工程力學復習知識點

1、一、靜力學1靜力學基本概念（1）剛體剛體：形狀大小都要考慮的，在任何受力情況下體內(nèi)任意兩點之間的距離始 終保持不變的物體。在靜力學中，所研究的物體都是指剛體。所以，靜力學也叫 剛體靜力學。（2）力力是物體之間的相互機械作用，這種作用使物體的運動狀態(tài)改變（外效應） 和形狀發(fā)生改變（內(nèi)效應）。在理論力學中僅討論力的外效應，不討論力的內(nèi)效 應。力對物體的作用效果取決于力的大小、方向和作用點，因此力是定位矢量， 它符合矢量運算法則。力系：作用在研究對象上的一群力。等效力系：兩個力系作用于同一物體，若作用效應相同，則此兩個力系互為 等效力系。（3）平衡物體相對于慣性參考系保持靜止或作勻速直線運動。（4）

2、靜力學公理公理1 （二力平衡公理）作用在同一剛體上的兩個力成平衡的必要與充分條 件為等大、反向、共線。公理2 （加減平衡力系公理）在任一力系中加上或減去一個或多個平衡力系，不 改變原力系對剛體的外效應。推論（力的可傳性原理）作用于剛體的力可沿其作用線移至桿體內(nèi)任意點， 而不改變它對剛體的效應。在理論力學中的力是滑移矢量，仍符合矢量運算法則。因此，力對剛體的 作用效應取決于力的作用線、方向和大小。公理3 （力的平行四邊形法則）作用于同一作用點的兩個力，可以按平行四 邊形法則合成。推論（三力平衡匯交定理）當剛體受三個力作用而平衡時，若其中任何兩個 力的作用線相交于一點，則其余一個力的作用線必交于同

3、一點， 且三個力的作用 線在同一個平面內(nèi)。公理4 （作用與反作用定律）兩個物體間相互作用力同時存在，且等大、反 向、共線，分別作用在這兩個物體上。公理5 （剛化原理）如變形物體在已知力系作用下處于平衡狀態(tài)，則將此物 體轉(zhuǎn)換成剛體，其平衡狀態(tài)不變?？梢?，剛體靜力學的平衡條件對變形體成平衡 是必要的，但不一定是充分的。（5）約束和約束力1）約束：阻礙物體自由運動的限制條件。約束是以物體相互接觸的方式構(gòu) 成的。2）約束力：約束對物體的作用。約束力的方向總與約束限制物體的運動方 向相反。表列出了工程中常見的幾種約束類型、簡圖及其對應的約束力的表示法。 其中前7種多見于平面問題中，后4種則多見于空間問題

4、中。表 工程中常見約束類型、簡圖及其對應約束力的表示約束類約束簡圖約束力矢量圖約束力描述柔索類A作用點：物體接觸點 方位：沿柔索 方向：背離被約束物體 大小：待求這類約束為被約束物體提供拉力光滑面接觸Na單面約束：作用點：物體接觸點 方位：垂直支撐公切面 方向：指向被約束物體 大?。捍筮@類約束為物體提供壓力短鏈桿（鏈桿）中間鉸 （連接 鉸）輥軸支座（活動鉸）雙面約束：假設(shè)其中一個約束面與物體接觸，繪制約束力， 不能同時假設(shè)兩個約束面與物體同時接觸。作用點：物體接觸點方位：垂直共切面方向：指向被約束物體大小：待求這類約束為物體提供壓力。 作用點：物體接觸點 方位：沿鏈桿兩鉸點的連線 方向：不定

5、大小：待求 作用點：物體接觸點，過鉸中心方位：不定 方向：不定 大?。捍?用兩個方位互相垂直，方向任意假設(shè)的分力, 表示該約束處的約束力作用點：物體接觸點，過鉸中心方位：不定方向：不定大?。捍笥脙蓚€方位互相垂直，方向任意假設(shè)的分力，表示該約束處的約束力 作用點：物體接觸點，過鉸中心方位：垂直支撐面 方向：不定大?。捍蠊潭ǘ嗽诩s束面內(nèi)既不能移動也不能轉(zhuǎn)動，用兩個 方位互相垂直、方向任意假設(shè)的兩個分力表 示限制移動的力，用作用面與物體在同一平 面內(nèi)的、轉(zhuǎn)向任意假設(shè)的集中力偶表示限制 轉(zhuǎn)動的力偶。丫向可微小移動，用方位互相垂直、方向任 意假設(shè)的兩個分力，表示限制徑向的移動球形鉸三個方向都不允許

6、移動，用三個互相垂直的 力表示限制的移動?？臻g任意方向都不允許移動，用方位相互垂 直，方向任意的三個分力來代替這個約束力空間固定端三個軸向都不允許移動和轉(zhuǎn)動，用三個方位 相互垂直的分力來代替限制空間移動的約束 力，并用三個矢量方位相互垂直，轉(zhuǎn)向任意 的力偶代替限制轉(zhuǎn)動的約束力偶（6）受力分析圖受力分析圖是分析研究對象全部受力情況的簡圖。其步驟是:1）明確研究對象，解除約束，取分離體；2）把作用在分離體上所有的主動力和約束力全部畫在分離體上。（7）注意事項畫約束力時，一定按約束性質(zhì)和它們所提供的約束力的特點畫， 并在研究對 象與施力物體的接觸處畫出約束力； 會判斷二力構(gòu)件和三力構(gòu)件，并根據(jù)二力平

7、 衡條件和三力匯交定理確定約束力的方位； 對于方向不能確定的約束力，有時可 利用平衡條件來判定；若取整體為分離體時，只畫外力，不畫內(nèi)力，當需拆開取 分離體時，內(nèi)力則成為外力，必須畫上；一定注意作用力與反作用力的畫法，這 些力的箭頭要符合作用與反作用定律；在畫受力分析圖時，不要多畫或漏畫力， 要如實反映物體受力情況；畫受力分析圖時，應注意復鉸（鏈接兩個或兩個以上 物體的鉸）、作用于鉸處的集中力和作用于相鄰剛體上的線分布力等情況的處理 方法。2. 力的分解、力的投影、力對點之矩與力對軸之矩（1）力沿直角坐標軸的分解和力在軸上的投影UV LLV UIV UIVV V VF Fx Fy Fz Fxi

8、Fyj Fzk式中：V、V、V分別是沿直角坐標軸x、y、z軸的基矢量；FX、F、FZ分UVUV別為F沿直角坐標軸的分力；Fx、Fy、Fz分別為F在直角坐標軸x、y、z軸上的投影，且分別為（如圖FxF cosFxy cosF sincosFyF cosFxy sinF sinsinFzF cosuvFxy則為F在Oxy平面上的投影，如圖所示。（2）力對點之矩（簡稱力矩）uv在平面問題中，力F對矩心O的矩是個代數(shù)量，即uvMO F Fa式中a為矩心點至力F作用線的距離，稱為力臂。通常規(guī)定力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動 為逆時針方向時，上式取正號，反之則取負號。在空間問題中，力對點之矩是個定位矢量，如圖，其表達

9、式為Mo F Mo r FyFzzFyizFxxFzjxFyyFxk力矩的單位為N m或kN m。（3）力對軸之矩z軸交點O之矩，即卩uvuuvMz F Mo FxyFxya2 OA'B'其大小等于二倍三角形OA'B'的面積，正負號依右手螺旋法則確定，即四指與力 F的方向一致，掌心面向軸，拇指指向與 z軸的指向一致，上式取正號，反之取負號。顯然，當力F與矩軸共面（即平行或相交）時，力對軸之矩等于零。其單 位與力矩的單位相同。從圖中可見，OA'B'的面積等于OAB面積在OA'B'平面（即Oxy面）上的投影。由此可見，力uvF對z軸之

10、矩uvuvM z F等于力F對z軸上任一點O的矩uvMO F在z軸上的投影,uv或力F對點O的矩MO F在經(jīng)過O點的任一軸上的投uv影等于力uvF對該軸之矩。這就是力對點之矩與對通過該點的軸之矩之間的關(guān)系。即uvuvMxFMoFxyFzzFyuvuvMyFMoFyzFxxFzuvuvMzFMoFzxFyyFx（4）合力矩定理當任意力系合成為一個合力Fr時，則其合力對于任一點之矩（或矩矢）或任一軸之矩等于原力系中各力對同點之矩（或矩矢）或同軸之矩的代數(shù)和（或矢量 和）。uuv mouuvFruu uvmo Fi力對點之矩矢mouuvFruv mo Fi力對點之矩uu/uvmx Frmx Fi力對

11、軸之矩3. 匯交力系的合成與平衡(1) 匯交力系：諸力作用線交于一點的力系。(2) 匯父力系合成結(jié)果根據(jù)力的平行四邊形法則，可知匯交力系合成結(jié)果有兩種可能：其一，作用線通過匯交點的一個合力 胃,為胃Fi ；其二，作用線通過匯交點的一個合力F,等于零，即買Fi 0，這是匯交力系平衡的充要條件。(3) 匯交力系的求解求解匯交力系的合成與平衡問題各有兩種方法，即幾何法與解析法，如表所示。對于空間匯交力系，由于作圖不方便一般采用解析法。表 求解匯交力系的兩種方法LUV合力Fruiv平衡條件Fr 0幾何法按力的多邊形法則，得匯交力系的力的多邊形示意力的多邊形自行封閉圖，其開口邊決定了合力的大小和方位及指

12、向， 指向是首力的始端至末力的終端解析平面匯交力uuSSFxi0法系F RFxiiFyi jFrJ Fx22FyiFyi0cur rFxiuurCOS Fr , jFyix、y軸不相互平行；有兩個COSfr? iFrF R獨立方程，可解兩個未知量空間匯交力uusssFxi0系F RFxiiFyi jFzi kFrJFx22Fyi2FziFyi0cur rFxiuur rFyiFzi0COSFr, i cur rFrFzicos Fr, jFrx、y、z軸不共面；有二個cosFR,kZiFr獨立方程，可解二個未知量4.力偶理論(1) 力偶與力偶矩u/ uu1) 力偶F,F':等量、反向、

13、不共線的兩平行力組成的力系。2) 力偶的性質(zhì)：力偶沒有合力，即不能用一個力等效，也不能與一個力平衡。 力偶對物體只有旋轉(zhuǎn)效應，沒有移動效應。力偶在任一軸上的投影為零。力偶只 能與力偶等效或平衡。3) 力偶矩：力偶的旋轉(zhuǎn)效應決定于力偶矩，其計算如表所述。表力偶矩的計算平面力偶矩空間力偶矩矢m Fd逆時針轉(zhuǎn)向取正號；反之取負號大?。篎d方位：依右手螺旋法則，即四指與力的方向一致，掌 心面向矩心，拇指指向為力偶矩矢的矢量方向。代數(shù)量自由矢量力偶矩的單位：N m或kN m力偶的等效條件：等效的力偶矩矢相等推論1:只要力偶矩矢不變，力偶可在其作用面內(nèi)任意轉(zhuǎn)動或移動，或從剛體的一個平面移 到另一個相互平行

14、的平面上，而不改變其對剛體的旋轉(zhuǎn)效應。推論2:在力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變的條件下，可任意改變力偶的力的大小和力偶臂的長短， 而不改變其對剛體的旋轉(zhuǎn)效應。力偶矩與力對點之矩的區(qū)別：力偶矩與矩心位置無關(guān)，而力對點之矩與矩心位置有關(guān)表中，F(xiàn)為組成力偶的力的大小，d為力偶中兩個力作用線間的垂直距離， 稱為 力偶臂。（2）力偶系的合成與平衡力偶系合成結(jié)果有兩種可能，即一個合力偶或平衡。具體計算時，通常采用 解析法，如表所述。表力偶的合成與平衡的解析法平面力偶系空間力偶系合成合力 偶Mmuiv Muv mv mxivvmy jmiz k平衡Mm 0uiv Muv mv mxivvmy jmzk0平衡方程m0m

15、ix0my 0mz 0可求解一個未知量x、 y、z軸不共面；可求解三個未知量uv表中，mix、miy、miz分別為力偶矩矢m在相應坐標軸上的投影。ir uuuv注意，力偶中兩個力F和F'，對任一 x軸之矩的和等于該力偶矩矢 m在同一軸 上的投影，即uv uuvmx F mx F' mx mcosuv式中，為m矢量與x軸的夾角。（3）匯交力系和力偶系的平衡問題首先選取分離體；然后畫分離體受力分析圖，在分析約束力方向時，注意利用力偶只能與力偶相平衡的概念來確定約束力的方向；接下來，列寫平衡方程，對于力的投影方程，盡量選取與未知力垂直的坐標軸，使參與計算的未知量的個數(shù)越少越好，盡量使

16、一個方程求解一個未知量，而力偶系的平衡方程與矩心的選取沒有關(guān)系，注意區(qū)分力偶的矢量方向或是轉(zhuǎn)向， 確定好投影的正方向；最后求出結(jié)果，結(jié)果的絕對值表示大小，正負號表示假設(shè)方向是否與實際的指向一致，正號代表一致，負號則表示相反。5. 般力系的簡化與平衡（1）力線平移定理作用在剛體上的力，若其向剛體上某點平移時，不改變原力對剛體的外效應， 必須對平移點附加一個力偶，該附加力偶矩等于原力對平移點之矩。同理，根據(jù)力的平移定理可得：共面的一個力F'和一個力偶m可合成為一個 合力F，合力F的大小、方向與原力相等，其作用線離原力作用線的距離為（2）任意力系的簡化1）簡化的一般結(jié)果根據(jù)力線平移定理，可將

17、作用在剛體上的任意力系向任一點O （稱為簡化中 心）簡化，得到一個作用在簡化中心的共點力系和一個附加力偶系， 進而可以合 成為一個力和一個力偶。該力等于原力系向簡化中心簡化的主矢， 該力偶的力偶 矩等于原力系對簡化中心的主矩。uuv uv主矢FrFi作用線通過簡化中心0uuivuuv uv空間：MOmO Fi主矩uv平面：MOmO Fi注：主矢的方向和大小與簡化中心無關(guān)，只與原力系中各個分力相關(guān)，其作用線仍通過簡化中心；主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。2）簡化的最后結(jié)果任意力系向一點簡化后的最后結(jié)果，見表。表 任意力系向一點的簡化的最后結(jié)果主矢主矩最后結(jié) 果說明uu/U/FrFi=0uuvMo

18、0或 Mo 0平衡任意力系的平衡條件uuv 亠Mo 0 或 Mo 0合力偶此主矩與簡化中心無關(guān)uu/uvFrFi0uuvMo 0或 Mo 0合力合力的作用線過簡化中心uuv Mo 0uu uuv F R M o合力的作用線離簡化中心的距離為d M%ruuv Mo 0uu uuu/Fr/Mo力螺旋力螺旋中心軸（力的作用線）過簡化中心uuuuvF r 與 M o 成角力螺旋中心軸（力的作用線）離簡化中心的距離為d心|3）平行分布的線載荷的合成 平行分布線載荷和線載荷集度平行分布線載荷：沿物體中心線分布的平行力，簡稱線載荷。線載荷集度：沿單位長度分布的線載荷，以 q表示，其單位為 N m 或 kNm

19、 同向線荷載合成結(jié)果uv同向線荷載合成結(jié)果為一個合力 Fr，該合力的大小和作用線位置依據(jù)合力力學簡 圖線性分布的線載荷作用在分布線長度中點的一個合力，其作用線的 方向與線載荷的方向一致投影定理和合力矩定理求得。均勻分布和線性分布的線載荷合成結(jié)果如表所述。 表線載荷合成結(jié)果 均勻分布的線載荷合成結(jié) 果大小R ql作用在距離線載荷集度為零的分布長度的23 處，也就是距離線載荷集度最大的分布長度的 1處，其作用線的方向與線載荷的方向一致31 R ql2（3）力系的平衡條件與平衡方程任意力系平衡條件：力系向任一點簡化的主矢和主矩都等于零，即uv uvFrFi=0UULVUULV UVMOM O Fi

20、=0表列出了各力系的平衡方程。但應當指出，在空間力系和空間平行力系的平衡方 程組中，其投影方程亦可用對軸的力矩方程來替代。 當然，該力矩方程必須是獨 立的平衡方程，即可用它來求解未知量的平衡方程。表力系的平衡方程力系名 稱平衡方程的表示形式平匯標準式一力矩式二力矩式2面交F. =0F. =0UVM A F =0力力IXIX系系F. =0iyUVUVM A FI =0Mb F =0說（x、y軸不平行，不重合）（A點和匯交點 O的（A、B連線不能通過匯交點O）明連線不能垂直 X軸）力 偶 系m=o1平標準式二力矩式2行 力F. =0IXuvMA F. =0系uvMa F. =0uvMb F. =0

21、說 明（z軸不能垂直各力）（A、B連線不能和各力平行）任標準式二力矩式三力矩式3意力F. =0IXuvMA F. =0uvMA F. =0系F. =0iyuvMB F. =0uvMb F. =0uvMA F. =0F. =0.XuvMC F. =0說 明（X、y軸不平行，不重合）（A、B連線不（A、B、C三點不共線）能垂直x軸）空匯標準式一力矩式二力矩式三力矩式3間 力交 力F. =0IXF. =0氐uvM y F. =0uvM x F. =0系系F. =0iyF. =0 .yuvM z F. =0uvM y F. =0F. =0izuvMz F. =0F. =0.XuvMz F. =0說f

22、zr*-nr： _Li-rr 齊 £ /r"厶/ ttZ /l（z軸不能通過匯（y、z軸不能通過（X、y、z三軸沒有共同交點；如有一直線經(jīng)過（任意兩根軸不能平仃、重明合）交點；z軸不能垂匯交點；不能在y、匯交點且和X、y兩軸有交點，則此直線不能為z直x軸和y軸所z軸上軸；z軸也不能和經(jīng)過匯交點且和 X、y兩軸有交組成的平面；z軸找到兩點A、B ,使點的直線平行或相交；從匯交點不能引一直線和匯交點所組成 的平面不能垂直A、B和匯交點°和X、y、z三軸相交）x軸和y軸組成共線；如y、z軸有的平面）交點,則x軸不能垂直此交點和匯交點的連線）力標準式3偶 系uvMx F.

23、 =0uvuvMy Fi =0Mz Fi =0平行力系標準式三力矩式3uvMx Fi =0uvMy Fi =0F. =0izuvuvuvMx F. =0 My F. =0 Mz F. =0說 明（Z軸平行各力，xoy面垂直z軸）（X、y、z三條軸不能有共同交點；如果x、y軸有交點0,經(jīng)過O點平行各力的直線為 L則z軸不能和直線L共面 ；三條軸中任兩條軸都不能共面；不能作出與三條軸都相交且平行的直線）任 意 力 系標準式四力矩式五力矩式六力矩式6F. =0ixF. =0 iyF. =0 iZuvMx F. =0uvMy F. =0uvMz F. =0F. =0IXF. =0 .yuvMF. =0

24、uvMx F. =0uvMy F. =0uvMz F. =0OooooII"HUHOLL§ LLLL3 LL3 LLIIX>nXAzu/乏乏乏乏乏：£Ooo111111IIIIII弓L17言uT 弓匚弓UT 弓uJ 弓匚XZ5XAZ乏乏乏乏乏乏說 明（x、y、Z三軸不能平行，重合）（u軸不能和 z軸共面）（u、v不能在 yoz所在平面 內(nèi)；u、v不能都和 y或z軸相交，也不 能和y或z軸共面）（u軸與OO'不共面，平面°'x'y'不過O點）注：建議各力系的平衡方程用表格中的標準式。6. 物體系統(tǒng)的平衡（1）靜定與靜不

25、定問題1）靜定問題若未知量的數(shù)目等于獨立平衡方程的數(shù)目，則應用剛體靜力學的理論，就可 以求得全部未知量的問題，如圖（a）。2）靜不定（超靜定）問題若未知量的數(shù)目超過獨立平衡方程的數(shù)目， 則單獨應用剛體靜力學的理論就 不能求出全部未知量的問題，如圖（b）。靜不定問題僅用剛體平衡方程式不能完 全求解所有未知量，還需考慮作用與物體上的力與物體變形的關(guān)系，再列出某些 補充方程來求解。靜不定問題已超出了理論力學所能研究的范圍，將留待材料力 學、結(jié)構(gòu)力學等課程中取研究。圖3）靜不定次（度）數(shù)在超靜定結(jié)構(gòu)中，總未知量數(shù)與總獨立平衡方程數(shù)之差稱為靜不定次數(shù)（2）物體系統(tǒng)平衡問題的解法和步驟1）判斷物體系統(tǒng)是否

26、屬于靜定系統(tǒng)。物體系統(tǒng)是否靜定，僅取決于系統(tǒng)內(nèi) 各物體所具有的獨立平衡方程的個數(shù)以及系統(tǒng)未知量的總數(shù)，而不能由系統(tǒng)中某 個研究對象來判斷系統(tǒng)是否靜定。若由n個物體組成的靜定系統(tǒng)，且在平面任意 力系作用下平衡，則該系統(tǒng)總共可列出 3n個獨立平衡方程能解出3n個未知量。 當然，若系統(tǒng)中某些物體受其他力系作用時， 則其獨立平衡方程數(shù)以及所能求出 的未知量數(shù)均將相應變化。2）選取研究對象的先后次序的原則是便于求解。根據(jù)已知條件和待求量， 可以選取整個系統(tǒng)為研究對象，也可以取其中的某些部分或是某一物體為研究對 象。3）分析研究對象的受力情況并畫出受力分析圖。在受力分析圖上只畫外力 而不畫內(nèi)力。在各物體的

27、拆開出，物體間的相互作用力必須符合作用與反作用定 律。畫物體系統(tǒng)中某研究對象的受力分析圖時，不能將作用在系統(tǒng)中其他部分上 的力傳遞、移動和合成。4）列出平衡方程。平衡方程要根據(jù)物體所作用的力系類型列出，不能多列。為了避免解聯(lián)立方程，應妥當?shù)剡x取投影軸和矩軸（或矩心）。投影軸應盡量選取與力系中多數(shù)未知力的作用線垂直； 而矩軸應使其與更多的未知力共面 （矩心 應選在多數(shù)未知力的交點上）。力求做到一個平衡方程中只包含一個未知量。5）由平衡方程解出未知量。若求得的約束力或約束力偶為負值。說明力的 指向或力偶的轉(zhuǎn)向與受力分析圖中假設(shè)相反。 若用它代入另一個方程求解其他未 知量時，應連同其負號一起代入。6

28、）利用不獨立平衡方程進行校核。7平面桁架（1）定義由若干直桿在兩端用鉸鏈彼此連接而成幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)成為桁架。桿件與桿件的連接點稱為節(jié)點。所有桿件的軸線在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架， 否則稱為空間桁架。（2）對于桁架的分析計算作如下假設(shè)1）各桿件都用光滑鉸鏈連接。2）各桿件都是直桿。3）桿件所受的外載荷都作用在節(jié)點上。對于平面桁架各力作用線都在桁架 平面內(nèi)。4）各桿件的自重或略去不計，或平均分配到桿件兩端的節(jié)點上。根據(jù)以上假設(shè)，桁架中各桿件都是二力構(gòu)件，只受到軸向力作用，受拉或受壓。（3）平面桁架內(nèi)力的計算方法分析桁架的目的就在于確定各桿件的內(nèi)力，通常有兩種計算桁架內(nèi)力的方 法，如表所述。

29、當需要計算桁架中所有桿件的內(nèi)力時，可采用節(jié)點法；若僅計算 桁架中某幾根桿件的內(nèi)力，一般以截面法較為方便，但有時也可綜合應用節(jié)點法 和截面法。在計算中，習慣將各桿件的內(nèi)力假設(shè)為拉力。若所得結(jié)果為正值，說 明桿件是拉桿，反之則為壓桿。表 平面桁架內(nèi)力計算方法節(jié)點法截面法研究對象取節(jié)點為研究對象將桁架沿某個面截成兩 部分，取其中一部分為研 究對象平衡方程應用平面匯交力系平衡 方程求解桁架內(nèi)力應用平面任意力系平衡 方程求解桁架內(nèi)力為簡化計算，一般先要判斷桁架中的零力桿（內(nèi)力為零的桿件），對于表所述的三種情況，零力桿可以直接判斷出。表桁架零力桿的判斷節(jié)點類型特點條件圖示判斷L型節(jié)點節(jié)點上連接兩根 桿件，

30、且只有兩根 桿件不重合、不共 線節(jié)點上不受 力兩桿全是零 力桿節(jié)點受一集 中力，其方位 與其中一根 桿件的軸線 共線億桿件軸線不 與力方位重 合的桿件為 零力桿T型節(jié)點節(jié)點上連接三根 桿件只有三根桿 件，其中兩根桿件 的軸線共線，另一 根桿件與這兩根 桿件不重合節(jié)點上不受 力5心桿件軸線不 與兩根軸線 共線桿件重 合的桿件為 零力桿9.物體的重心（1）物體的重心是一確定的點，它與物體在空間的位置有關(guān)。（2）物體的重心坐標公式xdPV.Xi PiXcPPxcP1ydP1)ycyi 5PycPPZi PZdPZcPPZcP式中：xc、yc、zc表示物體重心C的坐標；P及dP表示各微小部分的重量；X

31、i、yi、乙及x、y、z表示各微小部分重心所在位置的坐標；P表示物體的總重量。2）當物體在同一近地表面時，其重心就是其質(zhì)心，則質(zhì)心坐標公式為X miXcMMMmiydmyi或ycMMMZmiZdmMZcMMxdmXcycZc式中：Xc、yc、Zc表示物體質(zhì)心c的坐標；m及dm表示各微小部分的質(zhì)量；人、yi、Zi及x、y、z表示各微小部分質(zhì)心所在位置的坐標；M表示物體的總質(zhì)量。3）當物體在同一近地表面及均質(zhì)時，其重心就是體積中心，則體積中心的 坐標公式為XcycZcx V ixcVyi vVycZ ViVZcxdVvVydVVVZdVVV式中：xc、yc、Zc表示物體體積中心c的坐標；V及dV表

32、示各微小部分的體積；x、yi、Zi及x、y、z表示各微小部分體積中心所在位置的坐標；V表示物體的總質(zhì)量。4）當物體在同一近地表面、均質(zhì)及等厚薄板時，其重心就是形心，則形心 的坐標公式為xdAV.xAiXcxcAyiA i 、ycJ 1A-或ycZcZAiAZcAAydAAAzdAAA式中：xc、yc、Zc表示物體形心C的坐標； A及dA表示各微小部分的面 積；Xi、Zi及x、y、z表示各微小部分形心所在位置的坐標； A表示物體 的總面積。一、軸向拉伸與壓縮（一）考試大綱1 材料在拉伸、壓縮時的力學性能低碳鋼、鑄鐵拉伸、壓縮實驗的應力-應變曲線；力學性能指標。2. 拉伸和壓縮軸力和軸力圖；桿件橫

33、截面和斜截面上的應力；強度條件；胡克定律； 變形計算。（二）考點主要內(nèi)容要求： 了解軸向拉（壓）桿的受力特征與變形特征； 了解內(nèi)力、應力、位移、變形和應變的概念； 掌握截面法求軸力的步驟和軸力圖的作法； 掌握橫截面上的應力計算，了解斜截面上的應力計算； 熟悉胡克定律及其應用、拉（壓）桿變形計算； 了解常用工程材料（低碳鋼、鑄鐵）拉（壓）時的力學性能，掌握強度條 件的應用。1. 引言1）材料力學的任務材料力學是研究構(gòu)件強度、剛度和穩(wěn)定性計算的學科。這些計算是工程師選 定既安全又最經(jīng)濟的構(gòu)件材料和尺寸的必要基礎(chǔ)。強度是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗破壞的能力。剛度是指構(gòu)件在荷載作用下抵抗變形的能力。穩(wěn)定性

34、是指構(gòu)件保持其原有平衡形式的能力。2）變形固體的基本假設(shè)各種構(gòu)件均由固體材料制成。固體在外力作用下將發(fā)生變形，故稱為變形固 體。材料力學中對變形固體所作的基本假設(shè)如下。 連續(xù)性假設(shè)：組成固體的物質(zhì)毫無空隙地充滿了固體的幾何空間。 均勻性假設(shè)：在固體的體積內(nèi)，各處的力學性能完全相同。 各向同性假設(shè)：在固體的各個方向上有相同的力學性能。 小變形的概念：構(gòu)件由荷載引起的變形遠小于構(gòu)件的原始尺寸。3）桿件的主要幾何特征桿件是指長度L遠大于橫向尺寸（高度和寬度）的構(gòu)件。這是材料力學研究 的主要對象。桿件的兩個主要的幾何特征是橫截面的軸線。 橫截面：垂直于桿件長度方向的截面。 軸線：各橫截面形心的連線。若

35、桿的軸線為直線，稱為直桿。若桿的軸線為曲線，稱為曲桿。2. 軸向拉伸與壓縮圖 5-1-1軸向拉伸與壓縮桿件的力學模型，如圖 5-1-1所示。 受力特征：作用于桿兩端的外力的合力，大小相等、指向相反、沿桿件軸 線作用。 變形特征：桿件主要產(chǎn)生軸線方向的均勻伸長（縮短）。3. 軸向拉伸（壓縮）桿橫截面上的內(nèi)力1）內(nèi)力內(nèi)力是由外力作用而引起的構(gòu)件內(nèi)部各部分之間的相互作用力。2）截面法截面法是求內(nèi)力的一般方法。用截面法求內(nèi)力的步驟如下。 截開：在須求內(nèi)力的截面處，假想沿該截面將構(gòu)件截開分為二部分。 代替：任取一部分為研究對象，稱為脫離體。用內(nèi)力代替棄去部分對脫離 體的作用。 平衡：對脫離體列寫平衡條件

36、，求解未知內(nèi)力。截面法的圖示如圖5-1-2所示。P *圖 5-1-23）軸力軸向拉壓桿橫截面上的內(nèi)力，其作用線必定與桿軸線相重合，稱為軸力，以Fn或N表示。軸力規(guī)定以拉力為正，壓力為負。4）軸力圖軸力圖是表示沿桿件軸線各橫截面上軸力變化規(guī)律的圖線，如圖5-1-3。4.軸向拉壓桿橫截面上的應力軸向拉桿橫截面上的應力垂直于截面，為正應力。正應力在整個橫截面上均勻分布，如圖5-1-4所示，其表示為FnA(5-1-1)式中： 為橫截面上的正應力，N/m2或Pa； Fn為軸力，N; A為橫截面面積,m2。2FFnF(+)(-)F圖5 14圖5 1 35.軸向拉壓桿斜截面上的應力 斜截面上的應力均勻分布，

37、如圖5-1-5,總應力FnPA0 cos(5-1-2)正應力p cos0 cos2(5-1-3)切應力p sin0sin 22其總應力及應力分量為(5-1-4)式中：為由橫截面外法線轉(zhuǎn)至截面外法線的夾角，以逆時針轉(zhuǎn)動為正；A為斜截面m-m的截面積；0為橫截面上的正應力。以拉應力為正，壓應力為負以其對脫離體內(nèi)一點產(chǎn)生順時針力矩時為正，反之為負軸向拉壓桿中最大正應力發(fā)生在0的橫截面上，最小正應力發(fā)生在90的縱截面上，其值分別為max0min 0最大切應力發(fā)生在45的斜截面上，最小切應力發(fā)生在0的橫截面和 90的縱截面上，其值分別為max minP,圖 5-1-56.材料的力學性能1）低碳鋼在拉抻時

38、的力學性能低碳鋼拉伸時的應力-應變曲線如圖5-1-6所示圖5-1-6低碳鋼拉伸時的應力一應變曲線這一曲線分四個階段，有四個特征點，見表5-1-1 o表 5-1-1階段圖5-1-6中線段特征點說明彈性階段Oab比例極限p彈性極限ep為應力與應變成正比的最 高應力；e為不產(chǎn)生殘余的最咼應力屈服階段bc屈服強度ss為應力變化不大而變形顯著增加時的最低應力強化階段ce抗拉強度bb為材料在斷裂前所能承受的最大名義應力局部變形階段ef產(chǎn)生頸縮現(xiàn)象到斷裂應力-應變曲線上還有如下規(guī)律： 卸載定律：在卸載過程中，應力和應變按直線規(guī)律變化，如圖5-1-6中的直線dd 。 冷作硬化：材料拉伸到強化階段后，卸除荷載，

39、再次加載時，材料的比例 極限提高而塑性降低的現(xiàn)象，稱為冷作硬化，如圖5-1-6中曲線d def，在圖5-1-6中，of 段表示未經(jīng)冷作硬化，拉伸至斷裂后的塑性應變； d f段表示經(jīng)冷作硬化，再拉 伸到斷裂后的塑性應變。主要性能指標表5-1-2。表5-1-2主要性能指標表性能性能指標說明彈性性能彈性模量E當 < p時，E 一強度性能屈服強度s材料出現(xiàn)顯著的塑性變形抗拉強度b材料的最大承載能力塑性性能延伸率L1 L 100%L材料拉斷時的變形程度截面收縮率1 100%A材料的塑性變形程度2）低碳鋼的力學性能低碳鋼在壓縮時的應力一應變曲線如圖5-1-7中實線所示。低碳鋼壓縮時的比例極限p、屈服

40、強度e、彈性模量E與拉伸時基本相同,但測不出抗拉強度3）鑄鐵拉伸時的力學性能鑄鐵拉伸時的應力-應變曲線如圖5-1-8所示的應力一應變曲線的應力一應變曲線應力與應變無明顯的線性關(guān)系，拉斷前的應變很小，實驗時只能測到抗拉強 度b。彈性模量E以總應變?yōu)闀r的割線斜率來度量。4）鑄鐵壓縮時的力學性能鑄鐵壓縮時的應力一應變曲線如圖 5-1-9所示。鑄鐵壓縮時的抗壓強度比拉伸時大 45倍，破壞時破裂面與軸線成35 45 角，宜于作抗壓構(gòu)件。5）塑性材料和脆性材料延伸率5%的材料稱為脆性材料。6）屈服強度0 2對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，通常用材料產(chǎn)生的殘余應變時所對應的應力作為屈服強度，并以0.2表示，

41、如圖5-1-10所示。圖 5-1-9圖 5-1-107.強度條件1）許用應力材料正常工作容許采用的最高應力，由極限應力除以安全系數(shù)求得塑性材料脆性材料式中：S為屈服強度；2）強度條件snsbnbb為抗拉強度；ns、nb為安全系數(shù)。構(gòu)件的最大工作應力不得超過材料的許用應力。軸向拉壓桿的強度條件為maxFN maxA強度計算的三大類問題:強度校核maxFN maxA截面設(shè)計N max確定許可荷載FNmaxA，再根據(jù)平衡條件，由FNmax計算P8.軸向拉壓桿的變形胡克定律1）軸向拉壓桿的變形桿件在軸向拉伸時，軸向伸長，橫向縮短；而在軸向壓縮時，軸向縮短，橫 向伸長，如圖5-1-11所示。P變形線應變

42、變形線應變圖 5-1-11L L LLLa a aaa軸向(5-1-8)軸向(5-1-9)橫向(5-1-10)橫向（5-1-11）2）胡克定律當應力不超過材料比例極限時，應力與應變成正比，即E式中E為材料的彈性模量。或用軸力及桿件變形量表示為L 靈EA式中：EA為桿的抗拉（壓）剛度，表示抗拉壓彈性變形的能力3）泊松比當應力不超過材料的比例極限時，橫向線應變 與軸向線應變 之比的絕對 值為一常數(shù)，即泊松比 是材料的彈性常數(shù)之一，無量綱。二、剪切（一）考試大綱剪切和擠壓的實用計算；剪切面；擠壓面；抗剪強度；擠壓強度。（二）考點主要內(nèi)容要求： 熟悉連接件與被連接件的受力分析； 準確判定剪切面與擠壓面

43、，掌握剪切與擠壓的實用計算； 準確理解切應力互等定理的意義，了解剪切胡克定律及其應用。1. 剪切的概念及實用計算（1）剪切的概念剪切的力學模型如圖5-2-1所示。 受力特征：構(gòu)件上受到一對大小相等、方向相反，作用線相距很近且與構(gòu) 件軸線垂直的力作用。 變形特征：構(gòu)件沿內(nèi)力的分界面有發(fā)生相對錯動的趨勢。 剪切面：構(gòu)件將發(fā)生相對錯動的面。 剪力：剪切面上的內(nèi)力，其作用線與剪切面平行，用FS或Q表示。（2）剪切實用計算1）名義切應力假定切應力沿剪切面是均勻分布的。若 As為剪切面面積，F(xiàn)s為剪力，則名義切應力為Fs(5-2-1)2) 許用切應力,再除以安全因按實際的受力方式，用實驗的方法求得名義剪切

44、極限應力 數(shù)n。3) 剪切條件剪切面上的工作切應力不得超過材料的許用切應力FsA(5-2-2)2. 擠壓的概念及實用計算(1)擠壓的概念 擠壓：兩構(gòu)件相互接觸的局部承壓作用。 擠壓面：兩構(gòu)件間相系接觸的面。 擠壓力Fb :承壓接觸面上的總壓力。(2)擠壓實用計算1) 名義擠壓應力假設(shè)擠壓力在名義擠壓面上均勻分布，則名義擠壓應力為bsFbAbs(5-2-3)式中：Abs為名義擠壓面面積。當擠壓面為平面時，則名義擠壓面面積等于實際 的承壓接觸面面積；當擠壓面為曲面時，則名義擠壓面面積各取為實際承壓接觸 面在垂直擠壓力方向的投影面積，如圖5-2-2所示。鍵的名義擠壓面面積. h.AbsL2鉚釘?shù)拿x

45、擠壓面面積為2）許用擠壓應力根據(jù)直接實驗結(jié)果，按照名義擠壓應力公式計算名義極限擠壓應力，再除以 安全系數(shù)。3）擠壓強度條件擠壓面上的工作擠壓應力不得超過材料的許用擠壓應力，即bs3. 切應力互等定理剪切胡克定律（1）純剪切 純剪切：若單元體各個側(cè)面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切。純剪切引起的剪應變 ，如圖5-2-3所示。 剪應變：在切應力作用下，單元 體兩相互垂直邊間直角的改變量。單位為 rad，無量綱。在材料力學中規(guī)定以單元體 左下直角增大時， 為正，反之為負。（2）切應力互等定理在互相垂直的兩個平面上，垂直于兩 平面交線的切應力，總是大小相等，且共 同指向或背離這一交線（圖5-2-3

46、），即（3）剪切胡克定律當切應力不超過材料的剪切比例極限時，切應力與剪應變成正比，即式中G為剪切彈性模量。對各向同性材料，E、G、 間只有二個獨立常數(shù)，它們之間的關(guān)系為三、扭轉(zhuǎn)（一）考試大綱扭矩和扭矩圖；圓軸扭轉(zhuǎn)切應力；切應力互等定理；剪切胡克定律；圓軸扭 轉(zhuǎn)的強度條件：扭轉(zhuǎn)角計算及剛度條件。（二）考點主要內(nèi)容要求： 了解桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的受力特征與變形特征； 了解傳動軸的外力偶矩計算，掌握求扭矩和作扭矩圖的方法； 掌握橫截面上切應力分布規(guī)律和切應力的計算; 掌握圓截面極慣性矩、抗扭截面系數(shù)計算公式。1. 扭轉(zhuǎn)的概念(1)扭轉(zhuǎn)的力學模型扭轉(zhuǎn)的力學模型如圖5-3-1所示。圖5-3-1扭轉(zhuǎn)的力學模

47、型 受力特征：桿兩端受到一對力偶矩相等、轉(zhuǎn)向相反、作用平面與桿件軸線 相垂直的外力偶作用。 變形特征：桿件表面縱向線變成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線 發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。 扭轉(zhuǎn)角：桿件任意兩橫截面間相對轉(zhuǎn)動的角度。(2) 外力偶矩的計算MeN kW9.55n r min軸所傳遞的功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩間有如下關(guān)系：(5-3-1)7.02皿_n r min(5-3-2)式中：傳遞功率N的單位為千瓦(kW)或公制馬力(Ps，1Ps 735.5N m s); 轉(zhuǎn)速n的單位為轉(zhuǎn)每分(r/min ), Me的單位為kN m。2. 扭矩和扭矩圖 扭矩：受扭桿件橫截面上的內(nèi)力，是一個橫截面平面內(nèi)的力偶，其力

48、偶矩 稱為扭矩，用T表示，見圖5-3-2,其值用截面法求得。 扭矩符號：扭矩T的正負號規(guī)定，以右手法則表示扭矩矢量，當矢量的指 向與截面外向的指向一致時，扭矩為正，反之為負。 扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。3. 圓桿扭轉(zhuǎn)時的切應力及強度條件(1)橫截面上的切應力1)切應力分布規(guī)律橫截面上任一點的切應力，其方向垂直于該點所在的半徑，其值與該點到圓 心的距離成正比，見圖5-3-3。Mm圖 5-3-2max2)切應力計算公式橫截面上距圓心為的任一點的切應力(5-3-3)橫截面上的最大切應力發(fā)生在橫截面周邊各點處其值為maxIpTWt(5-3-4)3) 切應力計算公式的討論公式適用于線彈性范圍(max <),小變形條件下的等截面實心或空心 圓直桿。 T為所求截面上的扭矩。 I p稱為極慣性矩，Wt稱為抗扭截面系數(shù)，其值與截面尺寸有關(guān)。(b)圖 5.3-4對于實心圓截面(圖5-3-4(a)Wtd316(5-3-5)對于空心圓截面(圖5-3-4(b)3