)稱為布朗運(yùn)動(dòng)(Brownian Motion)；布朗運(yùn)動(dòng)（布朗運(yùn)動(dòng)（Browni

10、an Motion）起源）起源 于英國植物學(xué)于英國植物學(xué)家布朗對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。家布朗對(duì)水杯中的花粉粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的描述。u布朗運(yùn)動(dòng)布朗運(yùn)動(dòng)l標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)設(shè)設(shè) 代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度，代表一個(gè)小的時(shí)間間隔長度， 代表變量代表變量z在時(shí)間在時(shí)間 內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的內(nèi)的變化，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的 具有兩種特征：具有兩種特征：特征特征1： 和和 的關(guān)系滿足（的關(guān)系滿足（6.1）：）： 其中，其中， 代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（代表從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（即均值為即均值為0、標(biāo)準(zhǔn)差為、標(biāo)準(zhǔn)差為1.0的正的正態(tài)分布態(tài)分布）中取的一個(gè)隨機(jī)值。）中取的一個(gè)隨機(jī)值。tztztztz特征

11、特征2：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔，：對(duì)于任何兩個(gè)不同時(shí)間間隔， 和和 的值相互的值相互獨(dú)立。獨(dú)立。 考察變量考察變量z在一段較長時(shí)間在一段較長時(shí)間T中的變化情形，我們可得：中的變化情形，我們可得： 其中滿足均值為其中滿足均值為0，方差為，方差為 （ 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的 ）當(dāng)當(dāng) 時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)：時(shí)，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)： 0ttztzTzNii1)0()(dtdzTi由特征由特征1知道，知道， 本身也具有正態(tài)分布。均值為零，本身也具有正態(tài)分布。均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為 ，方差為，方差為 ；由特征由特征2知道，遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的變量具有獨(dú)立增知道，遵循標(biāo)準(zhǔn)

12、布朗運(yùn)動(dòng)的變量具有獨(dú)立增量的性質(zhì)；量的性質(zhì)；l普通布朗運(yùn)動(dòng)普通布朗運(yùn)動(dòng) 我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率；我們先引入兩個(gè)概念：漂移率和方差率；標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)的漂移率為0，方差率為，方差率為1.0. ztt我們令漂移率的期望值為我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為方差率的期望值為b2，就可得，就可得到變量到變量x 的的普通布朗運(yùn)動(dòng)普通布朗運(yùn)動(dòng)： 其中，其中，a和和b均為常數(shù)，均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是普通布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，即漂移率為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是普通布朗運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，即漂移率為0,方差為方差為1的普通布朗運(yùn)動(dòng)；的普通布朗運(yùn)動(dòng)；

13、漂移率漂移率單位時(shí)間內(nèi)變量單位時(shí)間內(nèi)變量z均值的變化值；均值的變化值；顯然，遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量顯然，遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)的變量x是關(guān)于時(shí)間和是關(guān)于時(shí)間和dz的動(dòng)態(tài)過程的動(dòng)態(tài)過程; adt 為確定項(xiàng)，漂移率為確定項(xiàng)，漂移率a 意味著每單位時(shí)間內(nèi)意味著每單位時(shí)間內(nèi)x 漂移漂移a bdzadtdxl伊藤過程伊藤過程l普通布朗運(yùn)動(dòng)普通布朗運(yùn)動(dòng)假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的的漂移率和方差率當(dāng)作變量漂移率和方差率當(dāng)作變量x和時(shí)間和時(shí)間t的函數(shù)，我們可以普通的的函數(shù)，我們可以普通的布朗運(yùn)動(dòng)方程得到布朗運(yùn)動(dòng)方程得到伊藤過程伊藤過程(Ito Process)： 其中，其

14、中，dz是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，a、b是變量是變量x和和t的函數(shù)，變的函數(shù)，變量量x的漂移率為的漂移率為a，方差率為，方差率為b2。 dztxbdttxadx),(),(l證券價(jià)格的變化過程證券價(jià)格的變化過程證券（股票）價(jià)格的變化過程可以用漂移率為證券（股票）價(jià)格的變化過程可以用漂移率為S、方差、方差率為率為 的伊藤過程來表示：的伊藤過程來表示：兩邊同除以兩邊同除以S得：得：22SSdzSdtdSdzdtSdSl從上式可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：從上式可知，在短時(shí)間后，證券價(jià)格比率的變化值為：l可見，可見， 也具有正態(tài)分布特征也具有正態(tài)分布特征 ttSS),(tt

15、SSSStt 例：例：設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為每設(shè)一種不付紅利股票遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其波動(dòng)率為每年年18%，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年，預(yù)期收益率以連續(xù)復(fù)利計(jì)為每年20%，其目前的市，其目前的市價(jià)為價(jià)為100元，求一周元，求一周(0.0192年年)后該股票價(jià)格變化值的概率分后該股票價(jià)格變化值的概率分布。布。 0.200.18SttS 100 0.003840.02490.3842.49S S服從均值為服從均值為0.384元，標(biāo)準(zhǔn)差為元，標(biāo)準(zhǔn)差為2.49元的正態(tài)分布的元的正態(tài)分布的隨機(jī)抽樣。隨機(jī)抽樣。l伊藤引理伊藤引理 若變量若變量S S遵循伊藤過程，則變量遵循伊藤過程，

16、則變量s和和t 的函數(shù)的函數(shù) f 將遵循如下將遵循如下過程：過程： 根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價(jià)格 f 應(yīng)遵循如下過程：應(yīng)遵循如下過程： 2221()2ffffdfabdtbdzStSSSdzSdtdS22221()2ffffdfSSdtSdzStSS由于由于l證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過程證券價(jià)格自然對(duì)數(shù)變化過程 令令 ，由于，由于代入衍生證券的價(jià)格方程代入衍生證券的價(jià)格方程: : 證券價(jià)格對(duì)數(shù)證券價(jià)格對(duì)數(shù)G G遵循普通布朗運(yùn)動(dòng)遵循普通布朗運(yùn)動(dòng), ,且：且： lnfS22211,0fffSSSSt 2()2dfdtdz),)(lnln22tTtTSST例例 設(shè)設(shè)A股票價(jià)格

17、的當(dāng)前值為股票價(jià)格的當(dāng)前值為50元元,預(yù)期收益率為每年預(yù)期收益率為每年18%,波動(dòng)率為每年波動(dòng)率為每年20%,該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)該股票價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng),且該股票且該股票在在6個(gè)月內(nèi)不付紅利，請問該股票個(gè)月內(nèi)不付紅利，請問該股票6個(gè)月后的價(jià)格個(gè)月后的價(jià)格ST的概率的概率分布。分布。例例 請問在上例中，請問在上例中，A股票在股票在6個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和個(gè)月后股票價(jià)格的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差等多少？標(biāo)準(zhǔn)差等多少？ 假設(shè)：假設(shè)：證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即證券價(jià)格遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即 和和 為常數(shù)；為常數(shù)；允許賣空標(biāo)的證券；允許賣空標(biāo)的證券；沒有交易費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；沒有交易

18、費(fèi)用和稅收，所有證券都是完全可分的；衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；衍生證券有效期內(nèi)標(biāo)的證券沒有現(xiàn)金收益支付；存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；證券交易是連續(xù)的，價(jià)格變動(dòng)也是連續(xù)的；衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率衍生證券有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r r為常數(shù)。為常數(shù)。 由于證券價(jià)格由于證券價(jià)格S遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有：遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，因此有：其在一個(gè)小的時(shí)間間隔其在一個(gè)小的時(shí)間間隔 中，中，S的變化值的變化值 為：為： 在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，在一個(gè)小的時(shí)間間隔中，f 的變化值的變化值 為：為：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(

19、2222zSSftSSftfSSff)21(2222 設(shè)設(shè)f是依賴于是依賴于S的衍生證券的價(jià)格，則的衍生證券的價(jià)格，則f一定是一定是S和和t的函的函數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得：數(shù)，根據(jù)伊藤引理可得： SdzSdtdSStf 為了消除風(fēng)險(xiǎn)源為了消除風(fēng)險(xiǎn)源 ，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證，可以構(gòu)建一個(gè)包括一單位衍生證券空頭和券空頭和 單位標(biāo)的證券多頭的組合。單位標(biāo)的證券多頭的組合。令令 代表該投資組合的價(jià)值，則：代表該投資組合的價(jià)值，則： zSfffSx 在在 時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化時(shí)間后，該投資組合的價(jià)值變化 為：為：ffSS t代入代入 和和 可得：可得：fStSSftf)21(2222tSS

20、ftf)21(2222 中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因中不含任何風(fēng)險(xiǎn)源，因 此組合此組合 必須獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即必須獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，即tr代入上式可得代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化簡為化簡為rfSfSSfrStf222221*這就是著名的這就是著名的布萊克布萊克舒爾斯微分分程，舒爾斯微分分程，它適它適用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格用于其價(jià)格取決于標(biāo)的證券價(jià)格S的所有衍生證券的的所有衍生證券的定價(jià)。定價(jià)。 觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀察布萊克舒爾斯微分方程，我們可以發(fā)現(xiàn)，受制于主觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)期收益率并未包括在衍生證觀的風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的標(biāo)的證券預(yù)

21、期收益率并未包括在衍生證券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如券的價(jià)值決定公式中。這意味著，無論風(fēng)險(xiǎn)收益偏好狀態(tài)如何，都不會(huì)對(duì)何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。的值產(chǎn)生影響。假設(shè)：假設(shè)：在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。盡管這只是一個(gè)人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論盡管這只是一個(gè)人為的假定，但通過這種假定所獲得的結(jié)論不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)不僅適用于投資者風(fēng)險(xiǎn)中性情況，也適用于投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)的所有情況。的所有情況。 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的預(yù)期收益率都可以等于在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，所有證券的

22、預(yù)期收益率都可以等于無風(fēng)險(xiǎn)利率無風(fēng)險(xiǎn)利率r，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)，所有現(xiàn)金流量都可以通過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。求得現(xiàn)值。這就是風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理。 假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為假設(shè)一種不支付紅利股票目前的市價(jià)為1010元，我們知元，我們知道在道在3 3個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是個(gè)月后，該股票價(jià)格要么是1111元，要么是元，要么是9 9元?，F(xiàn)元。現(xiàn)在我們要找出一份在我們要找出一份3 3個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為個(gè)月期協(xié)議價(jià)格為10.510.5元的該股票歐元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。式看漲期權(quán)的價(jià)值。 由于歐式期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于由于歐式期權(quán)不

23、會(huì)提前執(zhí)行，其價(jià)值取決于3 3個(gè)月后個(gè)月后股票的市價(jià)。若股票的市價(jià)。若3 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于1111元，則該期權(quán)元，則該期權(quán)價(jià)值為價(jià)值為0.50.5元；若元；若3 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于9 9元，則該期權(quán)元，則該期權(quán)價(jià)值為價(jià)值為0 0。 案例案例 風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理的應(yīng)用 為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看為了找出該期權(quán)的價(jià)值，我們可構(gòu)建一個(gè)由一單位看漲期權(quán)空頭和漲期權(quán)空頭和 單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。若3 3個(gè)月個(gè)月后該股票價(jià)格等于后該股票價(jià)格等于11 11元時(shí)，該組合價(jià)值等于元時(shí)

24、，該組合價(jià)值等于(11 11 0.50.5)元；若元；若3 3個(gè)月后該股票價(jià)格等于個(gè)月后該股票價(jià)格等于9 9元時(shí)，該組合價(jià)值等于元時(shí)，該組合價(jià)值等于9 9 元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)元。為了使該組合價(jià)值處于無風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，我們應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牡?值，使值，使3 3個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著：個(gè)月后該組合的價(jià)值不變，這意味著： 11 0.5=9 =0.25 因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和因此，一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)組合應(yīng)包括一份看漲期權(quán)空頭和0.250.25股標(biāo)的股票。無論股標(biāo)的股票。無論3 3個(gè)月后股票價(jià)格等于個(gè)月后股票價(jià)格等于11 11元還是元還是9 9元，該組合價(jià)值

25、都將等于元，該組合價(jià)值都將等于2.252.25元。元。30 假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于假設(shè)現(xiàn)在的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%10%，則該組合的現(xiàn)，則該組合的現(xiàn)值應(yīng)為：值應(yīng)為： 由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.250.25單位股票單位股票多頭，而目前股票市場為多頭，而目前股票市場為1010元，因此：元，因此： 這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為這就是說，該看漲期權(quán)的價(jià)值應(yīng)為0.310.31元，否則就會(huì)存元，否則就會(huì)存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。 元19. 225. 225. 01 . 0e元31.019.225.010ff31 從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)

26、值時(shí)，我們并不從該例子可以看出，在確定期權(quán)價(jià)值時(shí)，我們并不需要知道股票價(jià)格上漲到需要知道股票價(jià)格上漲到11元的概率和下降到元的概率和下降到9元的概元的概率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。率。但這并不意味著概率可以隨心所欲地給定。 事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和事實(shí)上，只要股票的預(yù)期收益率給定，股票上升和下降的概率也就確定了。下降的概率也就確定了。 例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為例如，在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中，無風(fēng)險(xiǎn)利率為10%，則，則股票上升的概率股票上升的概率P可以通過下式來求：可以通過下式來求：0.1 0.2510119(1)ePPP=62.66%.32 又如，如果在現(xiàn)

27、實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為又如，如果在現(xiàn)實(shí)世界中股票的預(yù)期收益率為15%，則股票的上升概率可以通過下式來求：，則股票的上升概率可以通過下式來求：0.15 0.2510119(1)ePPP=69.11%. 可見，可見，投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度決定了股票的預(yù)期收益決定了股票的預(yù)期收益率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然率，而股票的預(yù)期收益率決定了股票升跌的概率。然而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票而，無論投資者厭惡風(fēng)險(xiǎn)程度如何，從而無論該股票上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于上升或下降的概率如何，該期權(quán)的價(jià)值都等于0.31元。元。33 在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)到期時(shí)（T 時(shí)刻）的期望值為：時(shí)刻）的期望值為：)0 ,max(XSET其中，其中， 表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性表示風(fēng)險(xiǎn)中性條件下的期望值。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)定價(jià)原理，原理，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格歐式看漲期權(quán)的價(jià)格c等于將此期望值按無等于將此期望值按無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即：即： )0 ,max()(XSEecTtTrE34tTdtTtTrXSdtTtTrXSddNXedSNXSEectTrTtTr12221