初中數(shù)學(xué)特殊四邊形的輔助線做法及口決

1、特殊四邊形主要包括平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形在解決一些和四邊形有關(guān)的問題時往往需要添加輔助線下面介紹一些輔助線的添加方法.和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法平行四邊形是最常見的特殊四邊形之一，它有許多可以利用性質(zhì)，為了利用這些性質(zhì)往往需要添加輔助線構(gòu)造平行四邊形1 .利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1、如圖1,已知點O是平行四邊形ABCD勺對角線AC的中點，四邊形OCDE1平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.分析：因為四邊形OCDE1平行四邊形,所以O(shè)CED,OC=DE,又由O是AC的中點，得出AOED,AO=ED,則四邊形AODE1平行四邊形，問題得證.證明：連2AE、OD因為是

2、四邊形OCDE1平行四邊形，所以O(shè)CDE,OC=DE因為0是AC的中點，所以A0/ED,AO=ED,所以四邊形AODE平行四邊形，所以AD與OE互相平分.說明：當已知條件中涉及到平行，且要求證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可試通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形2 .利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖2,在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BFED/AC,FG/AC交BC分另I為D,G.求證:ED+FG=AC.分析：要證明ED+FG=AC因為DE/AC,可以經(jīng)過點E作EH/CD交AC于H得平行四邊形，得ED=HC然后根據(jù)三角形全等，證明FG=AH.證明：過點E作EH/BC,交AC于H,因為E

3、D/AC,所以四邊形CDEH®平行四邊形，所以ED=HC又FG/AC,EH/BC,所以/AEH4B,/A=/BFG,又AE=BF所以AEHFBG,所以AH=FG所以FG+DE=AH+HC=AC.說明：當圖形中涉及到一組對邊平行時，可通過作平行線構(gòu)造另一組對邊平行，得到平行四邊形解決問題.3 .利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖3,已知AD是ABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.分析：要證明BF=AC一種方法是將BF和AC變換到同一個三角形中，利用等邊對等角；另一種方法是通過等量代換，尋找和BF、AC相等的相段代換.尋找相等的線段的方法一般是構(gòu)

4、造平行四邊形證明：延長AD到G,使DG=AD連結(jié)BGCG因為BD=CD所以四邊形ABGCg平行四邊形，所以AC=BGAC/BG,所以/1=/4,因為AE=EF所以/1=/2,又/2=/3,所以/1=/4,所以BF=BG=AC.圖3圖4說明：本題通過利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形，實際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當已知中點或中線應(yīng)思考這種方法.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題例4、如圖5,在ABC中，/ACB=90°,BBAC的平分線交BC于點D,E是AB上一點，且AE=ACEF/BC交AD于點F,

5、求證：四邊形CDEF是菱形.分析：要證明四邊形CDE支菱形，根據(jù)已知條件，本題有量種判定方法，一是證明四邊相等的四邊形是菱形，二是證明對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.根據(jù)AD是/BAC的平分線，AE=AC可通過連接CE,構(gòu)造等腰三角形，借助三線合一證明AD垂直CE.求AD平分CE.證明：連結(jié)CE交AD于點0,由AC=AE得ACE是等腰三角形，因為A0平分/CAE所以AOLCE,且0C=0E因為EF/CD,所以/1=/2,又因為/EOFWC0D所以DOCM以看成由FOE繞點0旋轉(zhuǎn)而成，所以0F=0D所以CE、DF互相垂直平分.所以四邊形CDEF是菱形.例5、如圖6,四邊形ABC皿菱形，E為邊A

6、B上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.AIB分析：要證明EF+BF的最小值是DE的長，可以通過連結(jié)菱形的對角線BD,借助菱形的對角線互相垂直平分得到DF=BF然后結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊解決問題.證明：連結(jié)BDDF.因為AGBD是菱形的對角線，所以AC垂直BD且平分BD,所以BF=DF,所以EF+BF=EF+D同DE,當且僅當F運動到DE與AC的交點G處時，上式等號成立，所以EF+BF的最小值恰好等于DE的長.說明：菱形是一種特殊的平行四邊形，和菱形的有關(guān)證明題或計算題作輔助線的不是很多，常見的幾種輔助線的方法有：(1)作菱形的高；(2)連結(jié)菱形的對角線.三、

7、與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：(1)計算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；(2)證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題.和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少例6、如圖7,已知矩形ABCDft一點，PA=3,PB=4,PC=5.求PD的長.分析：要利用已知條件，因為矩形ABCD可過P分別作兩組對邊的平行線，構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題解：過點P分別作兩組對邊的平行線EF、GH交AB于E,交CD于F,交BC于點H,交AD于G.因為四邊形ABCD是矩形，所以PF2=CH2=PC2-PH2DF2=AE2=AP2-EP2PH2+PE2

8、=BP2所以PD2=PC2-PH2+AP2-EP2=PC2+AP2-PB2=52+32-42=18,所以PD=3.說明：本題主要是借助矩形的四個角都是直角，通過作平行線構(gòu)造四個小矩形，然后根據(jù)對角線得到直角三角形，利用勾股定理找到PD與PA、PRPC之間的關(guān)系，進而求到PD的長.四、與正方形有關(guān)輔助線的作法正方形是一種完美的幾何圖形，它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，有關(guān)正方形的試題較多.解決正方形的問題有時需要作輔助線，作正方形對角線是解決正方形問題的常用輔助線例7、如圖8,過正方形ABCD勺頂點B作BE/AC,且AE=AC又CF/AE.求證：/BCF=/AEB.AH分析：由BE/AC,C

9、F/AE,AE=AC可知四邊形AEFC是菱形，作LBE于H,根據(jù)正方形的性質(zhì)可知四邊形AHBQ1正方形，從AH=OB=AC,可算出/E=/ACF=30°,/BCF=15證明：連接BD交AC于O,彳AH±BE交BE于H.在正方形ABCD中，AC±BD,AO=BO又BE/AC,AH±BE,所以BOXAC,所以四邊形AOBH正方形，所以AH=AO=AC,因為AE=AC所以/AEH=30,因為BE/AC,AE/CF,所以ACFE是菱形，所以/AEF=/ACF=30°,因為AC是正方形的對角線，所以/ACB=45,所以/BCF=15,所以/BCF=/AE

10、B.說明：本題是一道綜合題，既涉及正方形的性質(zhì)，又涉及到菱形的性質(zhì).通過連接正方形的對角線構(gòu)造正方形AHBQ進一步得到菱形，借助菱形的性質(zhì)解決問題.作輔助線的方法和技巧題中有角平分線，可向兩邊作垂線。線段垂直平分線,可向兩端把線連。三角形中兩中點，連結(jié)則成中位線。三角形中有中線，延長中線同樣長。成比例，正相似，經(jīng)常要作平行線。圓外若有一切線，切點圓心把線連。如果兩圓內(nèi)外切，經(jīng)過切點作切線。兩圓相交于兩點，一般作它公共弦。是直徑，成當fL，想做直角把線連。作等角，添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看,對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線

11、，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半,延長縮短可試驗。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線,平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線,比例中項一大片。半徑與弦長計算,弦心距來中間站。圓上若有一切線,切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦,同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內(nèi)接圓，內(nèi)角平