概率論與數(shù)理統(tǒng)計完整公式以及各知識點梳理

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計完整版公式第1章隨機事件及其概率(1)排列組合公式Pmn=m.從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。(m-n)!Cm=m從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。n!(m-n)!(2)加法和乘法原理加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n某件事由兩種方法來完成，A種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理(兩個步驟分別不能完成這件事)：mxn某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由mxn種方法來完成。(3)一些常見排列重復排列和非重復排列(有序)對立事件(至少有一個)順序問題(

2、4)隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件卜XJ以重復進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。(5)基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用色來表示。基本事件的全體，稱為試驗的樣本空間，用G表示。一個事件就是由C中的部分點(基本事件0)組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,表示事件，它們是C的子集。為必

3、然事件，？為/、可能事件。不可能事件(？)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(Q)的概率為1,而概率為1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的關(guān)系與運算關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必啟事件B發(fā)生)：AuB如果同時有A二B,BnA,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B,A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AUB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：A口B,或者ABAnB=?,則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互小相容

4、或者互斥?；臼录腔バ∠嗳莸摹Ｏ?A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為Ao它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)oOoo_AAi=UAi德摩根率：im也aUb=a,b,AB=AUb(7)概率的公理化定義設(shè)Q為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù)P(A),若滿足卜列三個條件：10WP(A)W1,2P(Q)=13對于兩兩互不才目容的事件A,A2,有0,則稱P(AB)為事件A發(fā)生條件下，事P(A)件B發(fā)生的條件概率，記為P(B/A)=P(A

5、B)。P(A)條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Q/B)=1=P(B/A)=1-P(B/A)(13)乘法公式乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)更一般地，對事件A,A2,A,若P(A1A2A1)0,則有P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2.An_1)/o(14)獨立性兩個事件的獨立性設(shè)事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B),則稱事件A、B是相互獨立的。若事件A、B相互獨立，且P(A)0,則有P(B|A)、2=P(A)P(B)=P(B)P(A)P(A)若事件A、B相互獨立，則可得到A與B、A與B、A與B也都相互

6、獨立。必然事件C和不可能事件？與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么AB、C相互獨立。對于n個事件類似。(15)全概公式設(shè)事件B1，B2,，Bn滿足1。B1,B2,，Bn相容，P(Bi)0(i=1,2,，n),nA匚UBi2日,則有P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)。(16)貝葉斯公式設(shè)事件B1,B2,，Bn及A滿足1B1,B2,，Bn兩兩

7、互/、相容,P(Bi)0,i=1,2,，n,nAuUBi29,P(A)0,則D/a/A、P(Bi)P(A/Bi)P(Bi/A)=x,i=1,2,n。PP(Bj)P(A/Bj)j3此公式即為貝葉斯公式。P(Bi),(i=1,2,，n),通常叫先驗概率。P(Bj/A),(i=1,2,，n),通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。(17)伯努禾IJ概型我們作了n次試驗，且滿足每次試驗只用兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；n次試驗是重復進行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗A發(fā)生與否與其他次試驗A發(fā)生與否是互/、影響的。這種試驗稱為伯努

8、利概型，或稱為n重伯努利試驗。用p表示每次試驗A發(fā)生的概率，則A發(fā)生的概率為1-p=q,用Pn(k)表示n重伯努利試驗中A出現(xiàn)k(0wk*n)次的概率，八、_kknJs一一Pn(k)=Cnpq,k=0,1,2,，n。第二章隨機變量及其分布(1)離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為X(k=1,2,)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=Xk)=pk,k=1,2,，則稱上式為離散型隨機變量X的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：X|x1,x2，Xk,P(X=xk)p1,p2,，pk,。顯然分布律應滿足卜列條件：Q0Zpk=1(1)pk*,k=1,2,，k4。(

9、2)連續(xù)型隨機變量的分布密度設(shè)F(X)是隨機變量X的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)f(x),對任意實數(shù)X,有XF(x)=f(x)dx則稱X為連續(xù)型隨機變量。f(x)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有卜面4個性質(zhì)：1。 f(x)之01 O第乂心=12 7O(3)離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系P(X=x)%P(xXMx+dx)也f(x)dx積分元f(x)dx在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與P(X-xk)一pk在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。(4)分布函數(shù)設(shè)X為隨機變量，x是任意實數(shù)，則函數(shù)F(x)=P(Xx)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。P(aXWb)=F

10、(b)-F(a)可以彳#到X落入?yún)^(qū)間(a,b的概率。分布函數(shù)F(x)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間(-8,x內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1 0F(x)1,_oox+g;2 F(x)是單調(diào)/、減的函數(shù)，即xix2時，有F(xi)F(x2)；3 。F(-)=limF(x)=0,F()=limF(x)=1；x-bc4F(x+0)=F(x),即F(x)是右連續(xù)的；5。P(X=x)=F(x)-F(x-0)。對于離散型隨機變量，F(xiàn)(x)=pk；xkxx對于連續(xù)型隨機變量，F(xiàn)(x)=jf(x)dx。-nd八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在n重貝努里試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p。事件A

11、發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為X,則X可能取值為0,1,2，n。_kkn_kP(X=k)=Pn(k)=Cnpq,其中q=1-p,0p0,k=0,1,2，k!則稱隨機變量X服從參數(shù)為九的泊松分布，記為Xn(九)或者P(八)。泊松分布為二項分布的極限分布(np=入，n-8)。超幾何分布D/Y-C-CM*CNMk=0,1,2。CN，l=min(M,n)隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布P(X=k)=qk,p,k=1,2,3,，其中P0,q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量X的值只落在a,b內(nèi)，其密度函數(shù)f(x)在a,b，一

12、1上為常數(shù)，即b-a-1-axbf(x)=ba,其他，P,則稱隨機變量X在a,b上服從均勻分布，記為XU(a,b)。分布函數(shù)為00,xa,x-axbbaaxb。當awxyxzwb時，X落在區(qū)間(xi，x2)內(nèi)的概率為_x2一x1P(x1Xx2)-21。b-a指數(shù)分布e八eT,x至0,f(x)=40,x0F(x)H0,L5x0。記住積分公式：-boxnedx=n!0正態(tài)分布設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為12f(x)=-e2仃，_gx0為常數(shù)，則稱隨機變量X服從參數(shù)為N、仃2、的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為XN(N,仃)of(x)具有如下性質(zhì)：1 。f(x)的圖形是關(guān)于x=N對稱的；2 當xR

13、時，f(R)=為最大值；2M2g若XN(1戶她發(fā)的分布函數(shù)為F(x)=-fe纖dtv2g二oo參數(shù)N0、仃-1時的正態(tài)分布稱為標準止態(tài)分布，記為XN(0,1)其密度函數(shù)記為中(x)=/e2%2n,-00x十妙，分布函數(shù)為dxt2工1.七(x)-,Je2dtJ2兀_co(x)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。1(-x)=1-(x)且(0)=X女如果XN(N產(chǎn)2),則N(0,1)。D/V乂Vbx23I16/x1一P(x1X三x2)一中|一中I0(6)分位數(shù)下分位表：P(XWNq)=o(;上分位表：P(XaNu)=o(。(7)函數(shù)分布離散型已知X的分布列為XX1,x2,，xn,P(X=x

14、Y=g(X)EY(i)p1,p2,，pn,向分布列(y=g(xj互不相等)如下：g(x1),g(x2),，g(xn),P(Y=yi)若有某些g(xj相等,“應將對應源,pi相加作為g(xi)的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)=P(g(X)0(i,j=1,2,)；(21二pj=1.連續(xù)型對于二維隨機向量七=(X,Y),如果存在非負函數(shù)f(x,y)(-ox+=c,-oy收),使對任fb-個其鄰邊分別平行丁坐標軸的矩形區(qū)域D,即D=(X,Y)axb,cy0;(2)2M(x，y)dxdy=1.(2)二維隨機變量的本質(zhì)qX=x,Y=y)=4X=xCY=y)(3)聯(lián)合分布

15、函數(shù)設(shè)(X,Y)為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)F(x,y)=PXMx,YMy稱為二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件(61,切2)|-00X(61)x,-Y(o2)y的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：(1)0F(x,y)xi時,有F(x2,y)F(xi,y);當y2yi時,有F(x,y2)F(x,y1);(3) F(x,y)分別對x和y是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4) Ff=F(-oo,y)=F(x,-)=0,F(,y)

16、=1.(5)對于x1x2,y1y2,F(x2,Y2)-F(x2,Y1)-F(x1,Y2)+F(x1,1)0.(4)離散型與連續(xù)型的關(guān)系P(X=x,Y=y)定P(xXEx+dx,yYEy+dy)七f(x,y)dxdy(5)邊緣分布離散型X的邊緣分布為Pi.=P(X=Xi)=Pj(i,j=1,2,)；Y的邊緣分布為Pd=P(Y=yj)=Pj(i,j=1,2,)。連續(xù)型X的邊緣分布.密度為-bofx(x)=ff(x,y)dy；Y的邊緣分布密度為*bofY(y)=f(x,y)dx(6)條件分布離散型在已知X=x的條件下，Y取值的條件分布為PjP(Y=yjX=xi)=；Pi.在已知Y=y的條件下，X取值

17、的條件分布為PjP(X=x|Y=yj)=P連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為f(x,y)f(x|y)=-L2Z;fY(y)在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為f(y|x)=3fX(x)(7)獨立性一般型F(X,丫尸F(xiàn)x(x)FY(y)離散型Pj=P4后零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：可分離交量正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布_1_1|42Rx44)(y_-f(x,y)=Ie與31。廠gV2兀仃1仃2Ji-P2P=0隨機變量的函數(shù)若X1,X2，。Xm+1,X4目互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h(X,X2,淘和g(Xm+1,-Xn)相互獨立。特例

18、：若X與丫獨立，則：h(X)和g(Y)獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y-2獨立。(8)二維均勻分布設(shè)隨機向量(X,Y)的分布密度函數(shù)為(x,y)-D1sDf(x,y)=，0,其他其中Sd為區(qū)域D的面積，則稱(X，Y)服從D上的均勻分布,U(D)。記為(X,Y)(9)二維正態(tài)分布設(shè)隨機向量(X，Y)的分布密度函數(shù)為_12心書)(丫辿)Jy.12(1_p)|1aC1Q21GJf(x,y)=e人，2g6q1-P其中方*2。1022A0,|P|1是5個參數(shù)，則稱(X，Y)服從二維止態(tài)分布，記為(X，Y)N(N1,匕仃12,仃2,P).由邊緣密度的計算公式，可以推出二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布

19、仍為正態(tài)分布，即XNI(出產(chǎn);工丫N(匕仃2).22但是右XN(匕,。1),YNIH。？)，(X,Y)未必是二維正態(tài)分布。(10)函數(shù)分布Z=X+Y根據(jù)定義計算：FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz)-bo對于連續(xù)型，fz(z)=Jf(x,zx)dx兩個獨立的正態(tài)分布的和仍為正態(tài)分布(吃+也產(chǎn)12+。2)。n個相互獨立的正態(tài)分布的線性組合，仍服從正態(tài)分布。=，仃2=G2町28Z=max,min(Xl,X2，Xn)若Xi,X2Xn相互獨立，其分布函數(shù)分別為Fx1(x),Fx2(x)Fxn(x),則Z=max,min(Xi,X2,Xn)的分布函數(shù)為：Fmax(x)=Fx(x).Fx2(x)Fx(x

20、)Fmin(x)=1-1-Fxi(x)41-Fx2(x)1-Fxn(x)設(shè)n個隨機變量X1,X2，Xn相互獨立，且服從標準正態(tài)分布，可以證明它們的平方和n._2W=Xii工的分布密度為nuu _0,u : 0.一.1f(u)=220，我們稱隨機變量W服從自由度為n的X2分布，記為W?2(n),其中所謂自由度是指獨立正態(tài)隨機變量的個數(shù)，它是隨機變量分布中的一個重要參數(shù)。厘2分布滿足可加性：設(shè)Y-2(n)則kZ=Y72(+，+n)iWt分布設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量，且XN(0,1),Y2(n),可以證明函數(shù)的概率密度為5+1；n書一亍rt2f、f(t)=-/1+(-t+=c).n-lnVn

21、jVnnT-金0我們稱隨機變量T服從自由度為n的t分布，記為Tt(n)F分布t1_;.(n)-t.(n)設(shè)X(n1),Y？2(1)，且X與丫獨立，可以證明X/n1F=1的概率密度函數(shù)為n1 n2n12 人十 y,y0n2 JY/n212Jfn1、24二叱后佟#)yJ12,八2)00,y0我們稱隨機變量F服從第一個自由度為ni,第二個自由度為n2的F分布，記為Ff(ni,n2).Fi_-.(ni,n2)=1F(n2,ni)第四章隨機變量的數(shù)字特征(1)離散型連續(xù)型一維隨機變量的數(shù)字特征期望期望就是平均值設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為P(X=xk)=pk,k=1,2,n,nE(X)=XkPkk=

22、1(要求絕對收斂)設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(X),-beE(X)=jXf(X)dX(要求絕對收斂)函數(shù)的期望Y=g(X)nE(Y)=Zg(Xk)pkk=1Y=g(X)-beE(Y)=g(x)f(xdx力差D(X)=EX-E(X)2,標準差o(X)=，D(X),D(X)=Xk-E(X)2Pkk-beD(X)=Jx-E(X2一()2f(x)dx矩對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的k次哥的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為Vk,即Vk=E(Xk)=XikPi,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X與E(X)差的k次哥的數(shù)學期望為X的k階中心矩，記為以卜，k7即/=E(X-E(X)k.=2(Xi-E

23、(X)kPi,k=1,2,.對于正整數(shù)k,稱隨機變量X的k次哥的數(shù)學期望為X的k階原點矩，記為Vk,即Vkk=E(X)=產(chǎn)k.fxf(x)dx,k=1,2,對于正整數(shù)k,稱隨機變量X與E(X)差的k次哥的數(shù)學期望為X的k階中心矩，記為匕，即匕=E(X-E(X).C(x-E(X)kf(k=1,2,.)kx)dx,切比雪夫不等式設(shè)隨機變量X具有數(shù)學期望E(X)二科，方差D(X)=b2,則對于任意正數(shù),后卜列切比雪夫不等式2P(|X耳之名)M亍切比雪夫不等式給出了在未知X的分布的情況下，對概率P(X叫”)的一種估計，它在理論上啟重要忌義。(2)期望的性質(zhì)(1) E(C尸C(2) E(CX尸CE(X)

24、nn(3) E(X+Y尸E(X)+E(Y),E(GXi)=CiE(Xi)i=y(4) E(XY)=E(X)E(Y)，充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和丫不相關(guān)。(3)力差的性質(zhì)(1) D(C)=0;E(C)=C(2) D(aX)=a2D(X);E(aX)=aE(X)(3) D(aX+b)=a2D(X);E(aX+b)=aE(X)+b(4) D(X)=E(X2)-E2(X)(5) D(XY)=D(X)+D(Y),充分條件：X和Y獨立；充要條件：X和Y不相關(guān)。D(XY)=D(X)+D(Y)2E(X-E(X)(Y-E(Y),無條件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y),無條件成立。(4)常見分布

25、的期望和力差期望力差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二項分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(九)九幾何分布G(p)1p1-p2p超幾何分布H(n,M,N)nMNnM二M，N-1In2)n-2二維隨機變量的數(shù)字特征期望nE(X)=XiPi.i=4nE(Y)=yjP.jw-boE(X)=xfx(x)d-SO-boE(Y)=yyfY(y)dyq函數(shù)的期望EG(X,Y)=Z工G(Xi,yj)pjEG(X,Y)=-bo-boGG(x,y)f(x,y-O0-Q0力差D(X)=為-E(X)2Pi.D(Y)=ZXj-E(Y)2p.j-boD(X)=fx-E。-oO-boD(Y)=fy-E(YJO

26、協(xié)力差對于隨機變量X與Y,稱它們的二階混合中心矩匕1為X與丫的協(xié)力差或相關(guān)矩，記為仃XY或cov(X,Y),即0xy=內(nèi)1=E(XE(X)(YE(Y).與記號仃xy相對應，X與Y的方差D(X)與D(Y)也可分別記為仃與仃。XX7TT相關(guān)系數(shù)對于隨機變量X與Y,如果D(X)0,D(Y)0,則稱仃XYJD(X)JD(Y)為X與丫的相關(guān)系數(shù)，記作PXY(有時可簡記為P)。|P|W1,當|P|=1時，稱X與丫完全相關(guān)：P(X=aY+b)=1“柏羊:正相關(guān)，當P=1時(a。)，兀全相關(guān))負相關(guān),當P=-1時(a0),而當P=0時，稱X與Y不相關(guān)。以卜五個命題是等價的： Pxy=0； cov(X,Y)=0

27、; E(XY尸E(X)E(Y); D(X+Y尸D(X)+D(Y); D(X-Y尸D(X)+D(Y).協(xié)方差矩陣XXXY混合矩仃YXYYJ對于隨機變量X與Y,如果有E(XkYl)存在，則稱之為X與Y的k+l階混合原點矩，記為vkl;k+l階混合中心矩記為:Uki=E(X-E(X)k(Y-E(Y)l.(6)(i)cov(X,Y)=cov(Y,X);協(xié)方(ii)cov(aX,bY)=abcov(X,Y);差的(iii)cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);性質(zhì)(iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).(i)若隨機變量X與丫相互獨立，則PXY=0；反之不真。獨

28、立和不(ii)若(X,Y)N(也，匕，。12,。2,P),相關(guān)則X與丫相互獨立的充要條件是X和Y不相關(guān)。第五章大數(shù)定律和中心極限定理切比雪設(shè)隨機變量X1,X2,相互獨立，均具有有限方差，且被同一定律常數(shù)C所界：D(X)limP1mpcJn特殊情形：若X則上式成為limP,bXi3n*JnyC(i=1,2,)，則對于任意的正數(shù),有n1n、XXiXE(Xi)君=1.ynyJ,X2,具有相同的數(shù)學期望E(Xi)二科，1=1.J伯努利設(shè)科是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在(1)大數(shù)定律XtN大數(shù)定律每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意的正數(shù),有l(wèi)impf|-pe=1.+Un7J伯努利大數(shù)定律說

29、明，當試驗次數(shù)n很大時，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大判別的可能性很小，即口2、limP一一p之名=0.flln口)這就以嚴格的數(shù)學形式描述了頻率的穩(wěn)定性。辛欽大數(shù)定律設(shè)X1,X2,，Xn,(X)二科，則對于任limPf-ZXiN5Uny,是相互獨立同分布的隨機變量序列，且E意的正數(shù)有6=1.J列維林德伯設(shè)隨機變量X1,相同的數(shù)X2,相互獨立，服從同一分布，且具有學期望和方差：(2)中心極限定理_CT2XTN(N,)n格定理,，2E(Xk)=N,D(Xk)=。#0(k=1,2，)，則隨機變量nXXk-nNvJsalYnf-nn。的分布函數(shù)Fn(X)對任意白實數(shù)X,有nn,工Xk-nN,t2-1x

30、7”里屋二膽1后m-瘍皇出.ij此定理也稱為獨立同分布的中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯定理設(shè)隨機變量任意實數(shù)=limPn包Xn為具后參數(shù)n,p(0p1)的一項分布，則對于x,有L7t2Xn-np1xn/0,則-kkk、n_k九A/一Cnp（1p）Te（nT吟.k!其中k=0,1,2,，n,。二項分布的極限分布為泊松分布。第六章樣本及抽樣分布（1）數(shù)理統(tǒng)計的基本概念總體在數(shù)理統(tǒng)計中，常把被考察對象的某一個（或多個）指標的全體稱為總體（或母體）。我們總是把總體看成一個具有分布的隨機變量（或隨機向量）。個體總體中的每一個單元稱為樣品（或個體）。樣本我們把從總體中抽取的部分樣品x1，x2，xn稱為樣本

31、。樣本中所含的樣品數(shù)稱為樣本容量，一般用n表示。在一般情況下，總是把樣本看成是n個相互獨立的且與總體有相同分布的隨機變量，這樣的樣本稱為簡單隨機樣本。在泛指任一次抽取的結(jié)果時，xx2，xn表示n個隨機變量（樣本）；在具體的一次抽取之后，x1,x2，xn表示n個具體的數(shù)值（樣本值）。我們稱之為樣本的兩重性。樣本函數(shù)和統(tǒng)計量設(shè)x1,x2，xn為總體的一個樣本，稱邛=邛（xx2，xn）為樣本函數(shù)，其中邛為一個連續(xù)函數(shù)。如果含中不包含任何未知參數(shù)，則稱中（x1,x2，xn）為一個統(tǒng)計量。常見統(tǒng)計量及其性質(zhì)關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，(A發(fā)生必有事件B發(fā)生)：AuB如果同時有A匚B,

32、BnA,則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=BAB中至少有一個發(fā)生的事件：AUB,或者A+Bo屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B,也可表示為A-AB或者AB,它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。AB同時發(fā)生：A1B,或者ARAB=?,則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互小相容或者互斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸摹-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為A。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。運算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)nC=(AC)U(BC)oOoQAAi=UAi

33、德摩根率：yyATb=AB,AB=aUB(2)止態(tài)總體下的四大分布正態(tài)分布設(shè)。為樣本空間，A為事件，對每一個事件A都有一個實數(shù)P(A),若滿足卜列三個條件：10WP(A)W1,2P(Q)=130對于兩兩互不才目容的事件A1,A2,有oCiO0PUAi=P(Ai)i=1Ji=1常稱為可列(完全)可加性。則稱P(A)為事件A的概率。t分布1Q=G戶2環(huán)_12P(%)=P俾2)=P(%)=一。n設(shè)任T件A,它是由與，6m組成的，則有P(A)=0)U2)UU(%)=P3)+PM)+Pm)_m_A所包含的基本事件數(shù)n基本事件總數(shù)工2分布若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空

34、間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A,L(A)P(A)-o其中L為幾何度量(長度、面積、體積)。L(C)F分布P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)當P(AB)=0時，P(A+B)=P(A)+P(B)(3)止態(tài)總體下分布的性質(zhì)P(A-B尸P(A)-P(AB)當BUA時，P(A-B尸P(A)-P(B)當人=時，P(B)=1-P(B)矩估計（1）點 估計第七章參數(shù)估計設(shè)總體x的分布中包含有未知數(shù)61,e2,em,則其分布函數(shù)可以表成F（x*i。，）.它的k階原點矩Vk=E（Xk）（k=1,2,，m）中也包含了未知參數(shù)日1,日2,，Hm,即Vk=Vk（81包,Pm）。又設(shè)X1,X2，Xn為總體X的n個樣本值，其樣本的k階原點矩為1n工Xik(k=1,2,m).ny這樣，我們按照“當參數(shù)等于其估計量時，總體矩等于相應的樣本矩”的原則建立方程，即有.1.nV1C1,口2,”m)Xi,n7八1n2V2Q192,1m)=、X2,n7，八1nmVmC1尸2工)=Xm.ny由上面的m個方程中，解出的m個未知參數(shù)（e：,e；,，e：）即為參數(shù)（81包,&m）的