高等數(shù)學(xué)圖形演示系統(tǒng)(4)空間解析

1、1 空間直角坐標(biāo)系 2 兩矢量和在軸上的投影3 矢量積的分配律的證明 4 混合積的幾何意義 5 一般柱面 F(x,y)=0 6 一般柱面 F(y,z)=0 7 橢圓柱面 8 雙曲柱面 9 拋物柱面 10 旋轉(zhuǎn)面的方程11 雙葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 12 單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面 13 旋轉(zhuǎn)錐面 14 旋轉(zhuǎn)拋物面15 環(huán)面 16 橢球面 17 橢圓拋物面 18 雙曲拋物面 19 雙曲面的漸近錐面 20 單葉雙曲面是直紋面 21 雙曲拋物面是直紋面 22 一般錐面23 空間曲線圓柱螺線 24 空間曲線在坐標(biāo)面上的投影25 空間曲線作為投影柱面的交線(1)26 空間曲線作為投影柱面的交線(2)27 作出平面y=0 ,

2、z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所圍成的立體圖形 28圖形所圍立體作出曲面0, 0, 0,222222zyxazxyx，a29 形在第一卦限所圍立體圖平面 azyx,az,ay,ax30. 1 1 2222所圍立體圖形和 作出曲面zyxyxz八個卦限八個卦限zyx01. 八個卦限八個卦限zyx0. 1. 八個卦限八個卦限zyx0MxyNz(x,y,z)M (x,y,z)點的坐標(biāo)點的坐標(biāo). 1. 0zyx0MxyNz(x,y,z)(x,y,z)坐標(biāo)和點坐標(biāo)和點 M1. .0zyx0NM點到坐標(biāo)面的距離點到坐標(biāo)面的距離M點到原點的距離點到原點的距離M點到坐標(biāo)軸的

3、距離點到坐標(biāo)軸的距離PQ到到z軸軸:221yxd 到到x軸軸:到到y(tǒng)軸軸:222yzd 223zxd M(x,y,z)d1d2d3.1. .x0zyM點的對稱點點的對稱點關(guān)于關(guān)于xoy面面:(x,y,z) (x,y,-z)關(guān)于關(guān)于x軸軸:(x,y,z) (x,-y,-z)Q0關(guān)于原點關(guān)于原點:(x,y,z) (-x,-y,-z)1. .M(x,y,z)xRP(x,y,-z)(x,-y,-z)(-x,-y,-z)uABc兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和A B c 2. 兩矢量和在軸上的投影AcuA B c BCAAC jPrCBBC jPrBAAB jPrCA

4、CBBA ACBCAB jPr jPr jPr .兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和兩矢量的和在軸上的投影等于投影的和2. 兩矢量和在軸上的投影引理引理 caca1a將矢量將矢量a一投一轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)一投一轉(zhuǎn)（轉(zhuǎn)900），），證明證明 sin| a引入引入 證畢證畢(a+b) c=(a c)+(b c)2cos(| a0ca c03. : 兩矢方向兩矢方向: 一致一致；a2|a2|= |a1|a2得得a2(a+b) c=(a c)+(b c)c0ca baa+b1b11ba 0cb cacac )(| 0cbcbc )(|0cbacbac )()(|00)(cba (a+b) ca c由矢量和的平行四

5、邊形法則，由矢量和的平行四邊形法則，1a11ba 1a1b得證得證c03. : .b c將平行四邊形一投一轉(zhuǎn)將平行四邊形一投一轉(zhuǎn)(a+b) c=(a c)+(b c)bc a baS=|a b| h| | abc|jPr| cbaba h S V 4. 混合積的幾何意義|cba h ac a bb4. 混合積的幾何意義.| | abc|jPr| cbaba h S V |cba h ac a bb4. 混合積的幾何意義.其混合積其混合積 abc = 0| | abc|jPr| cbaba h S V |cba 三矢三矢 a, b, c共面共面因此，因此，xzy0母線母線F( x,y )=0z

6、= 0準(zhǔn)線準(zhǔn)線 (不含不含z)M(x,y,z)N (x, y, 0)S曲面曲面S上每一點都滿足方程；上每一點都滿足方程；曲面曲面S外的每一點都不滿足方程外的每一點都不滿足方程點點N滿足方程，故滿足方程，故點點M滿足方程滿足方程5. 一般母線母線準(zhǔn)線準(zhǔn)線(不含不含x)F( y, z )=0 x = 0 xzy06. 一般12222 byaxabzxyo7. 橢圓zxy = 0y12222 bzaxo8. 雙曲pxy22 zxyo9. 拋物曲線曲線 C 00),(xzyfCy zo繞繞 z軸軸10. 旋轉(zhuǎn)的方程曲線曲線 C 00),(xzyfxCy zo繞繞 z軸軸.10. 旋轉(zhuǎn)的方程曲線曲線 C

7、 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SCSMN), 0(11zy zz 1zPMPy |11y1zy zo繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)10. 旋轉(zhuǎn)的方程.x S曲線曲線 C 00),(xzyf旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)一周得旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面 SxCSMN), 0(11zyzz 1zPMPy |11y1z0),( 22 zyxfS：.繞繞 z軸軸.22yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f (y1, z1)=0f (y1, z1)=010. 旋轉(zhuǎn)的方程.y zo Sx zbyax 雙曲線雙曲線0y11. 繞繞 x 軸一周軸一周x zbyax

8、 雙曲線雙曲線0zy繞繞 x 軸一周軸一周11.11. x0zy 得得雙雙葉葉旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面122222 bzyax. zbyax 雙曲線雙曲線11. .繞繞 x 軸一周軸一周axyo12. 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax axyoz上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 12. a.xyoz 得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面得單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面122222 byazx.12. 上題雙曲線上題雙曲線繞繞 y 軸一周軸一周 012222 zbyax 0 0 2222 =z=byax13. 旋轉(zhuǎn)錐面兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周

9、x yo 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周x yoz13. 旋轉(zhuǎn)錐面x yoz 0 0 2222 =z=byax.兩條相交直線兩條相交直線繞繞 x 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)錐面得旋轉(zhuǎn)錐面022222 bzyax.13. 旋轉(zhuǎn)錐面yoz 02 xazy14. 拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周yoxz 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周14. yayxz22 .oxz生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？.14. 02 xazy拋物線拋物線繞繞 z 軸一周軸一周得旋轉(zhuǎn)拋物面得旋轉(zhuǎn)拋物面14. 例例.15.yxorR)0()222 rR

10、ryRx（ 圓圓繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面15.z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面yxo.)0()222 rRryRx（ 圓圓15.z繞繞 y軸軸 旋轉(zhuǎn)所成曲面旋轉(zhuǎn)所成曲面22222)(ryRzx 環(huán)面方程環(huán)面方程.生活中見過這個曲面嗎？生活中見過這個曲面嗎？yxo)(4)( 222222222zxRrRzyx 或或.)0()222 rRryRx（ 圓圓.15.1 222222 czbyax截痕法截痕法用用z = h截曲面截曲面用用y = m截曲面截曲面用用x = n截曲面截曲面abcyx zo16. xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用

11、用x = c截曲面截曲面17. zqypx22222 xzy0截痕法截痕法用用z = a截曲面截曲面用用y = b截曲面截曲面用用x = c截曲面截曲面17. .zqypx22222 用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面xzy0zqypx 2222截痕法截痕法 （馬鞍面）（馬鞍面）18. 雙曲拋物面 截痕法截痕法.18. 雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y = 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222截痕法截痕法.18. 雙曲拋物面 （馬鞍面）（馬鞍面）xzy0用用z = a截曲面截曲面用用y

12、= 0截曲面截曲面用用x = b截曲面截曲面zqypx 2222 1222222 czbyax1222222 czbyax0222222 czbyax單葉單葉：雙葉雙葉：yx zo 在平面上，雙曲線有漸進線。在平面上，雙曲線有漸進線。 相仿，相仿，單葉雙曲面單葉雙曲面和和雙葉雙曲面雙葉雙曲面有有漸進錐面漸進錐面。 用用z=z=h h去截它們，當(dāng)去截它們，當(dāng)| |h h| |無限增大時，無限增大時，雙曲面雙曲面的截口橢圓與它的的截口橢圓與它的漸進錐面漸進錐面 的截口橢圓任意接近，即：的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。雙曲面和錐面任意接近。漸進錐面：漸進錐面：19. 錐 1222222

13、 czbyax 例如，儲水塔、例如，儲水塔、電視塔等建筑都電視塔等建筑都有用這種結(jié)構(gòu)的。有用這種結(jié)構(gòu)的。.20. zbyax 222221. n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0的圖形是以原點為頂點的錐面；的圖形是以原點為頂點的錐面；方程方程 F(x,y,z)= 0是是 n次齊次的：次齊次的： ).,(),( zyxFttztytxFn 若若準(zhǔn)線準(zhǔn)線頂點頂點n次齊次方程次齊次方程F(x,y,z)= 0.反之，以原點為頂點的錐面的方程是反之，以原點為頂點的錐面的方程是錐面是直紋面錐面是直紋面x0z yt是任意數(shù)是任意數(shù)22. 一般錐23. 圓柱螺線P同時又在平行于同時又在平行于z軸的方向

14、軸的方向等速地上升。等速地上升。其軌跡就是圓柱螺線。其軌跡就是圓柱螺線。 圓柱面圓柱面222ayx yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺線從點螺線從點P Q當(dāng)當(dāng) t 從從 0 2 ，bPQ 2叫螺距叫螺距N.Q（移動及轉(zhuǎn)動都是等速進（移動及轉(zhuǎn)動都是等速進行，所以行，所以z與與t t成正比。成正比。) )點點P在圓柱面上等速地繞在圓柱面上等速地繞z軸旋轉(zhuǎn)；軸旋轉(zhuǎn)； 。平平面面的的投投影影在在的的交交線線及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 22222 yxzyxz1. 11 22zyx解解yxzo得得交線交線L：24. 由由z =0.

15、21 11 22zyxyxzo解解122 yxL 所求投影曲線為所求投影曲線為122 yx 01 22zyx.得得交線交線L：24. .投影柱面投影柱面 22222 yxzyxz由由。平平面面的的投投影影在在的的交交線線及及求求曲曲面面 2 2222xoyLyxzyxz 1283442 2222xzyzxzy將將其其換換成成L:xz y0( )投投影影柱柱面面的的交交線線25. 消去消去zy2 = 4x y2 = 4x 1283442 2222xzyzxzy將將其其換換成成L:xz y0( )投投影影柱柱面面的的交交線線 消去消去z(消去消去x )25. 25. .y2+(z 2)2 = 4y

16、2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2 = 4x 1283442 2222xzyzxzy將將其其換換成成L：L:xz y0L轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，有下頁圖( )投投影影柱柱面面的的交交線線轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系，有下頁圖. 消去消去z(消去消去x ).y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x 25. 25. L：Lxz y0y2+(z 2)2 = 4y2 = 4x (消去消去z)y 2 + (z 2)2 = 4 (消去消去x)y2 = 4x 26. 666x+y+z=63x+y=6227. 作圖練習(xí)x0z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y

17、=12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖666x+y+z=63x+y=62.x0z y 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí)3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí)3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z y42 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x

18、+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí)42x+y+z=6.x0z y666 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí)42.x0z y666 平面平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和和x+y+z =6所圍成的立體圖所圍成的立體圖27. 27. 作圖練習(xí)作圖練習(xí)aa 所所圍圍立立體體圖圖作作出出曲曲面面 z ,y,x,azxayx， xz y028. 作圖練習(xí)z = 0y = 0 x = 0aaxz y0 所所圍圍立立體體圖圖作作出出曲曲面面 z ,y,x,azxayx， 28. 作圖練習(xí).aaxz y0 所所圍圍立立體體圖圖作作出出曲曲面面 z ,y,x,azxayx， 28. 作圖練習(xí).a 所所圍圍立立體體圖圖形形和和作作出出曲曲面面 zyxyx