第3章運(yùn)動(dòng)守恒定律教案

1、第三章 運(yùn)動(dòng)的守恒定律前一章我們運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律研究了質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，討論了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化與它所受合外力之間的瞬時(shí)關(guān)系。對(duì)于一些力學(xué)問(wèn)題除分析力的瞬時(shí)效應(yīng)外，還必須研究力的累積效應(yīng)，也就要研究運(yùn)動(dòng)的過(guò)程。而過(guò)程必在一定的空間和時(shí)間內(nèi)進(jìn)行，因而力的積累效應(yīng)分為力的空間積累和時(shí)間積累兩類(lèi)效應(yīng)。在這兩類(lèi)效應(yīng)中，質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量、動(dòng)能或能量將發(fā)生變化或轉(zhuǎn)移。在一定條件下，質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的動(dòng)量或能量將保持守恒。（1）力的空間累計(jì)效應(yīng)：功、能；（2）力的時(shí)間累計(jì)效應(yīng)：沖量、動(dòng)量；（3）相關(guān)規(guī)律：動(dòng)能定理、功能原理、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律、角動(dòng)量守恒定律。本章的主要內(nèi)容有：幾種

2、常見(jiàn)力做功的計(jì)算，勢(shì)能計(jì)算方法，質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理和動(dòng)能定理，外力與內(nèi)力、保守力與非保守力力距、角動(dòng)量等概念，以及動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律。 第一節(jié) 保守力 成對(duì)力作功 勢(shì)能由生活經(jīng)驗(yàn)知道,從高處落下的重物能夠作功，如打樁、高山上的瀑布落下帶動(dòng)發(fā)電機(jī)發(fā)電，這都說(shuō)明位于高處的重物具有作功本領(lǐng)。本節(jié)將從幾種常見(jiàn)力的作功特點(diǎn)出發(fā)，引出保守力和非保守力概念，然后介紹勢(shì)能概念。一、萬(wàn)有引力、重力、彈性力作功的特點(diǎn)1. 重力作功如圖所示，重力在任一元位移中對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的元功為：因此質(zhì)點(diǎn)從ab過(guò)程中重力所作的總功為： 若物體沿另一路徑adb，結(jié)果相同。因此重力的功只與運(yùn)動(dòng)物體的

3、始末位置有關(guān)，與運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。這是重力作功的一個(gè)重要特點(diǎn)。 2. 彈性力作功如圖所示，彈性力為，彈性力的功為：彈性力對(duì)小球作的功只與小球的始末位置有關(guān)，而與彈性形變的過(guò)程無(wú)關(guān)。這一特點(diǎn)與重力作功的特點(diǎn)是相同的。3. 萬(wàn)有引力作功如圖所示，假設(shè)不動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)m在任一位置處所受的萬(wàn)有引力為其中為沿位矢的單位矢量。當(dāng)m沿路徑移動(dòng)位移元時(shí)，萬(wàn)有引力作的功為：從上圖可看出：則 所以，質(zhì)點(diǎn)m從點(diǎn)A沿任一路徑到達(dá)點(diǎn)B的過(guò)程中，萬(wàn)有引力作的功為：即 上式表明，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量M'和m均給定時(shí)，萬(wàn)有引力作的功只取決于質(zhì)點(diǎn)m的起始和終了的位置，而與所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。這與重力、彈姓力作功的特點(diǎn)一樣。 重

4、力、彈性力、萬(wàn)有引力作功特點(diǎn)的另一種表述：物體沿閉合路徑繞行一周，這些力對(duì)物體所作的功恒為零。二、保守力與非保守力 保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式1. 保守力和非保守力力對(duì)物體所作的功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)?；蛘哒f(shuō)物體沿閉合路徑繞行一周，這些力對(duì)物體所作的功恒為零。具有這種特性的力統(tǒng)稱(chēng)為保守力，例如重力、彈性力、萬(wàn)有引力、靜電力等。沒(méi)有這種特性的力，統(tǒng)稱(chēng)為非保守力，如摩擦力、爆炸力、安培力等等。2. 保守力作功的數(shù)學(xué)表達(dá)式如圖a所示，設(shè)一物體在保守力作用下由點(diǎn)A沿路徑ACB到達(dá)點(diǎn)B，或沿路徑ADB到達(dá)點(diǎn)B。根據(jù)保守力作功與路徑無(wú)關(guān)的特點(diǎn)，有:如果物體沿如圖b所示的ACBDA閉合路徑運(yùn)動(dòng)一

5、周時(shí)，保守力對(duì)物體作功為：注意到所以有上式表明，物體沿任意閉合路徑運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，保守力對(duì)它所作的功為零。 三、成對(duì)力的功（書(shū)107-109頁(yè)圖3-4）1、 任何一對(duì)作用力與反作用力所作的總功與參考系造反無(wú)關(guān)。2、 任意參考系中，成對(duì)保守力的功只取決于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末相對(duì)位置，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。四、勢(shì)能物體具有能量的標(biāo)志是它能作功，這一結(jié)論對(duì)質(zhì)點(diǎn)系也是適用的。若質(zhì)點(diǎn)系能對(duì)其他物體作功或?qū)|(zhì)點(diǎn)系內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)作功，就表明質(zhì)點(diǎn)系具有能量。由保守力作功的特點(diǎn)得知，不論沿什么路徑從初位置到末位置，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功總是相同的，功的數(shù)值由質(zhì)點(diǎn)的始末位置決定。所以，可以說(shuō)質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中位于初始點(diǎn)和終止點(diǎn)

6、是處于兩個(gè)不同的狀態(tài)，這兩個(gè)狀態(tài)間存在著一個(gè)確定的差別，這種差別可以用當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個(gè)狀態(tài)時(shí)，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為一確定值來(lái)表示。為了表示質(zhì)點(diǎn)在不同位置的各個(gè)狀態(tài)間的這種差別，我們說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中每一位置都存儲(chǔ)著一種能量，這種與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)的能量稱(chēng)為勢(shì)能。1. 勢(shì)能差物體在保守力場(chǎng)中a,b兩點(diǎn)的勢(shì)能、之差等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中保守力對(duì)它所作的功Wab，即：（相當(dāng)一個(gè)定義）。2. 勢(shì)能選取為勢(shì)能零點(diǎn)，即，那么空間某點(diǎn)的勢(shì)能等于質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)位置時(shí)保守力所作的功，。例如：選取離地面高度y=0處，則離地面高為y處的重力勢(shì)能為： 選取彈簧原長(zhǎng)x=0處，則形變?yōu)閤時(shí)的

7、彈性勢(shì)能為： 選取兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距處，則兩質(zhì)點(diǎn)相距r時(shí)的引力勢(shì)能為 3. 勢(shì)能和保守力的微分關(guān)系由可得：即保守力對(duì)物體作的功等于物體勢(shì)能增量的負(fù)值。微分表示為：。若 ，則有，比較得：、，即： 在一維情況下，如書(shū)上（3-19）式。4. 討論（1）勢(shì)能是狀態(tài)的函數(shù)：因?yàn)樵诒Ｊ亓ψ饔孟?，只要物體的起始和終了位置確定了，保守力所作的功也就確定了，而與所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)，所以說(shuō)，勢(shì)能是坐標(biāo)的函數(shù)，亦即是狀態(tài)的函數(shù)。（2）某點(diǎn)處系統(tǒng)的勢(shì)能只有相對(duì)意義，勢(shì)能的值與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)。勢(shì)能零點(diǎn)也可以任意選取，但以簡(jiǎn)便為原則，選取不同的勢(shì)能零點(diǎn)，物體的勢(shì)能就將具有不同的值。但兩點(diǎn)間的勢(shì)能差則是絕對(duì)的，與勢(shì)能零點(diǎn)的選取

8、無(wú)關(guān)。（3）勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的：勢(shì)能是由系統(tǒng)內(nèi)各物體間相互作用的保守力和相對(duì)位置決定的能量，因而它是屬于系統(tǒng)的。單獨(dú)談單個(gè)物體的勢(shì)能是沒(méi)有意義的。如重力勢(shì)能就是屬于地球和物體所組成的系統(tǒng)的。同樣，彈性勢(shì)能和引力勢(shì)能也是屬于有彈性力和引力作用的系統(tǒng)的。習(xí)慣上稱(chēng)某物體的勢(shì)能，這只是敘述上的簡(jiǎn)便而已。（4）只有保守力場(chǎng)才能引入勢(shì)能的概念。二、勢(shì)能曲線(xiàn)當(dāng)坐標(biāo)系和勢(shì)能零點(diǎn)確定后，質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能僅是坐標(biāo)的函數(shù)，即。按此函數(shù)畫(huà)出的勢(shì)能隨坐標(biāo)變化的曲線(xiàn)，稱(chēng)為勢(shì)能曲線(xiàn)。重力勢(shì)能 彈性勢(shì)能 引力勢(shì)能勢(shì)能曲線(xiàn)是勢(shì)能隨相對(duì)位置變化的曲線(xiàn)。它為研究勢(shì)場(chǎng)中的物體的運(yùn)動(dòng)提供了一種形象化的手段。以彈簧振子的勢(shì)能曲線(xiàn)為例，說(shuō)明勢(shì)能曲

9、線(xiàn)的應(yīng)用。（以下例子請(qǐng)自學(xué)）（1）從勢(shì)能曲線(xiàn)上，可以清晰地看出物體在保守場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)過(guò)程能量的轉(zhuǎn)換關(guān)系。Ep-x 圖中，水平線(xiàn)代表系統(tǒng)的總機(jī)械能E，勢(shì)能小于E的區(qū)域（-A到A之間）為物體可以到達(dá)的相對(duì)位置，當(dāng)物體到達(dá)任意位置x時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為Ep(見(jiàn)圖示），總機(jī)械能E與Ep的差值即為該時(shí)刻物體的動(dòng)能Ek 。（2）由勢(shì)能曲線(xiàn)上各點(diǎn)的斜率大小和正負(fù)，可以判定物體所受保守力的大小和方向。由 得x>0 區(qū)間     x<0 區(qū)間     即曲線(xiàn)上斜率大處Fx大，曲線(xiàn)上斜率小處，F(xiàn)x小，斜率為零處，F(xiàn)x = 0 。第

10、二節(jié) 功能原理前面討論的是質(zhì)點(diǎn)的能量動(dòng)能和勢(shì)能，以及合外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作功引起質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能改變的動(dòng)能定理。下面將討論由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系的情況。而系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)，既受到系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間相互作用的內(nèi)力，又可能受到系統(tǒng)外的物體對(duì)系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作用的外力。無(wú)論內(nèi)力或外力，都可以是保守力或非保守力。一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力所作的功，由質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理可分別得出：以上各式相加可得：上式的物理意義是：作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功，等于該質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能增量。因?yàn)橄到y(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)所受的力，既有來(lái)自系統(tǒng)外的外力，也有來(lái)自系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力，所以有也就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的一切外

11、力作的功于一切內(nèi)力作的功之和。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理。二、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理1. 表達(dá)式推導(dǎo)我們將內(nèi)力區(qū)分為保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，則而系統(tǒng)內(nèi)保守力作的功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，即則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可表示為：即：，這就是質(zhì)點(diǎn)系的功能原理。2. 表述質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)從狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，所有外力的功和系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力的功的總和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量。3. 討論功能原理與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理不同之處是功能原理將保守內(nèi)力作的功用勢(shì)能差來(lái)代替。因此，在用功能原理解題的過(guò)程中，計(jì)算功時(shí)，要注意將內(nèi)部保守內(nèi)力的功除外。例：書(shū)117頁(yè)3-2，3-3，3-4。第三節(jié) 機(jī)械能守恒定律 能量守恒定律一、機(jī)械能守恒定律1. 數(shù)學(xué)表示當(dāng)系

12、統(tǒng)滿(mǎn)足，則有即 2. 文字表述如果一個(gè)系統(tǒng)只有保守內(nèi)力做功，其它內(nèi)力和一切外力都不做功，或所做功的代數(shù)和等于零，那末系統(tǒng)內(nèi)各物體間的動(dòng)能和勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)換，但它們的總和保持不變。機(jī)械能守恒和轉(zhuǎn)換定律。3. 解題時(shí)注意事項(xiàng)（1）明確系統(tǒng)中的物體；（2）機(jī)械能守恒的前提:只有保守內(nèi)力做功，其它內(nèi)力和外力不做功，或它們作功的代數(shù)和為零，或可以忽略不計(jì)；（3）只適用于慣性參考系。因?yàn)樵诜菓T性參考系中，即使?jié)M足上述條件，但由于慣性力可能做功，所以機(jī)械能不一定守恒；(4)與慣性參考系的選擇有關(guān)。因?yàn)槲覀冎?，?nèi)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，它們作功的和與參考系的選擇無(wú)關(guān)，但是外力作功卻與參考系有關(guān)，它們作功總和是否為

13、零則決定于參考系的選擇。4. 討論機(jī)械能守恒定律也可以表示為： 即 上式表明，在滿(mǎn)足機(jī)械能守恒的條件下，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能和各種勢(shì)能可以相互轉(zhuǎn)換，但它們的總和（即總機(jī)械能）卻保持不變。  二、能量守恒定律1、孤立系統(tǒng)：一個(gè)不受外界作用的系統(tǒng)。2、定律表述和意義如果系統(tǒng)內(nèi)除了萬(wàn)有引力、彈性力等保守力作功以外，還有摩擦力或其他非保守內(nèi)力作功，那么這系統(tǒng)的機(jī)械能就要發(fā)生變化，但它總是轉(zhuǎn)換為其他形式的能量，這是由大量的實(shí)驗(yàn)所證明的。對(duì)于一個(gè)孤立系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅。能量守恒定律該定律是自然界的基本定律之一，是物理學(xué)中最具

14、普遍性的定律之一，可適用于任何變化過(guò)程，不論是機(jī)械的、熱的、電磁的、原子和原子核內(nèi)的，以及化學(xué)的、生物的等等，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了機(jī)械能守恒定律的范圍，后者只不過(guò)是前者的一個(gè)特例。3、功與能量的聯(lián)系和區(qū)別能量守恒定律能使我們更深刻地理解功的意義。按能量守恒定律，一個(gè)物體或系統(tǒng)的能量變化時(shí)，必然有另一個(gè)物體或系統(tǒng)的能量同時(shí)發(fā)生變化。所以當(dāng)我們用作功的方法（以及用傳遞熱量等其他方法）使一個(gè)系統(tǒng)的能量變化時(shí)，在本質(zhì)上是這個(gè)系統(tǒng)與另一個(gè)系統(tǒng)之間發(fā)生了能量的交換。而這個(gè)能量的交換在量值上就用功來(lái)描述。所以說(shuō)，（1）功總是和能量的變化與轉(zhuǎn)換過(guò)程相聯(lián)系。（2）功是能量交換或變化的一種量度。 （3）能量是代表物體

15、系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功本領(lǐng)，它和物體系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。 課本例子在125-129頁(yè)。布置作業(yè)：P 162-168。3-7，3-2，3-4第四節(jié) 質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 動(dòng)量守恒定律 一、質(zhì)心：1、 質(zhì)心：與質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)質(zhì)量分布有關(guān)的一個(gè)代表點(diǎn)，它的位置在平均意義上代表著質(zhì)量分布中心。2、 質(zhì)心位置的直角坐標(biāo)定義式：左邊式中的M=mi為系統(tǒng)的總質(zhì)量，上述三式為計(jì)算平均值普遍公式3、 矢量式： y ax x dx 計(jì)算等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)心位置4、 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心位置：5、 對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)應(yīng)為Page: 7例3-7（書(shū)P130）求腰長(zhǎng)為a的等腰直角三角形均勻薄板的質(zhì)

16、心位置。如圖：解：因?yàn)榈妊苯侨切螌?duì)于直角的平分線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則質(zhì)心位于此角平分線(xiàn)上軺圖建立坐標(biāo)取寬度為dx的面積元，其高為2y，則面積為：2ydx=2xdx,設(shè)薄板第單位面積的質(zhì)量為s，此面積元的質(zhì)量為 dm=2sxdx應(yīng)用質(zhì)心位置的直角坐標(biāo)式得此三角形質(zhì)心坐標(biāo)：這個(gè)結(jié)果與該三角形重心位置一致。注意：重心和質(zhì)心是兩個(gè)不同的概念，不能混為一談。質(zhì)心是物體運(yùn)動(dòng)中由其質(zhì)量分布所決定的一個(gè)特殊點(diǎn)二、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定理1、 質(zhì)心位矢： 2、 質(zhì)心速度：3、 質(zhì)心加速度為： 4、 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：三、動(dòng)量守恒定律1、 文字表述：當(dāng)系統(tǒng)所受合外力為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量將保持不變。2、 表達(dá)式：3、 在直角坐標(biāo)系中，其分

17、量式為:其中C1、C2和C3均為恒量。這個(gè)定律的重要性體現(xiàn)在實(shí)際應(yīng)用上。二、應(yīng)用動(dòng)量守恒定律的注意問(wèn)題1. 在動(dòng)量守恒定律中，系統(tǒng)的總動(dòng)量不變，是指系統(tǒng)內(nèi)各物體動(dòng)量的矢量和不變，而不是指其中某一個(gè)物體的動(dòng)量不變。2. 系統(tǒng)動(dòng)量守恒的條件是合外力為零。但在外力比內(nèi)力小得多的情況下，外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量變化影響甚小，這時(shí)可以認(rèn)為近似滿(mǎn)足守恒條件。如碰撞、打擊、爆炸等問(wèn)題，因?yàn)閰⑴c碰撞的物體的相互作用時(shí)間很短，相互作用內(nèi)力很大，而一般的外力（如空氣阻力、摩擦力或重力）與內(nèi)力比較可忽略不計(jì)，所以可認(rèn)為物體系統(tǒng)的總動(dòng)量守恒。3. 如果系統(tǒng)所受外力的矢量和并不為零，但合外力在某個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為零，那么，

18、系統(tǒng)的總動(dòng)量雖不守恒，但在該坐標(biāo)軸的分動(dòng)量則是守恒的。這對(duì)處理某些問(wèn)題是很有用的。4. 動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛頓運(yùn)動(dòng)定律導(dǎo)出動(dòng)量守恒定律的，所以它只適用于慣性系。雖然動(dòng)量守恒定律是由牛頓運(yùn)動(dòng)定律導(dǎo)出的，但它并不依靠牛頓運(yùn)動(dòng)定律。動(dòng)量的概念不僅適用于以速度運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)或粒子，而且也適用于電磁場(chǎng)，只是對(duì)于后者，其動(dòng)量不再能用mv 這樣的形式表示。不但對(duì)可以用作用力和反作用力描述其相互作用的質(zhì)點(diǎn)系所發(fā)生的過(guò)程，動(dòng)量守恒定律成立；而且，大量實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)其內(nèi)部的相互作用不能用力的概念描述的系統(tǒng)所發(fā)生的過(guò)程，如光子和電子的碰撞，光子轉(zhuǎn)化為電子，電子轉(zhuǎn)化為光子等等過(guò)程，只要

19、系統(tǒng)不受外界影響，它們的動(dòng)量都是守恒的。所以動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)中最基本的普適原理之一。例1：火箭問(wèn)題，（注意參照系和相對(duì)速度關(guān)系） v v+dv u火箭在外層高空飛行，空氣的阻力和重力的影響可以忽略不計(jì)。設(shè)在某一瞬時(shí)t ,火箭質(zhì)量為m ,速度為v，在其t至t+Dt的時(shí)間內(nèi)，火箭噴出質(zhì)量為dm的氣體，噴出氣體相對(duì)于火箭的速度為u，使火箭的速度嗇了dv；以火箭和燃?xì)馑M成的系統(tǒng)，它們的總動(dòng)量mv：所噴出燃?xì)獾膭?dòng)量：(-dm)(v-u) （這里v-u是燃?xì)庀鄬?duì)于描述火箭運(yùn)動(dòng)的慣性系的速度）火箭的動(dòng)量：(m+dm)(v+dv)?；鸺皇芡饬?，系統(tǒng)動(dòng)量保持不變，椐動(dòng)量守恒定律得： mv=(m+dm)(

20、v+dv)+(-dm)(v-u)化簡(jiǎn)，略去二階無(wú)窮小項(xiàng)dmdv，得即火箭每噴出質(zhì)量為-dm的氣體，它的速度就增加了dv，設(shè)u是一常量，上式積分得：表示火箭質(zhì)量從m1減至m2，速度相應(yīng)地從v1增加到v2，設(shè)火箭開(kāi)始飛行時(shí)速度為0，質(zhì)量M0，燃料燃盡時(shí)，火箭剩下的質(zhì)量為M，此時(shí)火箭能夠達(dá)到的速度是:例3-10：(p.138) 兩體相互作用典型問(wèn)題。例3-8，3-9：(p.135-138) 第五節(jié) 碰撞碰撞，一般是指兩個(gè)物體在運(yùn)動(dòng)中相互靠近，或發(fā)生接觸時(shí)，在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生強(qiáng)烈相互作用的過(guò)程（例子）。碰撞會(huì)使兩個(gè)物體或其中的一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。碰撞過(guò)程一般都非常復(fù)雜，難于對(duì)過(guò)程進(jìn)行

21、仔細(xì)分析。但由于我們通常只需要了解物體在碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，而對(duì)發(fā)生碰撞的物體系來(lái)說(shuō)，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用動(dòng)量、角動(dòng)量以及能量守恒定律對(duì)有關(guān)問(wèn)題求解。一、 對(duì)心碰撞：1、 概念：兩球碰撞前的速度在兩球的中心這線(xiàn)上，則碰撞后的速度也都在這一邊線(xiàn)上，這種碰撞叫對(duì)心碰撞（或稱(chēng)正碰撞）。2、 碰撞定律：A、 定律：碰撞后兩球的分離速度（v2-v1）,與碰撞前兩球的接近速度（v10-v20）成正比，經(jīng)值由兩球材料性質(zhì)決定。B、 恢復(fù)系數(shù)e: 斜碰時(shí)，式中分離速度與接近速度都是指沿碰撞接觸處法線(xiàn)方向上的要對(duì)速度。二、完全彈性碰撞（e=1）在碰撞后，兩物體的動(dòng)能之和（即總動(dòng)能）完全沒(méi)有

22、損失，這種碰撞叫做完全彈性碰撞。例：兩小球發(fā)生碰撞，e=1 ,椐動(dòng)量守恒定律得： 椐恢復(fù)系數(shù)：討論：A：設(shè)m1=m2得：v1=v20, v2=v10 B：設(shè)m1¹m2,v20=0:，則： v1=-v10,v2=0解題要點(diǎn)：動(dòng)量、動(dòng)能守恒。二、非彈性碰撞 1、在兩物體碰撞時(shí)，由于非保守力作用，致使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能等其他形式的能量，或者其他形式的能量轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，這種碰撞就叫做非彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量守恒、能量守恒。 2、如兩物體在碰撞后以同一速度運(yùn)動(dòng)（即它們相碰后不再分開(kāi)），這種碰撞叫做完全非彈性碰撞。(e=0) v1=v2解題要點(diǎn)：動(dòng)量守恒。三、碰撞中的力和能1、 動(dòng)

23、量定理的應(yīng)用：說(shuō)明：變力在時(shí)間Dt內(nèi)的平均值與兩物體相遇前的接近速度成正比，與接觸的時(shí)間成反比，與接觸物體的質(zhì)量和材料有關(guān)。2、 機(jī)械能問(wèn)題：碰撞中損失的機(jī)械能：令則： m1/m2越小，DE越大；m1/m2大，DE越小。例題：（書(shū)P144-147）3-11，3-12第六節(jié) 質(zhì)心的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律在討論質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們用動(dòng)量來(lái)描述機(jī)械運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，并討論了在機(jī)械運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所遵循的動(dòng)量守恒定律。同樣，在討論質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于空間某一定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們也可以用角動(dòng)量來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。角動(dòng)量是一個(gè)很重要的概念，在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，它所起的作用和(線(xiàn))動(dòng)量所起的作用相類(lèi)似。在研究力對(duì)質(zhì)點(diǎn)作用時(shí)，考慮力對(duì)時(shí)間的

24、累積作用引出動(dòng)量定理，從而得到動(dòng)量守恒定律；考慮力對(duì)空間的累積作用時(shí)，引出動(dòng)能定理，從而得到機(jī)械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩對(duì)時(shí)間的累積作用，可得出角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律；而力矩對(duì)空間的累積作用，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理，這是下一章的內(nèi)容。本節(jié)主要討論的是質(zhì)點(diǎn)對(duì)給定點(diǎn)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律。一、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）：1. 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量如圖，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)位于A點(diǎn)，相對(duì)原點(diǎn)O的位矢為，并具有動(dòng)量（速度）。定義：該質(zhì)點(diǎn)對(duì)原點(diǎn)O的角動(dòng)量為即 大?。悍较颍捍怪庇诤停ɑ颍┑钠矫?，并遵守右手螺旋法則。單位：（千克二次方米每秒）注意：（1）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量是與和有關(guān)的，即與參考點(diǎn)O的選擇有關(guān)

25、。因此在講述質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪一參考點(diǎn)而言。（2）若質(zhì)點(diǎn)在作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)，則對(duì)圓心O的角動(dòng)量的大小為，方向與相同。（3）角動(dòng)量的概念，在大到天體的運(yùn)動(dòng)，小到質(zhì)子、電子的運(yùn)動(dòng)的描述中，都要應(yīng)用到。例如，電子繞核運(yùn)動(dòng)，具有軌道角動(dòng)量，電子本身還有自旋運(yùn)動(dòng)，具有自旋角動(dòng)量等等。原子、分子和原子核系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一，是它們的角動(dòng)量?jī)H具有一定的不連續(xù)的量值。這叫做角動(dòng)量的量子化。因此，在這種系統(tǒng)的性質(zhì)的描述中，角動(dòng)量起著主要的作用。2. 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（1）質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受到合力的作用，滿(mǎn)足牛頓第二定律：設(shè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)O的位矢為，則以叉乘上式兩邊得：注意到 而且 所以有

26、： 表述：作用于質(zhì)點(diǎn)的合力對(duì)參考點(diǎn)O的力矩，等于質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)O的角動(dòng)量隨時(shí)間的變化率，有些書(shū)將其稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律（或角動(dòng)量定理的微分形式）。這與牛頓第二定律在形式上是相似的，其中對(duì)應(yīng)著，對(duì)應(yīng)著。（2）沖量矩和質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理把上式改寫(xiě)為，然后取積分有定義：為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔內(nèi)對(duì)參考點(diǎn)O所受的沖量矩。則可得質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理： 表述：對(duì)同一參考點(diǎn)O，質(zhì)點(diǎn)所受的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的增量。3. 質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理可知，如果，則有：恒矢量即當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受對(duì)參考點(diǎn)O的合力矩為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為一恒矢量。這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律。注意（1）質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒的條件是合力矩。這可

27、能有兩種情況：一種是合力；另一種是合力雖不為零，但合力通過(guò)參考點(diǎn)O，致使合力矩為零。例如：質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)就是這種情況。質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用于質(zhì)點(diǎn)的合力是指向圓心的所謂有心力，故其力矩為零，所以質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它對(duì)圓心的角動(dòng)量是守恒的。不僅如此，只要作用于質(zhì)點(diǎn)的力是有心力，有心力對(duì)力心的力矩總是零，所以，在有心力作用下質(zhì)點(diǎn)對(duì)力心的角動(dòng)量都是守恒的。太陽(yáng)系中行星的軌道為橢圓，太陽(yáng)位于兩焦點(diǎn)之一，太陽(yáng)作用于行星的引力是指向太陽(yáng)的有心力，因此如以太陽(yáng)為參考點(diǎn)O，則行星的角動(dòng)量是守恒的。（2）角動(dòng)量守恒定律是物理學(xué)的另一基本規(guī)律。在研究天體運(yùn)動(dòng)和微觀粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量守恒定律都起著重要作

28、用。例3-13：（p.149） 例3-15：（p.159）布置作業(yè)：P 164-168。3-9，3-15，3-24，3-25第七節(jié) 質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)*一、 有心力；1、 有心力：運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)所受的力的作用線(xiàn)紿終通過(guò)某個(gè)給定點(diǎn)，且力的大小也只依賴(lài)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該給定點(diǎn)的距離這種力叫有心力給 定點(diǎn)叫力心。2、 有心力場(chǎng)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)：A、 質(zhì)點(diǎn)在有心力的作用，它的角動(dòng)量守恒；B、 有心力場(chǎng)中機(jī)械能守恒：例質(zhì)點(diǎn)在引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，下列關(guān)系成立：mv2/2-G0mM/r=常量；引入勢(shì)能的概念C、 常見(jiàn)有心力都是保守力。證明：變力做功：A=abF·dr=abFcosdr；考慮有心力的方向總是沿著位矢的方向，且大小一般只是位矢的大小的函數(shù)，與方位角無(wú)關(guān)，則A=abF（r）dr；式中dr=drcos, 如質(zhì)點(diǎn)在a處的r=r1，在b處的r=r2，則：r1r2F(r)dr二、 軌跡方程：1、推證：質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中作平面運(yùn)動(dòng)，選有心力心作為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)椐角動(dòng)量守恒：和機(jī)械能守恒：，求得質(zhì)點(diǎn)在與距離的平方成反比的引力作用下的軌跡方程為： .這是一個(gè)圓錐曲線(xiàn)，P為半正焦弦，決定圖形尺寸；是偏心率，如<1是雙曲線(xiàn)，=1是或近日點(diǎn)A1：在圓錐曲線(xiàn)中離力心最近的