競賽講座23完全平方數(shù)

1、競賽講座23完全平方數(shù)(一) 完全平方數(shù)的性質(zhì)一個(gè)數(shù)如果是另一個(gè)整數(shù)的完全平方，那么我們就稱這個(gè)數(shù)為完全平方數(shù)，也叫做平方數(shù)。例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,觀察這些完全平方數(shù)，可以獲得對(duì)它們的個(gè)位數(shù)、十位數(shù)、數(shù)字和等的規(guī)律性的認(rèn)識(shí)。下面我們來研究完全平方數(shù)的一些常用性質(zhì)：性質(zhì)1：完全平方數(shù)的末位數(shù)只能是0,1,4,5,6,9。性質(zhì)2：奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)，十位數(shù)字為偶數(shù)。證明奇數(shù)必為下列五種形式之一：10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9

2、分別平方后，得(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9(10a+9)=100+180a+81=20(5a+9a+4)+1綜上各種情形可知：奇數(shù)的平方，個(gè)位數(shù)字為奇數(shù)1,5,9；十位數(shù)字為偶數(shù)。性質(zhì)3：如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6；反之，如果完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。證明已知=10k+6,證明k為奇數(shù)。因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)為6,所以m的個(gè)位數(shù)為4或

3、6,于是可設(shè)m=10n+4或10n+6。則10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6或10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6即k=10+8n+1=2(5+4n)+1或k=10+12n+3=2(5+6n)+3二k為奇數(shù)。推論1：如果一個(gè)數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù),而個(gè)位數(shù)字不是6,那么這個(gè)數(shù)一定不是完全平方數(shù)。推論2：如果一個(gè)完全平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字不是6,則它的十位數(shù)字是偶數(shù)。性質(zhì)4：偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1。這是因?yàn)?2k+1)=4k(k+1)+1(2k)=4性質(zhì)5:奇數(shù)的平方是8n+1型；偶數(shù)的平方為8n或8n+4型。在性質(zhì)4的證明中，由k(

4、k+1)定為偶數(shù)可得到(2k+1)是8n+1型的數(shù)；由為奇數(shù)或偶數(shù)可得(2k)為8n型或8n+4型的數(shù)。性質(zhì)6:平方數(shù)的形式必為下列兩種之一:3k,3k+1。因?yàn)樽匀粩?shù)被3除按余數(shù)的不同可以分為三類：3m,3m+1,3m+2。平方后，分別得(3m)=9=3k(3m+1)=9+6m+1=3k+1(3m+2)=9+12m+4=3k+1同理可以得到：性質(zhì)7:不能被5整除的數(shù)的平方為5k士型，能被5整除的數(shù)的平方為5k型。性質(zhì)8:平方數(shù)的形式具有下列形式之一:16m,16m+1,16m+4,16m+9。除了上面關(guān)于個(gè)位數(shù)，十位數(shù)和余數(shù)的性質(zhì)之外，還可研究完全平方數(shù)各位數(shù)字之和。例如，256它的各位數(shù)字

5、相加為2+5+6=13，13叫做256的各位數(shù)字和。如果再把13的各位數(shù)字相加:1+3=4，4也可以叫做256的各位數(shù)字的和。下面我們提到的一個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和是指把它的各位數(shù)字相加，如果得到的數(shù)字之和不是一位數(shù)，就把所得的數(shù)字再相加，直到成為一位數(shù)為止。我們可以得到下面的命題:一個(gè)數(shù)的數(shù)字和等于這個(gè)數(shù)被9除的余數(shù)。下面以四位數(shù)為例來說明這個(gè)命題。設(shè)四位數(shù)為，則=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)顯然，a+b+c+d是四位數(shù)被9除的余數(shù)。對(duì)于n位數(shù)，也可以仿此法予以證明。關(guān)于完全平方數(shù)的數(shù)字和有下面的性質(zhì)

6、:性質(zhì)9:完全平方數(shù)的數(shù)字之和只能是0,1,4,7,9。證明因?yàn)橐粋€(gè)整數(shù)被9除只能是9k,9k士1,9k士2,9k士3這幾種形式，而（9k）=9（9）+0（9k士1）=9（9士2k）+1（9k士2）=9（9士4k）+4（9k士3）=9（9士6k）+9（9k士4）=9（9士8k+1）+7除了以上幾條性質(zhì)以外，還有下列重要性質(zhì)：性質(zhì)10：為完全平方數(shù)的充要條件是b為完全平方數(shù)。證明充分性：設(shè)b為平方數(shù)，則=（ac）必要性：若為完全平方數(shù)，=，則性質(zhì)11：如果質(zhì)數(shù)p能整除a,但不能整除a,則a不是完全平方數(shù)。證明由題設(shè)可知，a有質(zhì)因子p，但無因子，可知a分解成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，p的次方為1,而完全平方數(shù)分解

7、成標(biāo)準(zhǔn)式時(shí)，各質(zhì)因子的次方均為偶數(shù)，可見a不是完全平方數(shù)。性質(zhì)12：在兩個(gè)相鄰的整數(shù)的平方數(shù)之間的所有整數(shù)都不是完全平方數(shù),即若<k<（n+1）則k一定不是完全平方數(shù)。性質(zhì)13：一個(gè)正整數(shù)n是完全平方數(shù)的充分必要條件是n有奇數(shù)個(gè)因子（包括1和n本身）。（二）重要結(jié)論1. 個(gè)位數(shù)是2,3,7,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；2. 個(gè)位數(shù)和十位數(shù)都是奇數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；3. 個(gè)位數(shù)是6，十位數(shù)是偶數(shù)的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；4. 形如3n+2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；5. 形如4n+2和4n+3型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；6形如5n±2型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；7.

8、 形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)；8. 數(shù)字和是2,3,5,6,8的整數(shù)一定不是完全平方數(shù)。（三）范例例1：一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù)，求此數(shù)。解：設(shè)此自然數(shù)為x,依題意可得（m,n為自然數(shù)）（2）-（1）可得n>m（但89為質(zhì)數(shù)，它的正因子只能是1與89,于是。解之，得n=45。代入得。故所求的自然數(shù)是1981。例2：求證：四個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積加上1,等于一個(gè)奇數(shù)的平方（1954年基輔數(shù)學(xué)競賽題）。分析設(shè)四個(gè)連續(xù)的整數(shù)為,其中n為整數(shù)。欲證是一奇數(shù)的平方,只需將它通過因式分解而變成一個(gè)奇數(shù)的平方即可。證明設(shè)這四個(gè)整數(shù)之積加

9、上1為m,則而n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，所以是偶數(shù)；又因?yàn)?n+1是奇數(shù)，因而n(n+1)+2n+1是奇數(shù)。這就證明了m是一個(gè)奇數(shù)的平方。例3：求證：11,111,1111,這串?dāng)?shù)中沒有完全平方數(shù)(1972年基輔數(shù)學(xué)競賽題)。分析形如的數(shù)若是完全平方數(shù)，必是末位為1或9的數(shù)的平方，即或在兩端同時(shí)減去1之后即可推出矛盾。證明若，則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。若，則因?yàn)樽蠖藶槠鏀?shù)，右端為偶數(shù)，所以左右兩端不相等。綜上所述，不可能是完全平方數(shù)。另證由為奇數(shù)知，若它為完全平方數(shù)，則只能是奇數(shù)的平方。但已證過，奇數(shù)的平方其十位數(shù)字必是偶數(shù)，而十位上的數(shù)字為1，所以不是完全平方數(shù)

10、。例4：試證數(shù)列49,4489,444889,的每一項(xiàng)都是完全平方數(shù)。證明=+1=4+8+1=4()(9+1)+8+1=36()+12+1=(6+1)即為完全平方數(shù)。例5：用300個(gè)2和若干個(gè)0組成的整數(shù)有沒有可能是完全平方數(shù)？解：設(shè)由300個(gè)2和若干個(gè)0組成的數(shù)為A,則其數(shù)字和為6003|600二3|A此數(shù)有3的因子，故9|A。但9|600,a矛盾。故不可能有完全平方數(shù)。例6：試求一個(gè)四位數(shù)，它是一個(gè)完全平方數(shù)，并且它的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字也相同(1999小學(xué)數(shù)學(xué)世界邀請賽試題)。解：設(shè)此數(shù)為此數(shù)為完全平方，則必須是11的倍數(shù)。因此11|a+b,而a,b為0,1,2,9,故共有(2,9

11、),(3,8),(4,7),(9,2)等8組可能。直接驗(yàn)算,可知此數(shù)為7744=88。例7：求滿足下列條件的所有自然數(shù)：(1) 它是四位數(shù)。(2) 被22除余數(shù)為5。(3) 它是完全平方數(shù)。解：設(shè),其中n,N為自然數(shù),可知N為奇數(shù)。11|N-4或11|N+4或k=1k=2k=3k=4k=5所以此自然數(shù)為1369,2601,3481,5329,6561,9025。例8：甲、乙兩人合養(yǎng)了n頭羊，而每頭羊的賣價(jià)又恰為n元，全部賣完后，兩人分錢方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此輪流，拿到最后，剩下不足十元，輪到乙拿去。為了平均分配，甲應(yīng)該補(bǔ)給乙多少元（第2屆“祖沖之杯”初中數(shù)學(xué)邀請賽試題）？解

12、：n頭羊的總價(jià)為元，由題意知元中含有奇數(shù)個(gè)10元，即完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)。如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個(gè)位數(shù)字一定是6。所以，的末位數(shù)字為6，即乙最后拿的是6元，從而為平均分配，甲應(yīng)補(bǔ)給乙2元。例9：矩形四邊的長度都是小于10的整數(shù)（單位：公分），這四個(gè)長度數(shù)可構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)的千位數(shù)字與百位數(shù)字相同，并且這四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)，求這個(gè)矩形的面積（1986年縉云杯初二數(shù)學(xué)競賽題）。解：設(shè)矩形的邊長為x,y,則四位數(shù)N是完全平方數(shù)，11為質(zhì)數(shù)x+y能被11整除。又,得x+y=11。二二9x+1是一個(gè)完全平方數(shù)，而，驗(yàn)算知x=7滿足條件。又由x+y=11得。例10：求一個(gè)四位數(shù)，使它等于它的四個(gè)數(shù)字和的四次方，并證明此數(shù)是唯一的。解：設(shè)符合題意的四位數(shù)為，貝打二為五位數(shù)，為三位數(shù)，二。經(jīng)計(jì)算得，其中符合題意的只有2401一個(gè)。例11:求自然數(shù)n,使的值是由數(shù)字0,234,4,7,8,8,9組成。解：顯然，。為了便于估計(jì)，我們把的變化范圍放大到，于是，即。T,