平面向量知識點(diǎn)總結(jié)(精華)

1、必修4平面向量知識點(diǎn)小結(jié) 一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知A(1,2) , B(4,2),則把向量跑按向量a(1,3)平移后得到的向量是. 結(jié)果：(3,0) r2 .零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0,規(guī)定：零向量的 方向是任意的；3 .單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線uuu的單位向量是4B-)； |AB|4 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向 量有傳遞性；5 .平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相

2、反的非零向量a、b叫 做平行向量，記作：a / b,規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！(因為有0)；三點(diǎn)A、B、C共線器戰(zhàn)共線.6 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量 記作a.舉例2如下列命題：(1)若iaiibi,則a b.(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同 .(3)若避院，則ABCD是平行四邊形.(4)若abcd是平行四邊形，則AB DUU.(5)若a b, b c,則 a

3、c.(6)若ab,則a/c.其中正確的是 .結(jié)果：(4) (5)二、向量的表示方法1 .幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如AB,注意起點(diǎn)在前，終 點(diǎn)在后；2 .符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如a, b, c等；3 .坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x軸、y軸方向相同 的兩個單位向量r,r為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為 ar xr yr (x, y),稱(x, y)為向量5的坐標(biāo)，a (x, y)叫做向量3的坐標(biāo)表下.結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo) 相同.三、平面向量的基本定理定理 設(shè)e省同一平面內(nèi)的一組基底向量，a是該平面內(nèi)任一向量， 則存在

4、唯一實數(shù)對(i, 2),使a z 2鼠(1)定理核心：a雙焉；(2)從左向右看，是對向量a的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對向量a的合成.(3)向量的正交分解：當(dāng) 您時，就說a4啟為對向量：的正交分解.結(jié)果:Br(3,5) ,02 (6,10)舉例 3(1)若 a(1,1), b(i, i), c( 1,2),則 c.(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是ArrrrCr.0 (0,0) ,e2 (1, 2) B.斗(1,2) )02 (5,7) C. eD. e (2, 3),(3)已知AXBE分別是aabc的邊bc , AC上的中線，且器a , BE b,則能可用向量a*,表不為 .

5、結(jié)果：-fa gbr.33(4)已知為C中，點(diǎn)D在BC邊上，且那2DUr , CD rABr sA?，則r s的值是 .結(jié)果：0.四、實數(shù)與向量的積實數(shù) 與向量a的積是一個向量，記作 a,它的長度和方向規(guī)定如 下：(1)模： ai 面；(2)方向：當(dāng) o時，a的方向與a的方向相同，當(dāng) o時，a的 方向與a的方向相反，當(dāng) o時，a 0,、匚r在息： a 0.五、平面向量的數(shù)量積1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a,固作OA，OB b,則把 AOB (0)稱為向量a , b的夾角.當(dāng) 0時，a, b同向；當(dāng) 時，a, b反向；當(dāng) 時，a, b垂直.2 .平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a, br

6、,它們的夾角為， 我們把數(shù)量山而cos叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：aJ, 即 a b | ar | |b | cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量.舉例4(1)BC中，|器|3, |器|4, |BC|5,則器鴕. 結(jié)果：9.(2)已知 a i,2 , b 0,2 ,c a kb / a b, c 與 dr 的夾角為，貝卜 .結(jié)果：1.(3)已知山2,由5, a tr 3,則a bi. 結(jié)果：/.(4)已知a,b是兩個非零向量，且由ibiia bri,則a與4的夾角為. 結(jié)果：300 .3 .向量b在向量a上的投影：ibicos ,它是

7、一個實數(shù)，但不一定大于 0.舉例5 已知iai 3, ibi 5,且ab 12 ,則向量a在向量2上的投影為. 結(jié)果：展 54 . a b的幾何意義：數(shù)量積a b等于a的模iai與br在a上的投影的積.5 .向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個非零向量，b,其夾角為，則：(1) a b a b 0；當(dāng)a、b同向時,a b & ibi,特別地，a2 a a向2山舟；ab面ibi是a、b同向的充要分條件；當(dāng)a、&反向時，a b iaiibi, a b 島也是a、b反向的充要分條 件；當(dāng) 為銳角時，ab 0,且a、&不同向，ab 0是 為銳角的必要不 充分條件；rrr當(dāng) 為鈍角時，a b 0,且a、b不反向；a

8、 b 0是 為鈍角的必要不 充分條件.r r(3)非零向量a, b夾角 的計算公式：cos；a b iaiibi .iaiibi舉例6(1)已知a( ,2), b(3,2),如果a與I的夾角為銳角，則 的取值范圍是. 結(jié)果： 或。且打(2)已知aofq的面積為S,且OUFQ 1 ,若2 S ,則OU,用夾角 的 取值范圍是. 結(jié)果：-，-;4 3(3)已知 a (cosRSinx) b (cosy,siny) 且滿足|ka tr | . 3 1a kb)| (其中k。).用k表示a 4 ；求a b的最小值，并求此時a與b的夾角 的大小. 結(jié)果：二空里。)；最小值為葭600 .六、向量的運(yùn)算1

9、.幾何運(yùn)算(1)向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運(yùn)算形式：若AB a, BC b,則向量AC叫做a與b的和，即rrULUDuurLULTabABBCAC；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.(2)向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式：若AB a, AC b,則a b AB AC CA,即由減向量的終 點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).作圖：略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例 7(1)化簡： Ar BUr CDr ; ALB Ar DLL ；uur uur uur uuriwuuU uurr(AB CD) (AC BD).2口果： AD ；的 CB ；。；(2)若正方形

10、ABCD的邊長為1 , ABU , BCU , AC C ,則4b C| 一 結(jié)果：2立；(3)若。是BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足潴OCr靖吃2OA ,則MBC的 形狀為.結(jié)果：直角三角形；(4)若D為BC的邊BC的中點(diǎn)，AABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足 uuuPuA BP CP。，設(shè)胃，則的值為 結(jié)果：2;(5)若點(diǎn)0是3C的外心，且Or OB CO。，則ZXABC的內(nèi)角C為 . 結(jié)果：12。.r2 .坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a (xL , b (X2,y2),則(1)向量的加減法運(yùn)算：1 b (x1 X2,y1 y2),ab (x1 X2,y1 v。.舉例 8(1)已知點(diǎn) A(2,3) , B(5,4)

11、 , C(7,1。)， 若晶AB AC( R), 則當(dāng)時，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上. 結(jié)果：g；(2) 已矢口 A(2,3) , B(1,4),. 1 AB (sin x,cos y) , x, y ( ,) ?貝f x y . 2吉 果：*3；(3)已知作用在點(diǎn)A(1,1)的三個力uu (3,4) , Fr (2, 5) , Fu (3,1), 則合力uu F1 Fr Fu的終點(diǎn)坐標(biāo)是結(jié)果：(9,1). 實數(shù)與向量的積：a(xi,yi) ( X1, yi).(3)若 A(x,yi), B(&,y2),則 AB (X2 Xi,y2 yi),即一個向量的坐標(biāo)等 于表示這個向量的有向線段的終

12、點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)舉例9設(shè)A(2,3) , B( i,5),且吃1AB , AS 3匿，則C,D的坐標(biāo)分別是 3. 結(jié)果：(之),(7,9). 3(4)平面向量數(shù)量積：a b XiX2 yiy2.舉例I0已知向量 a (sin x,cosx) ) b (sinx,sinx) ) c ( I,0).(i)若x 求向量a、c的夾角； 3(2)若x ,函數(shù)f(x) abr的最大值為，求 的值.結(jié)果：(i) I50。；5 2) 2 或 2 I.(5)向量的模：a2由2 X2 y2由pv.舉例ii已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么la 3bi=. 結(jié)果：m.(6)兩點(diǎn)間的距離：若A(4yi

13、), B(X2，y2),則|AB|而2一XT一后一行.舉例I2如圖，在平面斜坐標(biāo)系XOy中，xOy 60。，平我上任一點(diǎn)P關(guān) 于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若那Xei y52,其中一分%b與X軸；y軸同 方向的單于 1位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(xy).(I )若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2, 2),求P到O的距離|PO| ；(2)求以。為圓心，I為半徑的圓在斜坐標(biāo)系XOy中的方程.結(jié)果：(I) 2； (2) X2 y2 Xy I 0.七、向量的運(yùn)算律1 .交換律：a b br a,(由(總 ab ba；2 .結(jié)合律：ab c(a ir)c,arbc a(bC),(aq (a b) a(b)；3 .分配律

14、：()aa a,(ab) ab, (abKac bc.舉例I3給出下列命題： a (b c) a 4 a c ；a d b g b) c ；r r 2 r 2 r r r 2(a b)2 |a|2 2|a|b| |b|2 ；r r r若a b 0,則a 0或b 0 ；若a b c b則a c ；出a2 ； d b)2 a2 b2 ； g b)2 a2 2ab 立其中正確的是一結(jié)果：.說明：(I)向量運(yùn)算和實數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個 向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一 個向量，切記兩向量不能相

15、除(相約);(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即a(rc)(N)c,為什么?八、向量平行(共線)的充要條件r rr rr r 2 r r 2a/ba b(a b)(| a | b |)x1y2y1x20 .舉例 14 (1)若向量 a (x,1), b (4,x),當(dāng) x時，士與b共線且方向相同.結(jié)果：2.(2)已知 a(1,1), b(4,x), u a 2J, v 2a J，且。/V,則x 結(jié)果：4.(3)設(shè) PA(k，12) , PB (4,5) , PC (10,k),則 k 時，A,B,C 共線.結(jié)果：2或11.r r rrr rr L0.abab 0|a b | |a b |X1X

16、2y y2uuuuuruuuuuir特別地AB uuuAC uurAB uuuAC uuu|AB|AC |AB|AC|舉例15 (1)已知OA(1,2),uuurOB (3,m)，若uu uurOA OB )燦 m九、向量垂直的充要條件結(jié)果:(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB , B 90 ,則點(diǎn) b的坐標(biāo)是.結(jié)果：(1,3)或(3, 1);(3)已知n (a,b)向量n m,且向面，則m的坐標(biāo)是結(jié)果：(b, a)或(b, a) .十、線段的定比分點(diǎn)1 .定義：設(shè)點(diǎn)P是直線PF2上異于P、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個實 數(shù)，使PPrPP2,則實數(shù) 叫做點(diǎn)p分有向線段器u

17、所成的比，p點(diǎn)叫做有向線段 般的以定比為 的定比分點(diǎn).2 .的符號與分點(diǎn)p的位置之間的關(guān)系(1)p內(nèi)分線段PuU,即點(diǎn)p在線段PF2上 。；(2) P外分線段能；時，點(diǎn)P在線段PP2的延長線上1 ,點(diǎn)P在線段P1P2的反向延長線上10.注：若點(diǎn)P分有向線段PP：所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段PzUr所成的 比為L舉例16若點(diǎn)p分賭所成的比為3,則a分BP所成的比為4 /幺士里7巳口禾. -.33.線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)P(Xi，x), P2(x2,y2),點(diǎn)P(x,y)分有向線段胃Pu所成的比為，則定比分XiX2點(diǎn)坐標(biāo)公式為1 yi(V21).Xi X2X ,特別地，當(dāng) 1時，就得到線段P1

18、P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式 2y j.2說明：(1)在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時，應(yīng)明確(內(nèi))，(為)、( 的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo).(2)在具體計算時應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和 終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對應(yīng)的定比.舉例17 (1)若M( 3, 2) N(6, 1)且Mu1揣則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.3結(jié)果：(6, 7)；3(2)已知A(a,0) , B(3,2 a),直線y 1ax與線段AB交于M ,且1AMr 2滯，則a .結(jié)果：2或4.十一、平移公式如果點(diǎn)P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y),則x x h,；曲線f(x,y)。按 y y k.向量(h,k)平移得曲線f(

19、x h,y k) 0.說明：(1)函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？ (2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了??！舉例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1,2),則按向量a把點(diǎn)(7,2)平移到點(diǎn). 結(jié)果：(8,3);(2)函數(shù)y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數(shù)的解析式是y cos2x 1 , 貝！J a. 結(jié)果： (4,1).十二、向量中一些常用的結(jié)論1 .一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；2 .模的性質(zhì)：向由ia bdi ib|.(1)右邊等號成立條件：a、b同向或a、b中有0 1a biia1 ； 左邊等號成立條件：a、b反向或a、b中有0 ia biiai向； - -r - r - r - r(3)當(dāng) a、b不共線ia